2.1 Lineære modeller | Matematikk 2P

Lineære sammenhenger og modeller i praktiske situasjoner.

50 min

13 oppgaver

Lineære funksjonerStigningstallKonstantleddModellering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.3Regresjon

Lineære modellar

Mange samanhengar i kvardagen kan skildrast med lineære funksjonar. Eit mobilabonnement med fast pris pluss pris per GB, ein taxitur med startpris pluss pris per km, eller ein spareavtale med fast beløp per månad – alle er lineære modellar.

I dette kapittelet skal du lære:
- Kva ein lineær funksjon er og kva stigingstal og konstantledd betyr
- Korleis setje opp lineære modellar frå praktiske situasjonar
- Korleis løyse likningar og likningssett grafisk og algebraisk
- Korleis tolke skjeringspunkt

Lineær funksjon

f(x) = ax + b

✏️Eksempel: Mobilabonnement

Eit mobilabonnement kostar 149 kr i månaden pluss 49 kr per GB data. Set opp ein lineær modell for månadskostnaden og finn kostnaden ved 5 GB.

Løysing:

Lat $x$ = talet på GB og $f(x)$ = månadskostnad i kroner.

$f(x) = 49x + 149$

- Stigingstal $a = 49$ betyr at kostnaden aukar med 49 kr per GB
- Konstantledd $b = 149$ er den faste månadsprisen

Kostnad ved 5 GB: $f(5) = 49 \cdot 5 + 149 = 245 + 149 = 394$ kr

Svar: Månadskostnaden er 394 kr ved 5 GB.

📝Oppgave 1

Ein taxi tek 60 kr i startpris og 15 kr per km. Kva kostar ein tur på 12 km?

📝Oppgave 2

Eit leigebilselskap tek 500 kr per dag pluss 3,50 kr per km. a) Set opp ein lineær modell for kostnaden ved å leige bil i éin dag. b) Kva kostar det å køyre 200 km? c) Du har budsjettert 1 200 kr. Kor langt kan du køyre?

Finne funksjonsuttrykk frå to punkt

Viss du kjenner to punkt på grafen, kan du finne funksjonsuttrykket:

1. Rekn ut stigingstalet: $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
2. Set inn eitt av punkta i $y = ax + b$ og løys for $b$

✏️Eksempel: Finne funksjonsuttrykk

Ein symjehall har følgjande prisar: 5 besøk kostar 350 kr og 12 besøk kostar 630 kr. Set opp ein lineær modell.

Løysing:

To punkt: $(5, 350)$ og $(12, 630)$

Stigingstal: $\displaystyle a = \frac{630 - 350}{12 - 5} = \frac{280}{7} = 40$ kr per besøk

Finn $b$ : $350 = 40 \cdot 5 + b \Rightarrow b = 350 - 200 = 150$

Modell: $f(x) = 40x + 150$

Tolking: Det kostar 150 kr i «grunnpris» (t.d. årskort) og 40 kr per besøk.

📝Oppgave 3

Ein straumleverandør har følgjande månadsprisar: Ved 100 kWh forbruk er prisen 850 kr, ved 300 kWh er prisen 1 450 kr. a) Finn ein lineær modell for prisen. b) Kva er den faste månadsprisen? c) Kva kostar straumen per kWh?

Skjeringspunkt mellom to lineære funksjonar

f(x) = a_1 x + b_1

✏️Eksempel: Samanlikne to abonnement

Abonnement A kostar 199 kr/mnd pluss 9 kr per GB. Abonnement B kostar 349 kr/mnd med fri data. Når lønner det seg å velje B?

Løysing:

$A(x) = 9x + 199$ og $B(x) = 349$

Skjeringspunkt: $9x + 199 = 349$

$9x = 150$

$x = 16{,}7$ GB

For $x > 16{,}7$ GB er B billigast. For $x < 16{,}7$ GB er A billigast.

Svar: Brukar du meir enn ca. 17 GB per månad, lønner B seg.

📊Utforsk: Samanlikne to abonnement grafisk

Blått abonnement: $f(x) = 199 + 0{,}5x$ (høg fastpris, låg minuttpris). Raudt: $g(x) = 99 + 1{,}5x$ . Det grøne skjeringspunktet viser forbruket der abonnementa kostar det same – til venstre er raudt billigast, til høgre er blått billigast.

📝Oppgave 4

Treningssenter X kostar 299 kr/mnd utan bindingstid. Treningssenter Y kostar 3 000 kr i innmeldingsavgift + 199 kr/mnd. a) Set opp lineære modellar for totalkostnaden etter x månader. b) Etter kor mange månader har Y vorte billigare enn X? c) Kva er totalkostnaden for kvart senter etter 12 månader?

📝Oppgave 5

Grafen til f(x) = −3x + 12 kryssar x-aksen. Kva er nullpunktet?

Likningssett

Når vi har to ukjende, treng vi to likningar. Dette vert kalla eit likningssett.

Innsetjingsmetoden: Løys éi likning for éin variabel, set inn i den andre.

Addisjonsmetoden: Kombiner likningane slik at éin variabel forsvinn.

Grafisk løysing: Teikn grafane og finn skjeringspunktet.

✏️Eksempel: Likningssett i praksis

På ein kantine kostar ein baguett og ein juice til saman 95 kr. To baguettar og ein juice kostar 145 kr. Kva kostar kvar?

Løysing:

Lat $b$ = pris baguett og $j$ = pris juice.

$b + j = 95$ ... (1)
$2b + j = 145$ ... (2)

Trekk (1) frå (2): $(2b + j) - (b + j) = 145 - 95$

$b = 50$

Set inn i (1): $50 + j = 95 \Rightarrow j = 45$

Svar: Ein baguett kostar 50 kr og ein juice kostar 45 kr.

📝Oppgave 6

Ein billett til vaksen og ein til barn kostar til saman 180 kr på kino. Tre vaksne og to barn kostar 470 kr. Finn prisen for kvar billettype.

Oppsummering

- Lineær funksjon: $f(x) = ax + b$ med stigingstal $a$ og konstantledd $b$
- Stigingstal frå to punkt: $a = \Delta y / \Delta x$
- Skjeringspunkt: Der to funksjonar er like – løys $f(x) = g(x)$
- Likningssett: To likningar med to ukjende – løys med innsetjing eller addisjon

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Stigingstal	Kor mykje $y$ aukar når $x$ aukar med 1
Konstantledd	Verdien av funksjonen når $x = 0$
Nullpunkt	$x$ -verdi der $f(x) = 0$
Skjeringspunkt	Der to grafar kryssar kvarandre

📝Oppgave 7

Ei bedrift produserer lamper. Faste kostnader er 60 000 kr/mnd. Variable kostnader er 120 kr/lampe. Salsprisen er 250 kr/lampe. a) Set opp lineære modellar for inntekt og kostnad. b) Finn nullpunktet grafisk og algebraisk. c) Kva er overskotet ved produksjon av 600 lamper?

📝Oppgave 8

Du vurderer å kjøpe elbil eller bensinbil. Elbil: kjøpspris 350 000 kr, driftskostnader 0,30 kr/km. Bensinbil: kjøpspris 250 000 kr, driftskostnader 1,10 kr/km. a) Set opp lineære modellar for totalkostnaden. b) Etter kor mange km er elbilen billigare totalt sett? c) Du køyrer 15 000 km/år. Etter kor mange år har elbilen tent seg inn?

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.