2.1 Lineære modellar | Matematikk 2P

Lineære samanhengar og modellar i praktiske situasjonar.

50 min

13 oppgaver

Lineære funksjonarStigingstalKonstantleddModellering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.3Regresjon

Lineære modellar

Mange samanhengar i kvardagen kan skildrast med lineære funksjonar. Eit mobilabonnement med fast pris pluss pris per GB, ein taxitur med startpris pluss pris per km, eller ein spareavtale med fast beløp per månad – alle er lineære modellar.

I dette kapittelet skal du lære:
- Kva ein lineær funksjon er og kva stigingstal og konstantledd betyr
- Korleis setje opp lineære modellar frå praktiske situasjonar
- Korleis løyse likningar og likningssett grafisk og algebraisk
- Korleis tolke skjeringspunkt

Lineær funksjon

f(x) = ax + b

✏️Eksempel: Mobilabonnement

Eit mobilabonnement kostar 149 kr i månaden pluss 49 kr per GB data. Set opp ein lineær modell for månadskostnaden og finn kostnaden ved 5 GB.

Lat $x$ = talet på GB og $f(x)$ = månadskostnad i kroner.

$f(x) = 49x + 149$

- Stigingstal $a = 49$ betyr at kostnaden aukar med 49 kr per GB
- Konstantledd $b = 149$ er den faste månadsprisen

Kostnad ved 5 GB: $f(5) = 49 \cdot 5 + 149 = 245 + 149 = 394$ kr

Svar: Månadskostnaden er 394 kr ved 5 GB.

📝Oppgave 1

Ein taxi tek 60 kr i startpris og 15 kr per km. Kva kostar ein tur på 12 km?

📝Oppgave 2

Eit leigebilselskap tek 500 kr per dag pluss 3,50 kr per km.

Set opp ein lineær modell for kostnaden ved å leige bil i éin dag.

Kva kostar det å køyre 200 km?

Du har budsjettert 1 200 kr. Kor langt kan du køyre?

Løs oppgaven

Finne funksjonsuttrykk frå to punkt

Viss du kjenner to punkt på grafen, kan du finne funksjonsuttrykket:

1. Rekn ut stigingstalet: $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
2. Set inn eitt av punkta i $y = ax + b$ og løys for $b$

✏️Eksempel: Finne funksjonsuttrykk

Ein symjehall har følgjande prisar: 5 besøk kostar 350 kr og 12 besøk kostar 630 kr. Set opp ein lineær modell.

To punkt: $(5, 350)$ og $(12, 630)$

$\displaystyle a = \frac{630 - 350}{12 - 5} = \frac{280}{7} = 40$

$350 = 40 \cdot 5 + b$

$b = 350 - 200 = 150$

$f(x) = 40x + 150$

Svar: $f(x) = 40x + 150$ , der $x$ er talet på besøk. Grunnprisen (til dømes eit årskort) er 150 kr, og kvart besøk kostar 40 kr.

📝Oppgave 3

Ein straumleverandør har følgjande månadsprisar: Ved 100 kWh forbruk er prisen 850 kr, ved 300 kWh er prisen 1 450 kr.

Finn ein lineær modell for prisen.

Kva er den faste månadsprisen?

Kva kostar straumen per kWh?

Løs oppgaven

Skjeringspunkt mellom to lineære funksjonar

f(x) = a_1 x + b_1

✏️Eksempel: Samanlikne to abonnement

Abonnement A kostar 199 kr/mnd pluss 9 kr per GB. Abonnement B kostar 349 kr/mnd med fri data. Når lønner det seg å velje B?

A(x) = 9x + 199

B(x) = 349

Skjeringspunkt: $9x + 199 = 349$

$9x = 150$

$\displaystyle x = \frac{150}{9} \approx 16{,}7$ GB

For $x > 16{,}7$ GB er B billigast. For $x < 16{,}7$ GB er A billigast.

Svar: Brukar du meir enn ca. 17 GB per månad, lønner B seg.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Samanlikne to abonnement grafisk

Blått abonnement:

f(x) = 199 + 0{,}5x

(høg fastpris, låg minuttpris). Raudt:

g(x) = 99 + 1{,}5x

. Det grøne skjeringspunktet viser forbruket der abonnementa kostar det same – til venstre er raudt billigast, til høgre er blått billigast.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 199 + 0.5x
g(x) = 99 + 1.5x
S = Skjæring(f, g)
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Red")
SetColor(S, "Green")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 4

Treningssenter X kostar 299 kr/mnd utan bindingstid. Treningssenter Y kostar 3 000 kr i innmeldingsavgift + 199 kr/mnd.

Set opp lineære modellar for totalkostnaden etter $x$ månader.

Etter kor mange månader har Y vorte billigare enn X?

Kva er totalkostnaden for kvart senter etter 12 månader?

📝Oppgave 5

Grafen til f(x) = −3x + 12 kryssar x-aksen. Kva er nullpunktet?

Likningssett

Når vi har to ukjende, treng vi to likningar. Dette vert kalla eit likningssett.

Innsetjingsmetoden: Løys éi likning for éin variabel, set inn i den andre.

Addisjonsmetoden: Kombiner likningane slik at éin variabel forsvinn.

Grafisk løysing: Teikn grafane og finn skjeringspunktet.

✏️Eksempel: Likningssett i praksis

På ein kantine kostar ein baguett og ein juice til saman 95 kr. To baguettar og ein juice kostar 145 kr. Kva kostar kvar?

Lat $b$ = pris baguett og $j$ = pris juice.

$b + j = 95$ ... (1)
$2b + j = 145$ ... (2)

Trekk (1) frå (2): $(2b + j) - (b + j) = 145 - 95$

$b = 50$

Set inn i (1): $50 + j = 95 \Rightarrow j = 45$

Svar: Ein baguett kostar 50 kr og ein juice kostar 45 kr.

📝Oppgave 6

Ein billett til vaksen og ein til barn kostar til saman 180 kr på kino. Tre vaksne og to barn kostar 470 kr. Finn prisen for kvar billettype.

Lese av grafar

Mange eksamensoppgåver gir ein graf og spør etter verdiar vi skal lese av. Avlesinga blir nøyaktig når vi går langs rutelinjene og les av i rutekryss.

- $y$ når $x$ er kjend: Gå loddrett frå $x$ -verdien til grafen og vassrett vidare til $y$ -aksen.
- $x$ når $y$ er kjend: Gå vassrett frå $y$ -verdien til grafen og loddrett ned til $x$ -aksen. Treffer linja grafen fleire stader, er det fleire løysingar.
- Likninga $f(x) = g(x)$ : $x$ -verdiane i skjeringspunkta mellom grafane.
- Ulikskapen $f(x) < g(x)$ : $x$ -verdiane der grafen til $f$ ligg under grafen til $g$ .
- Stigingstalet til ei rett linje: Les av to punkt i rutekryss og rekn ut $\displaystyle a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

I GeoGebra kontrollerer vi avlesinga med kommandoar som f(100), Skjering(f, y = 1200) og Skjering(f, g).

✏️Døme: Lese av ein kostnadsgraf

Grafen viser kostnaden $K$ i kroner for å leige ein varebil og køyre $x$ kilometer.

Koordinatsystem med køyrelengd i kilometer frå 0 til 200 langs x-aksen og kostnad i kroner frå 0 til 1400 langs y-aksen. Ei rett linje K startar i 400 på y-aksen og stig jamt til 1400 ved 200 km.

a) Kva kostar det å køyre 100 km?

b) Kor langt kan vi køyre for 1 200 kr?

c) Finn stigingstalet til grafen. Kva fortel det?

Avlese i grafen:

$K(100) = 900$

Svar: Det kostar 900 kr å køyre 100 km.

Avlese i grafen:

$K(x) = 1\,200$ for $x = 160$

Den same grafen med stipla avlesingslinjer: frå 100 på x-aksen opp til grafen og bort til 900 på y-aksen, og frå 1200 på y-aksen bort til grafen og ned til 160 på x-aksen. Punkta (100, 900) og (160, 1 200) er markerte.

Svar: Vi kan køyre 160 km for 1 200 kr.

Punkta $(0, 400)$ og $(100, 900)$ ligg i rutekryss.

$a = \frac{900 - 400}{100 - 0} = \frac{500}{100} = 5$

Svar: Stigingstalet er 5. Kvar kilometer kostar 5 kr ekstra.

📝Oppgave G1

Grafen viser temperaturen $T$ i °C eit døgn i april frå klokka 6 til klokka 22. $x$ er klokkeslettet i timar.

Koordinatsystem med klokkeslett i timar frå 0 til 24 langs x-aksen og temperatur i gradar frå 0 til 18 langs y-aksen. Grafen T startar i 0 gradar klokka 6, stig til eit toppunkt midt på dagen og søkk til 0 gradar klokka 22.

Kva var temperaturen klokka 10?

Når var temperaturen høgast, og kor høg var han?

Når var temperaturen 12 °C?

I kva tidsrom var temperaturen over 12 °C?

Løs oppgaven

📝Oppgave G2

Grafen viser prisen $K$ i kroner for $x$ kg druer.

Koordinatsystem med vekt i kilogram frå 0 til 7 langs x-aksen og pris i kroner frå 0 til 220 langs y-aksen. Ei rett linje K går gjennom origo og stig jamt.

Kva kostar 2 kg druer?

Kor mange kilo druer får du for 120 kr?

Finn kiloprisen. Kvifor er prisen proporsjonal med vekta?

Løs oppgaven

📝Oppgave G3

To taxiselskap har ulike prisar. Grafane viser prisen i kroner for ein tur på $x$ km med taxi A og taxi B.

Koordinatsystem med turlengd i kilometer frå 0 til 20 langs x-aksen og pris i kroner frå 0 til 400 langs y-aksen. Linja for taxi A startar lågare på y-aksen enn linja for taxi B, men er brattare, og dei to linjene kryssar kvarandre.

Kva kostar ein tur på 20 km med kvart av selskapa?

For kva turlengd kostar dei to selskapa like mykje? Kva er prisen då?

For kva turlengder er taxi A billigast?

Finn startprisen og kilometerprisen for taxi A.

📝Oppgave G4

Grafen viser mengda verkestoff $M$ i milligram i blodet $t$ timar etter at ein pasient tok ei tablett.

Koordinatsystem med tid i timar frå 0 til 16 langs x-aksen og verkestoff i milligram frå 0 til 200 langs y-aksen. Grafen M startar i 200 og søkk raskt i byrjinga og så stadig langsamare.

Kor mykje verkestoff var det i blodet då pasienten tok tabletten?

Kor mykje verkestoff var att etter 8 timar?

Finn halveringstida.

Når er det 25 mg verkestoff att?

Løs oppgaven

📝Oppgave G5

Grafane til funksjonane $f$ og $g$ er teikna i koordinatsystemet.

Koordinatsystem med x frå minus 1 til 7 og y frå minus 1 til 10. Grafen til f er ein parabel som vender den holsida opp, med botnpunkt nær x lik 3. Grafen til g er ei rett linje gjennom origo som stig og skjer parabelen to stader.

Løys likninga $f(x) = g(x)$ grafisk.

Løys ulikskapen $f(x) < g(x)$ grafisk.

Løys likninga $f(x) = 2$ grafisk.

Kor mange løysingar har likninga $f(x) = k$ når $k = 0$ , når $k = 1$ og når $k = 3$ ?

📝Oppgave 7

Ei bedrift produserer lamper. Faste kostnader er 60 000 kr/mnd. Variable kostnader er 120 kr/lampe. Salsprisen er 250 kr/lampe.

Set opp lineære modellar for inntekt og kostnad.

Finn kor mange lamper bedrifta må selje for at inntekta skal bli lik kostnaden (nullpunktet for overskotet), både grafisk og ved rekning.

Kva er overskotet ved produksjon av 600 lamper?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Du vurderer å kjøpe elbil eller bensinbil. Elbil: kjøpspris 350 000 kr, driftskostnader 0,30 kr/km. Bensinbil: kjøpspris 250 000 kr, driftskostnader 1,10 kr/km.

Set opp lineære modellar for totalkostnaden.

Etter kor mange km er elbilen billigare totalt sett?

Du køyrer 15 000 km per år. Etter kor mange år har elbilen tent seg inn?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Lineær funksjon: $f(x) = ax + b$ med stigingstal $a$ og konstantledd $b$
- Stigingstal frå to punkt: $a = \Delta y / \Delta x$
- Skjeringspunkt: Der to funksjonar er like – løys $f(x) = g(x)$
- Likningssett: To likningar med to ukjende – løys med innsetjing eller addisjon
- Lese av grafar: Les av i rutekryss. Løysingane av $f(x) = g(x)$ er $x$ -verdiane i skjeringspunkta, og $f(x) < g(x)$ der grafen til $f$ ligg under grafen til $g$

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Stigingstal	Kor mykje $y$ aukar når $x$ aukar med 1
Konstantledd	Verdien av funksjonen når $x = 0$
Nullpunkt	$x$ -verdi der $f(x) = 0$
Skjeringspunkt	Der to grafar kryssar kvarandre

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.