8.1 Modellering med funksjoner

Bruke matematiske funksjoner til å beskrive og forutsi virkelige fenomener.

45 min

10 oppgaver

Matematisk modelleringModelleringsprosessenVariable størrelserInterpoleringEkstrapolering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.8Eksponentialfunksjoner

Brukes videre i

8.2Potensfunksjoner 8.3Lineær regresjon

Kva er matematisk modellering?

I mange fag og yrke ønskjer vi å skildre verkelegheita med matematikk. Ein matematisk modell er ei forenkla framstilling av ein verkeleg situasjon, uttrykt gjennom matematiske uttrykk, formlar eller funksjonar.

Til dømes kan vi modellere:
- Korleis temperaturen i ein kopp kaffi søkk over tid (eksponentiell modell)
- Korleis bana til ein ball gjennom lufta ser ut (kvadratisk modell)
- Korleis prisen på ei vare avheng av tilbod og etterspurnad (lineær modell)

Ein modell er alltid ei forenkling. Vi vel ut dei viktigaste faktorane og ser bort frå mindre viktige detaljar. Ein modell for bana til ein ball ignorerer til dømes ofte luftmotstand.

Matematisk modell

Ein matematisk modell er ei matematisk skildring av ein verkeleg situasjon. Modellen brukar variablar, funksjonar og likningar til å skildre samanhengar mellom storleikar i verkelegheita. Ein modell er alltid ei forenkling, og vi må alltid vurdere om modellen gjev fornuftige resultat innanfor det området vi brukar han.

Modelleringsprosessen

Matematisk modellering følgjer typisk desse stega:

1. Observere – Studer situasjonen og samle inn data
2. Identifisere variablar – Kva er dei viktige storleikane? Kva er uavhengig og avhengig variabel?
3. Sette opp ein modell – Vel ein funksjonstype og bestem parametrane
4. Teste modellen – Samanlikn verdiane til modellen med observerte data
5. Vurdere – Er modellen god nok? Kan han forbetrast? Kvar gjeld han?

Denne prosessen er ofte iterativ – vi går tilbake og justerer modellen dersom han ikkje passar godt nok.

Å velje rett funksjonstype er nøkkelen til god modellering. Tenk over:
- Lineær funksjon $f(x) = ax + b$ : Jamn auke eller reduksjon
- Kvadratisk funksjon $f(x) = ax^2 + bx + c$ : Vekst som aukar eller avtek, har toppunkt/botnpunkt
- Eksponentiell funksjon $f(x) = a \cdot b^x$ : Prosentvis vekst eller nedgang
- Potensfunksjon $f(x) = a \cdot x^b$ : Samanhengar der den eine storleiken er ein potens av den andre

✏️Døme 1 – Lineær modell

Ein taxitur kostar 50 kr i startpris pluss 12 kr per kilometer. Set opp ein modell for prisen $P$ som funksjon av talet på køyrde kilometer $x$ . Kva kostar ein tur på 15 km?

Vi identifiserer variablane:
-

x

: talet på køyrde kilometer (uavhengig variabel)
-

P(x)

: prisen i kroner (avhengig variabel)

Prisen aukar jamt med 12 kr per km, så dette er ein lineær samanheng:

$P(x) = 12x + 50$

For ein tur på 15 km:

$P(15) = 12 \cdot 15 + 50 = 180 + 50 = 230$

Ein tur på 15 km kostar 230 kr.

Gyldigheitsområde: Modellen gjeld for $x \geq 0$ . I praksis er det gjerne ei maksimal køyrelengd og modellen tek ikkje omsyn til eventuelle tillegg for ventetid.

✏️Døme 2 – Kvadratisk modell

Ein bonde har 80 meter gjerde og vil lage eit rektangulært innhegna område langs ei elv (elva utgjer den eine langsida, så gjerdet vert brukt berre på tre sider). Set opp ein modell for arealet $A$ som funksjon av breidda $x$ , og finn breidda som gjev størst areal.

Lat

x

vere breidda (dei to kortsidene) og

l

vere lengda (den eine langsida med gjerde).

Gjerdeforbruket gjev oss samanhengen:

$2x + l = 80 \implies l = 80 - 2x$

Arealet vert:

$A(x) = x \cdot l = x(80 - 2x) = 80x - 2x^2$

Dette er ein andregradsfunksjon med $a = -2 < 0$ , så han har eit toppunkt. Vi finn toppunktet:

$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{80}{2 \cdot (-2)} = \frac{80}{4} = 20$

Med $x = 20$ får vi $l = 80 - 2 \cdot 20 = 40$ og:

$A(20) = 20 \cdot 40 = 800 \text{ m}^2$

Gyldigheitsområde: $0 < x < 40$ (breidda må vere positiv, og lengda $80 - 2x$ må òg vere positiv).

Interpolering og ekstrapolering

Interpolering tyder å bruke modellen til å anslå verdiar mellom kjende datapunkt. Interpolering er som regel påliteleg. Ekstrapolering tyder å bruke modellen til å anslå verdiar utanfor området der vi har data. Ekstrapolering er meir usikkert fordi vi ikkje veit om modellen gjeld der.

✏️Døme 3 – Eksponentiell modell og ekstrapolering

Ein by hadde 25 000 innbyggjarar i 2010 og har hatt ein årleg folkevekst på 2,5 %. Set opp ein modell for folketalet $B(t)$ der $t$ er talet på år etter 2010. Bruk modellen til å anslå folketalet i 2020 og i 2050. Kommenter påliteligheita av anslaga.

Prosentvis vekst gjev ein eksponentiell modell. Vekstfaktoren er

1 + 0{,}025 = 1{,}025

$B(t) = 25\,000 \cdot 1{,}025^t$

År 2020 ( $t = 10$ ):

$B(10) = 25\,000 \cdot 1{,}025^{10} \approx 25\,000 \cdot 1{,}2801 \approx 32\,003$

År 2050 ( $t = 40$ ):

$B(40) = 25\,000 \cdot 1{,}025^{40} \approx 25\,000 \cdot 2{,}6851 \approx 67\,126$

Vurdering: Anslaget for 2020 er interpolering (eller nær-ekstrapolering) og ganske påliteleg dersom vekstraten har halde seg stabil. Anslaget for 2050 er langt fram i tid (ekstrapolering), og det er svært usikkert. Vekstraten kan endre seg på grunn av politikk, migrasjon eller andre faktorar.

Når du modellerer, still deg alltid desse spørsmåla:
- Gjev modellen fornuftige verdiar for ekstreme input (svært store eller små $x$ )?
- Er det nokre naturlege avgrensingar? (Talet på personar kan ikkje vere negativt, temperatur har ei nedre grense, osv.)
- Kva skjer dersom vi brukar modellen langt utanfor datapunkta?

📊Utforsk modellering

Prøv å endre parametrane i modellane og sjå korleis grafane endrar seg. Samanlikn lineær, kvadratisk og eksponentiell vekst.

📝Oppgave 1

Eit mobilabonnement kostar 99 kr i månaden pluss 0,50 kr per send SMS. Set opp ein modell $K(x)$ for den månadlege kostnaden som funksjon av talet på sende SMS $x$ . Kva vert kostnaden dersom du sender 120 SMS på ein månad?

📝Oppgave 2

Ein stein vert kasta opp frå bakken med ein startfart på $20$ m/s. Høgda (i meter) etter $t$ sekund kan modellerast med $h(t) = 20t - 4{,}9t^2$ .

Kor høgt er steinen etter 1 sekund?

Når er steinen på sitt høgaste punkt, og kor høgt er det?

Når treffer steinen bakken igjen?

Kva er gyldigheitsområdet for modellen?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Ein kaffikopp har ein temperatur på $90$ °C når han vert sett på bordet. Romtemperaturen er $20$ °C. Etter 5 minutt er temperaturen sunken til $70$ °C. Temperaturen kan modellerast med $T(t) = 20 + 70 \cdot b^t$ , der $t$ er tid i minutt.

Vis at $T(0) = 90$ °C.

Bruk opplysninga om at $T(5) = 70$ °C til å bestemme $b$ .

Kva er temperaturen etter 15 minutt?

Kva skjer med temperaturen når $t \to \infty$ ? Er dette realistisk?

📝Oppgave 4

Ein nettbutikk sel eit produkt for $p$ kroner per stykk. Erfaringsmessig sel dei $1200 - 4p$ produkt per månad (for $0 \leq p \leq 300$ ). Produksjonskostnaden per eining er 80 kr, og faste kostnader er 15 000 kr per månad.

Set opp ein modell for inntekta $I(p)$ og kostnadene $K(p)$ .

Set opp ein modell for overskotet $O(p)$ og finn prisen som gjev størst overskot.

Kva er det maksimale overskotet?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Tabellen viser talet på registrerte elbilar i Noreg (i tusen) ved utvalde år:

År	2015	2017	2019	2021
Tal (tusen)	70	140	260	450

Lat

t

vere talet på år etter 2015.

Prøv å tilpasse ein lineær modell $f(t) = at + b$ . Bruk punkta $(0, 70)$ og $(6, 450)$ til å bestemme $a$ og $b$ .

Prøv å tilpasse ein eksponentiell modell $g(t) = 70 \cdot b^t$ . Bruk punktet $(6, 450)$ til å bestemme $b$ .

Kva modell passar best med dei andre datapunkta? Sjekk for $t = 2$ (2017) og $t = 4$ (2019).

Diskuter avgrensingane til begge modellane. Kan nokon av dei brukast til å føresjå talet i 2030?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Matematisk modell: Ein funksjon som skildrar ein verkeleg situasjon med matematikk
- Modelleringsprosessen: Frå verkelegheit til modell, utrekning, og tilbake til tolking av svaret
- Modelltypar: Lineære modellar (fast endring), kvadratiske modellar (t.d. kast) og eksponentielle modellar (prosentvis endring)
- Interpolering: Å bruke modellen innanfor dataområdet — som regel påliteleg
- Ekstrapolering: Å bruke modellen utanfor dataområdet — kan gje upålitelege svar

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Modell	Funksjon som skildrar verkelegheita
Interpolering	Bruk av modellen innanfor dataområdet
Ekstrapolering	Bruk av modellen utanfor dataområdet
Gyldigheitsområde	Verdiane der modellen gjev meining

Hugs

- Vurder alltid om svaret frå modellen er rimeleg i den verkelege situasjonen

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.