8.3 Lineær regresjon

Tilpasse lineære modeller til datasett med digitale verktøy.

40 min

10 oppgaver

SpredningsdiagramLineær regresjonKorrelasjonr-verdiPrediksjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Modellering med funksjoner

Brukes videre i

8.4Ikke-lineær regresjon

Fra datapunkter til modell

I mange situasjoner har vi et sett med målte datapunkter, og vi ønsker å finne en matematisk funksjon som beskriver sammenhengen mellom variablene. Denne prosessen kalles regresjon.

Det første steget er å lage et spredningsdiagram (også kalt punktdiagram). Vi plotter datapunktene i et koordinatsystem for å se om det er en synlig trend:
- Ser punktene ut til å ligge langs en rett linje? → Lineær regresjon
- Buet oppover eller nedover? → Polynomregresjon
- Eksponentiell vekst? → Eksponentialregresjon

Lineær regresjon

y = ax + b

Minste kvadraters metode

Den mest brukte metoden for å finne regresjonslinjen er minste kvadraters metode (MKM). Ideen er enkel:

For hvert datapunkt $(x_i, y_i)$ beregner vi avviket (residualet) fra linjen:

$e_i = y_i - (ax_i + b)$

Vi ønsker å minimere summen av kvadrerte avvik:

$S = \sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (y_i - ax_i - b)^2$

Vi kvadrerer avvikene slik at positive og negative avvik ikke opphever hverandre, og slik at store avvik straffes ekstra hardt.

Du trenger ikke å utføre disse beregningene for hånd – digitale verktøy som GeoGebra gjør det for deg. Det viktige er å forstå prinsippet bak.

Residual betyr avvik. Residualet for et datapunkt er den vertikale avstanden mellom datapunktet og regresjonslinjen. Dersom residualene er jevnt fordelt rundt null og ikke viser noe mønster, tyder det på at en lineær modell passer godt.

📊Lineær regresjon i GeoGebra

Skriv inn datapunktene som en liste og bruk RegLin-kommandoen for å finne regresjonslinjen. Prøv å legge til, flytte eller fjerne punkter og se hvordan linjen endres.

✏️Eksempel 1 – Temperatur og issalg

En iskremkiosk har registrert daglig temperatur og antall solgte is i en uke:

Temperatur (°C)	15	18	21	24	27	30	33
Antall is	48	56	70	82	95	112	120

Bruk GeoGebra til å finne regresjonslinjen. Tolk stigningstallet og konstantleddet.

I GeoGebra skriver vi:

liste = {(15, 48), (18, 56), (21, 70), (24, 82), (27, 95), (30, 112), (33, 120)}
RegLin(liste)

GeoGebra gir oss (tilnærmet):

$y = 4{,}1x - 15{,}4$

Tolkning:
- Stigningstallet $a \approx 4{,}1$ : For hver grad temperaturen øker, selges det i gjennomsnitt 4,1 flere is.
- Konstantleddet $b \approx -15{,}4$ : Modellen gir $-15{,}4$ is ved 0 °C. Dette er ikke fysisk meningsfullt (man kan ikke selge negativt antall is), men det viser at modellen ikke bør brukes for lave temperaturer.

Modellen passer best i intervallet $15 \leq x \leq 33$ (der vi har data).

Korrelasjon

Korrelasjon måler styrken og retningen på den lineære sammenhengen mellom to variabler. Korrelasjonskoeffisienten $r$ er et tall mellom $-1$ og $1$ :

- $r = 1$ : Perfekt positiv korrelasjon (alle punkter på en linje med positiv stigning)
- $r = -1$ : Perfekt negativ korrelasjon (alle punkter på en linje med negativ stigning)
- $r = 0$ : Ingen lineær korrelasjon
- $|r| > 0{,}8$ : Sterk korrelasjon
- $0{,}5 < |r| < 0{,}8$ : Moderat korrelasjon
- $|r| < 0{,}5$ : Svak korrelasjon

I GeoGebra kan du finne $r$ med kommandoen Kor(liste) eller CorrelationCoefficient(listX, listY).

Korrelasjon og kausalitet

Korrelasjon betyr at to variabler har en statistisk sammenheng - de endrer seg sammen. Kausalitet betyr at endring i den ene variabelen forårsaker endring i den andre. Korrelasjon betyr IKKE kausalitet. To variabler kan korrelere uten at den ene forårsaker den andre. Det kan finnes en tredje variabel (en konfunderende variabel) som påvirker begge. Eksempel: Det er sterk korrelasjon mellom issalg og antall drukningsulykker. Det betyr ikke at is forårsaker drukningsulykker - begge påvirkes av en tredje variabel: varmt vær.

✏️Eksempel 2 – Korrelasjon og prediksjon

Tabellen viser sammenhengen mellom antall timer brukt på lekser per uke ( $x$ ) og poengsum på en prøve ( $y$ ) for 8 elever:

Timer ( $x$ )	2	3	4	5	6	7	8	10
Poeng ( $y$ )	35	42	50	58	62	70	75	88

a) Finn regresjonslinjen.
b) Finn korrelasjonskoeffisienten og vurder styrken.

c) Bruk modellen til å anslå poengsummen for en elev som bruker 9 timer.

a) I GeoGebra: RegLin({(2,35),(3,42),(4,50),(5,58),(6,62),(7,70),(8,75),(10,88)})

Resultat: $y \approx 6{,}5x + 21{,}5$

b) Korrelasjonskoeffisienten: $r \approx 0{,}997$

Siden $|r| > 0{,}8$ har vi en sterk positiv korrelasjon. Den lineære modellen passer svært godt til dataene.

c) For $x = 9$ :
$y = 6{,}5 \cdot 9 + 21{,}5 = 58{,}5 + 21{,}5 = 80$

Modellen anslår omtrent 80 poeng. Siden $x = 9$ ligger mellom datapunktene $x = 8$ og $x = 10$ , er dette interpolering og anslaget er ganske pålitelig.

Merk: Selv om korrelasjonen er sterk, kan vi ikke konkludere med at det bare er leksetimer som bestemmer poengsummen. Andre faktorer som forkunnskaper, læringsstil og konsentrasjon spiller også inn.

Steg for lineær regresjon i GeoGebra:

1. Opprett en liste med datapunkter: liste = {(x₁, y₁), (x₂, y₂), ...}
2. Finn regresjonslinjen: RegLin(liste)
3. Finn korrelasjonskoeffisienten: Bruk Kor(xListe, yListe) (eller beregn fra GeoGebras regresjonsverktøy)
4. Vurder om modellen passer: Se på $r$ -verdien og residualene

📝Oppgave 1

Forklar med egne ord hva disse begrepene betyr:

a) Regresjonslinje
b) Residual
c) Korrelasjon
d) Hvorfor er det viktig å skille mellom korrelasjon og kausalitet?

📝Oppgave 2

Tabellen viser sammenhengen mellom alder ( $x$ , i måneder) og høyde ( $y$ , i cm) for et barn:

Alder (mnd)	0	3	6	9	12	18	24
Høyde (cm)	50	58	65	70	75	82	87

Bruk GeoGebra til å finne regresjonslinjen og korrelasjonskoeffisienten.

Tolk stigningstallet i konteksten.

Bruk modellen til å anslå høyden ved 15 måneder. Er dette interpolering eller ekstrapolering?

Hva gir modellen ved 10 års alder (120 måneder)? Er dette rimelig?

📝Oppgave 3

En forsker undersøker sammenhengen mellom gjennomsnittlig dagtemperatur ( $x$ , i °C) og strømforbruk til oppvarming ( $y$ , i kWh) for et hus over 10 vinterdager:

Temp (°C)	-10	-7	-4	-1	0	2	5	7	10	12
kWh	85	78	68	60	55	48	38	30	22	15

Finn regresjonslinjen og korrelasjonskoeffisienten med GeoGebra.

Hva forteller stigningstallet oss? Hva forteller den negative korrelasjonen?

Ved hvilken temperatur forutsier modellen at strømforbruket er null?

📝Oppgave 4

En elev påstår: «Jeg har funnet at det er sterk positiv korrelasjon ( $r = 0{,}92$ ) mellom antall brannstasjoner i en by og antall kriminalitetssaker. Altså fører flere brannstasjoner til mer kriminalitet.» Forklar hva som er galt med denne konklusjonen, og foreslå en bedre forklaring.

📝Oppgave 5

Tabellen viser gjennomsnittlig levealder ( $y$ , i år) og BNP per innbygger ( $x$ , i tusen dollar) for 8 land:

BNP (tusen dollar)	2	5	10	20	30	40	50	60
Levealder (år)	55	62	70	76	79	80	81	82

Lag et spredningsdiagram (for hånd eller i GeoGebra) og beskriv hva du ser.

Finn likevel regresjonslinjen og korrelasjonskoeffisienten. Passer en lineær modell godt?

Diskuter om det er rimelig å si at høyere BNP forårsaker høyere levealder.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Lineær regresjon: Å finne den rette linjen som passer best til et sett med datapunkter
- Minste kvadraters metode: Linjen velges slik at summen av de kvadrerte avvikene (residualene) blir minst mulig
- Bruk av modellen: Sett inn $x$ -verdier i regresjonslinjen for å predikere $y$ -verdier
- Korrelasjon: Korrelasjonskoeffisienten $r$ ( $-1 \leq r \leq 1$ ) måler hvor sterk den lineære sammenhengen er
- Korrelasjon er ikke kausalitet: At to størrelser samvarierer, betyr ikke at den ene forårsaker den andre

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Regresjonslinje	Linjen som passer best til dataene
Residual	Avviket mellom datapunkt og modell
Korrelasjonskoeffisient	Styrken på lineær sammenheng ( $r$ )
Kausalitet	Årsakssammenheng

Husk

r

nær

\pm 1

: sterk lineær sammenheng.

r

nær

0

: svak sammenheng
- I GeoGebra: legg punktene i regnearket og bruk RegLin(liste)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.