8.4 Ikke-lineær regresjon

Polynom-, eksponential- og potensregresjon med digitale verktøy.

40 min

10 oppgaver

PolynomregresjonEksponentialregresjonPotensregresjonModellvalgr²-verdi

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.3Lineær regresjon

Brukes videre i

8.5Modellvurdering og praktisk bruk

Når den rette linjen ikke passer

I forrige kapittel lærte vi om lineær regresjon. Men mange virkelige sammenhenger er ikke lineære. Dersom vi plotter datapunktene og de danner et buet mønster, eller dersom residualene fra den lineære modellen viser et systematisk mønster (f.eks. først negative, så positive, så negative igjen), bør vi prøve en ikke-lineær modell.

De vanligste alternativene er:
- Polynomregresjon: Tilpasse et andregrads- eller tredjegradspolynom
- Eksponentialregresjon: Tilpasse en eksponentialfunksjon $y = a \cdot b^x$
- Potensregresjon: Tilpasse en potensfunksjon $y = a \cdot x^b$

Residualanalyse

e_i = y_i - \hat{y}_i

Polynomregresjon

Dersom datapunktene ser ut til å følge en parabel (U-form eller omvendt U), kan vi prøve en andregradsmodell:

$y = ax^2 + bx + c$

Dersom kurven har et S-formet mønster eller to vendepunkter, kan vi prøve en tredjegradsmodell:

$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$

I GeoGebra bruker vi kommandoen RegPoly(liste, grad):
- RegPoly(liste, 2) for andregradstilpasning
- RegPoly(liste, 3) for tredjegradstilpasning

✏️Eksempel 1 – Polynomregresjon

En forsker måler hastigheten til et kjemisk reaksjon ( $y$ , i mol/s) ved ulike temperaturer ( $x$ , i °C):

Temp (°C)	10	20	30	40	50	60	70
Hastighet	0,5	1,8	4,0	7,2	11,5	17,0	24,0

Tilpass en andregradsfunksjon og vurder om den passer godt.

I GeoGebra:

liste = {(10, 0.5), (20, 1.8), (30, 4.0), (40, 7.2), (50, 11.5), (60, 17.0), (70, 24.0)}
RegPoly(liste, 2)

Resultat: $y \approx 0{,}0037x^2 - 0{,}016x + 0{,}33$

Vi sjekker med $r^2$ (forklaringsgrad). GeoGebra gir $r^2 \approx 0{,}999$ , som betyr at modellen forklarer 99,9 % av variasjonen i dataene. Modellen passer svært godt.

Vi kan sammenligne med en lineær modell: $y \approx 0{,}38x - 4{,}0$ med $r^2 \approx 0{,}98$ . Den lineære modellen er ikke dårlig, men andregradsfunksjonen fanger opp den svake krumningen i dataene bedre.

Eksponentialregresjon

Dersom dataene viser eksponentiell vekst eller nedgang (verdiene dobles eller halveres over jevne intervaller), tilpasser vi en funksjon på formen:

$y = a \cdot b^x$

I GeoGebra bruker vi kommandoen RegExp(liste).

Eksponentialregresjon er spesielt nyttig for:
- Befolkningsvekst
- Radioaktivt henfall
- Bakterievekst
- Rentes rente

✏️Eksempel 2 – Eksponentialregresjon

Tabellen viser antall bakterier i en petriskål etter $t$ timer:

Timer ( $t$ )	0	1	2	3	4	5	6
Bakterier	100	150	230	340	510	760	1140

Tilpass en eksponentialfunksjon og beregn doblingstiden.

I GeoGebra:

liste = {(0, 100), (1, 150), (2, 230), (3, 340), (4, 510), (5, 760), (6, 1140)}
RegExp(liste)

Resultat: $y \approx 100 \cdot 1{,}50^t$

Tolkning: Startverdien er omtrent 100 bakterier, og bestanden øker med 50 % per time (vekstfaktor 1,50).

Doblingstid: Vi løser $1{,}50^t = 2$ :

$t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}50} = \frac{0{,}693}{0{,}405} \approx 1{,}71 \text{ timer}$

Bakteriebestanden dobles omtrent hver 1 time og 43 minutter.

Potensregresjon

Dersom sammenhengen mellom $x$ og $y$ best beskrives med en potensfunksjon $y = a \cdot x^b$ , bruker vi potensregresjon.

I GeoGebra bruker vi kommandoen RegPot(liste).

Potensregresjon er nyttig for:
- Fysiske lover (Keplers lov, fritt fall)
- Areal og volum som funksjon av lengdemål
- Biologiske skaleringslover (f.eks. kroppsmasse vs. metabolisme)

✏️Eksempel 3 – Potensregresjon

Tabellen viser sammenhengen mellom kroppsmassen $m$ (i kg) og hjertefrekvensen $f$ (slag per minutt) for ulike pattedyr:

Dyr	Mus	Kanin	Katt	Hund	Menneske	Hest	Elefant
Masse (kg)	0,03	2	4	20	70	500	5000
Hjertefrekvens	600	200	150	100	70	35	25

Tilpass en potensfunksjon

f = a \cdot m^b

og tolk eksponenten.

I GeoGebra:

liste = {(0.03, 600), (2, 200), (4, 150), (20, 100), (70, 70), (500, 35), (5000, 25)}
RegPot(liste)

Resultat: $f \approx 220 \cdot m^{-0{,}25}$

Tolkning av eksponenten: $\displaystyle b \approx -0{,}25 = -\frac{1}{4}$ .

Hjertefrekvensen avtar som fjederoten av kroppsmassen. Dobler vi massen, endres hjertefrekvensen med en faktor $2^{-0{,}25} \approx 0{,}84$ , altså en reduksjon på ca. 16 %.

Denne sammenhengen er kjent som Kleibers lov (i en utvidet form) og gjelder overraskende godt for svært mange pattedyr.

Modellvalg: Hvilken modell passer best?

For å velge mellom ulike modeller kan vi bruke:

1. $r^2$ -verdien (forklaringsgraden): Denne angir hvor stor andel av variasjonen i dataene som forklares av modellen. $r^2 = 1$ betyr perfekt tilpasning. Vi velger modellen med høyest $r^2$ .

2. Visuell vurdering: Plott dataene og regresjonslinjen i et spredningsdiagram. Ser modellen ut til å fange opp mønsteret i dataene?

3. Residualanalyse: Plott residualene. Dersom de viser et tilfeldig mønster, passer modellen godt.

4. Faglig kunnskap: Vet vi noe om den underliggende mekanismen? Fysiske lover foretrekkes fremfor rent statistiske tilpasninger.

Pass opp for overtilpasning! Med nok parametre kan vi alltid tilpasse dataene perfekt (et

n

-te grads polynom går alltid gjennom

n+1

punkter). Men en slik modell fanger gjerne opp tilfeldig støy og gir dårlige forutsigelser for nye data. Velg den enkleste modellen som gir en god tilpasning.

📊Sammenlign regresjonstyper

Skriv inn et datasett og sammenlign lineær, kvadratisk, eksponentiell og potensregresjon. Hvilken modell passer best?

📝Oppgave 1

For hvert av de følgende datasettene, avgjør (uten å gjøre regresjon) hvilken modelltype som trolig passer best: lineær, kvadratisk, eksponentiell eller potens.

a) Antall solgte biler i en by over 10 år, der salget øker med omtrent 500 biler hvert år
b) Antall bananfluer i et glass, der bestanden dobles hver tredje dag
c) Bremselengde som funksjon av fart
d) Pendelens svingetid som funksjon av lengden

📝Oppgave 2

Tabellen viser nedkjøling av en metallbit i vann. Temperaturen $T$ (i °C over romtemperatur) er målt ved ulike tidspunkter $t$ (i minutter):

$t$ (min)	0	2	4	6	8	10	12
$T$ (°C)	80	58	42	30	22	16	11

Bruk GeoGebra til å tilpasse en eksponentialfunksjon $T = a \cdot b^t$ .

Hva er halveringstiden? (Når er temperaturen halvert?)

Sammenlign med en lineær modell. Hvilken passer best?

📝Oppgave 3

Tabellen viser bremsestrekninger ( $d$ , i meter) for en bil ved ulike hastigheter ( $v$ , i km/h):

$v$ (km/h)	30	50	70	90	110	130
$d$ (m)	5	13	25	42	62	87

Bruk GeoGebra til å tilpasse en potensfunksjon $d = a \cdot v^b$ .

Hva forteller eksponenten oss om sammenhengen?

Estimer bremsestrekningen ved 100 km/h.

📝Oppgave 4

Tabellen viser verdien av et kunstskatter ( $y$ , i tusen kroner) ved ulike tidspunkter ( $t$ , i år etter kjøp):

$t$ (år)	0	2	5	8	10	15	20
$y$ (tusen kr)	50	58	72	90	105	150	210

Tilpass en lineær modell, en eksponentiell modell og en andregradsfunksjon. Finn $r^2$ for hver.

Hvilken modell passer best? Begrunn svaret.

Bruk den eksponentielle modellen til å anslå verdien etter 30 år. Er anslaget pålitelig?

📝Oppgave 5

En forsker samler data om CO₂-konsentrasjonen i atmosfæren (i ppm) fra 1960 til 2020:

År	1960	1970	1980	1990	2000	2010	2020
CO₂ (ppm)	317	326	339	354	369	390	414

t

være antall år etter 1960.

Tilpass en lineær modell og en andregradsfunksjon.

Sammenlign modellene visuelt og med $r^2$ . Hvilken passer best?

Prøv også en eksponentiell modell. Sammenlign med andregradsfunksjonen.

Diskuter hvilke konsekvenser modellvalget har for forutsigelser av CO₂-nivået i 2050.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Residualanalyse: Hvis residualene viser et mønster, passer ikke den lineære modellen — prøv en annen modelltype
- Polynomregresjon: Passer for data med topp- eller bunnpunkter, f.eks. kastebaner
- Eksponentialregresjon: Passer når dataene endrer seg med fast prosent (dobler/halverer seg med jevne mellomrom)
- Potensregresjon: Passer når $y$ ganges med en fast faktor hver gang $x$ dobles
- Modellvalg: Se på datamønsteret, sammenlikn forklaringsgrad, og vurder hva som er rimelig i situasjonen

Nøkkelbegreper

Modell	Kjennetegn
Polynom	Topp- og bunnpunkter
Eksponentiell	Fast prosentvis endring
Potens	Fast faktor når $x$ dobles

GeoGebra-kommandoer

- RegPoly(liste, grad), RegEksp(liste), RegPotens(liste)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.