8.4 Ikke-lineær regresjon

Polynom-, eksponential- og potensregresjon med digitale verktøy.

40 min

10 oppgaver

PolynomregresjonEksponentialregresjonPotensregresjonModellvalgr²-verdi

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.3Lineær regresjon

Brukes videre i

8.5Modellvurdering og praktisk bruk

Når den rette linjen ikke passer

I forrige kapittel lærte vi om lineær regresjon. Men mange virkelige sammenhenger er ikke lineære. Dersom vi plotter datapunktene og de danner et buet mønster, eller dersom residualene fra den lineære modellen viser et systematisk mønster (f.eks. først negative, så positive, så negative igjen), bør vi prøve en ikke-lineær modell.

De vanligste alternativene er:
- Polynomregresjon: Tilpasse et andregrads- eller tredjegradspolynom
- Eksponentialregresjon: Tilpasse en eksponentialfunksjon $y = a \cdot b^x$
- Potensregresjon: Tilpasse en potensfunksjon $y = a \cdot x^b$

Residualanalyse

\text{residual} = \text{observert verdi} - \text{modellverdi}

Polynomregresjon

Dersom datapunktene ser ut til å følge en parabel (U-form eller omvendt U), kan vi prøve en andregradsmodell:

$y = ax^2 + bx + c$

Dersom kurven er S-formet, eller har både et toppunkt og et bunnpunkt, kan vi prøve en tredjegradsmodell:

$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$

I GeoGebra bruker vi kommandoen RegPoly(liste, grad):
- RegPoly(liste, 2) for andregradstilpasning
- RegPoly(liste, 3) for tredjegradstilpasning

✏️Eksempel 1 – Polynomregresjon

En forsker måler hastigheten til en kjemisk reaksjon ( $y$ , i mol/s) ved ulike temperaturer ( $x$ , i °C):

Temp (°C)	Hastighet
10	0,5
20	1,8
30	4,0
40	7,2
50	11,5
60	17,0
70	24,0

Tilpass en andregradsfunksjon og vurder om den passer godt.

liste = {(10, 0.5), (20, 1.8), (30, 4.0), (40, 7.2), (50, 11.5), (60, 17.0), (70, 24.0)}
RegPoly(liste, 2)

$y \approx 0{,}0056x^2 - 0{,}062x + 0{,}69$

Forklaringsgraden er $r^2 \approx 0{,}9998$ . Modellen forklarer nesten all variasjonen i dataene og passer svært godt.

Til sammenligning gir RegLin(liste) modellen $y \approx 0{,}387x - 6{,}06$ med $r^2 \approx 0{,}94$ .

Punktene ligger langs en kurve som vender den hule sida opp. Andregradsfunksjonen fanger opp krumningen, den lineære modellen gjør det ikke.

Svar: $y \approx 0{,}0056x^2 - 0{,}062x + 0{,}69$ passer svært godt ( $r^2 \approx 0{,}9998$ ), klart bedre enn en lineær modell ( $r^2 \approx 0{,}94$ ).

Eksponentialregresjon

Dersom dataene viser eksponentiell vekst eller nedgang (verdiene dobles eller halveres over jevne intervaller), tilpasser vi en funksjon på formen:

$y = a \cdot b^x$

I GeoGebra bruker vi kommandoen RegEksp(liste).

Eksponentialregresjon er spesielt nyttig for:
- Befolkningsvekst
- Radioaktivt henfall
- Bakterievekst
- Rentes rente

✏️Eksempel 2 – Eksponentialregresjon

Tabellen viser antall bakterier i en petriskål etter $t$ timer:

Timer ( $t$ )	Bakterier
0	100
1	150
2	230
3	340
4	510
5	760
6	1140

Tilpass en eksponentialfunksjon og beregn doblingstiden.

liste = {(0, 100), (1, 150), (2, 230), (3, 340), (4, 510), (5, 760), (6, 1140)}
f(t) = RegEksp(liste)

$f(t) \approx 100{,}7 \cdot 1{,}50^t$

Tolkning: Startverdien er omtrent 100 bakterier, og bestanden øker med 50 % per time (vekstfaktor 1,50).

Doblingstid: Antallet er doblet når vekstfaktoren har ganget det med 2:

$1{,}50^t = 2$

NLøs(1.5^t = 2)

$t \approx 1{,}71$

Grafisk: Skjæringen mellom $f$ og linja $y = 2 \cdot 100{,}7$ gir samme $t$ .

Svar: Bakteriebestanden dobles omtrent hver 1,71 time, altså hver 1 time og 43 minutter.

Potensregresjon

Dersom sammenhengen mellom $x$ og $y$ best beskrives med en potensfunksjon $y = a \cdot x^b$ , bruker vi potensregresjon.

I GeoGebra bruker vi kommandoen RegPot(liste).

Potensregresjon er nyttig for:
- Fysiske lover (Keplers lov, fritt fall)
- Areal og volum som funksjon av lengdemål
- Biologiske skaleringslover (f.eks. kroppsmasse vs. metabolisme)

✏️Eksempel 3 – Potensregresjon

Tabellen viser sammenhengen mellom kroppsmassen $m$ (i kg) og hjertefrekvensen $f$ (slag per minutt) for ulike pattedyr:

Dyr	Masse (kg)	Hjertefrekvens
Mus	0,03	600
Kanin	2	200
Katt	4	150
Hund	20	100
Menneske	70	70
Hest	500	35
Elefant	5000	25

Tilpass en potensfunksjon

f = a \cdot m^b

og tolk eksponenten.

liste = {(0.03, 600), (2, 200), (4, 150), (20, 100), (70, 70), (500, 35), (5000, 25)}
RegPot(liste)

$f \approx 227 \cdot m^{-0{,}27}$

Tolkning av eksponenten: $b \approx -0{,}27$ , som er nær $\displaystyle -\frac{1}{4}$ . Eksponenten er negativ, så hjertefrekvensen avtar når massen øker.

Når massen dobles, ganges hjertefrekvensen med

$2^{-0{,}27} \approx 0{,}83$

Svar: $f \approx 227 \cdot m^{-0{,}27}$ . Dobles kroppsmassen, blir hjertefrekvensen omtrent 17 % lavere. Slike sammenhenger kalles biologiske skaleringslover, og denne gjelder overraskende godt for svært mange pattedyr.

Modellvalg: Hvilken modell passer best?

For å velge mellom ulike modeller kan vi bruke:

1. $r^2$ -verdien (forklaringsgraden): Denne angir hvor stor andel av variasjonen i dataene som forklares av modellen. $r^2 = 1$ betyr perfekt tilpasning. Høy $r^2$ er et godt tegn, men $r^2$ er bare ett av flere kriterier – vurder også punkt 2–4.

2. Visuell vurdering: Plott dataene og regresjonslinjen i et spredningsdiagram. Ser modellen ut til å fange opp mønsteret i dataene?

3. Residualanalyse: Plott residualene. Dersom de viser et tilfeldig mønster, passer modellen godt.

4. Faglig kunnskap: Vet vi noe om den underliggende mekanismen? Fysiske lover foretrekkes fremfor rent statistiske tilpasninger.

Pass opp for overtilpasning! Med nok parametre kan vi alltid tilpasse dataene perfekt (et

n

-te grads polynom går alltid gjennom

n+1

punkter). Men en slik modell fanger gjerne opp tilfeldig støy og gir dårlige forutsigelser for nye data. Velg den enkleste modellen som gir en god tilpasning.

Gjør dette i GeoGebra

Sammenlign regresjonstyper

Skriv inn et datasett og sammenlign lineær, kvadratisk, eksponentiell og potensregresjon. Hvilken modell passer best?

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

liste = {(1, 2), (2, 5), (3, 10), (4, 18), (5, 30), (6, 45)}
RegLin(liste)
RegPoly(liste, 2)
RegEksp(liste)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 1

For hvert av de følgende datasettene, avgjør (uten å gjøre regresjon) hvilken modelltype som trolig passer best: lineær, kvadratisk, eksponentiell eller potens.

a) Antall solgte biler i en by over 10 år, der salget øker med omtrent 500 biler hvert år
b) Antall bananfluer i et glass, der bestanden dobles hver tredje dag
c) Bremselengde som funksjon av fart
d) Pendelens svingetid som funksjon av lengden

📝Oppgave 2

Tabellen viser nedkjøling av en metallbit i vann. Temperaturen $T$ (i °C over romtemperatur) er målt ved ulike tidspunkter $t$ (i minutter):

$t$ (min)	0	2	4	6	8	10	12
$T$ (°C)	80	58	42	30	22	16	11

Bruk GeoGebra til å tilpasse en eksponentialfunksjon $T = a \cdot b^t$ .

Hva er halveringstiden? (Når er temperaturen halvert?)

Sammenlign med en lineær modell. Hvilken passer best?

📝Oppgave 3

Tabellen viser bremsestrekninger ( $d$ , i meter) for en bil ved ulike hastigheter ( $v$ , i km/h):

$v$ (km/h)	30	50	70	90	110	130
$d$ (m)	5	13	25	42	62	87

Bruk GeoGebra til å tilpasse en potensfunksjon $d = a \cdot v^b$ .

Hva forteller eksponenten oss om sammenhengen?

Estimer bremsestrekningen ved 100 km/h.

📝Oppgave 4

Tabellen viser verdien av en kunstskatt ( $y$ , i tusen kroner) ved ulike tidspunkter ( $t$ , i år etter kjøp):

$t$ (år)	$y$ (tusen kr)
0	50
2	58
5	72
8	90
10	105
15	150
20	210

Tilpass en lineær modell, en eksponentiell modell og en andregradsfunksjon. Finn $r^2$ for hver.

Hvilken modell passer best? Begrunn svaret.

Bruk den eksponentielle modellen til å anslå verdien etter 30 år. Er anslaget pålitelig?

📝Oppgave 5

En forsker samler data om CO₂-konsentrasjonen i atmosfæren (i ppm) fra 1960 til 2020:

År	CO₂ (ppm)
1960	317
1970	326
1980	339
1990	354
2000	369
2010	390
2020	414

t

være antall år etter 1960.

Tilpass en lineær modell og en andregradsfunksjon.

Sammenlign modellene visuelt og med $r^2$ . Hvilken passer best?

Prøv også en eksponentiell modell. Sammenlign med andregradsfunksjonen.

Diskuter hvilke konsekvenser modellvalget har for forutsigelser av CO₂-nivået i 2050.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Residualanalyse: Hvis residualene viser et mønster, passer ikke den lineære modellen — prøv en annen modelltype
- Polynomregresjon: Passer for data med topp- eller bunnpunkter, f.eks. kastebaner
- Eksponentialregresjon: Passer når dataene endrer seg med fast prosent (dobler/halverer seg med jevne mellomrom)
- Potensregresjon: Passer når $y$ ganges med en fast faktor hver gang $x$ dobles
- Modellvalg: Se på datamønsteret, sammenlikn forklaringsgrad, og vurder hva som er rimelig i situasjonen

Nøkkelbegreper

Modell	Kjennetegn
Polynom	Topp- og bunnpunkter
Eksponentiell	Fast prosentvis endring
Potens	Fast faktor når $x$ dobles

GeoGebra-kommandoer

- RegPoly(liste, grad), RegEksp(liste), RegPot(liste)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.