8.5 Modellvurdering og praktisk bruk

Sammenligne modeller, vurdere gyldighet og bruke modeller kritisk.

35 min

10 oppgaver

ModellsammenligningInterpolering vs ekstrapoleringGyldighetsområdeKritisk vurdering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.4Ikke-lineær regresjon

Sammenligne modeller

I de forrige kapitlene har vi lært ulike regresjonsmetoder og funksjonstyper. I praksis må vi ofte velge mellom flere mulige modeller for det samme datasettet. Hvordan vet vi hvilken modell som er «best»?

Det finnes ikke alltid ett entydig svar. En god modell skal:
1. Passe godt til kjente data (høy $r^2$ -verdi)
2. Gi fornuftige forutsigelser (spesielt ved interpolering)
3. Være basert på faglig kunnskap (forstå mekanismen bak)
4. Være enkel nok (ikke unødvendig komplisert)

Punkt 4 kalles parsimonitetsprinsippet (Ockhams barberkniv): Alt annet likt, foretrekk den enkleste modellen.

Forklaringsgrad (

r^2

)

r^2

Interpolering vs. ekstrapolering: pålitelighet

Interpolering – anslå verdier mellom kjente datapunkter – er generelt pålitelig dersom modellen passer godt til dataene. Vi beveger oss innenfor det området der modellen har blitt «trent».

Ekstrapolering – anslå verdier utenfor dataområdet – er langt mer risikabelt. Jo lenger vi ekstrapolerer, desto mer usikkert blir resultatet. Ulike modeller kan gi svært forskjellige forutsigelser ved ekstrapolering, selv om de passer like godt til kjente data.

Huskeregel: Bruk modellen forsiktig utenfor dataområdet, og vær alltid klar over at forutsigelser langt frem i tid eller utenfor kjente forhold er usikre.

✏️Eksempel 1 – Sammenligning av modeller

Tabellen viser gjennomsnittlig strømforbruk per husstand ( $y$ , i kWh per år) i et boligområde ved ulike år:

År	kWh
2000	21 500
2004	20 800
2008	20 200
2012	19 500
2016	19 000
2020	18 200

t

være antall år etter 2000. Tilpass lineær og eksponentiell modell, og vurder hvilken som er best.

RegLin({(0,21500),(4,20800),(8,20200),(12,19500),(16,19000),(20,18200)})

$y \approx -161t + 21\,481 \quad \text{med } r^2 \approx 0{,}9977$

RegEksp({(0,21500),(4,20800),(8,20200),(12,19500),(16,19000),(20,18200)})

$y \approx 21\,519 \cdot 0{,}9919^t \quad \text{med } r^2 \approx 0{,}9970$

Begge modellene passer svært godt. Den lineære modellen sier at forbruket synker med omtrent 161 kWh per år. Den eksponentielle sier at forbruket synker med omtrent 0,81 % per år.

Vurdering:
- Den lineære modellen har litt høyere $r^2$ , men forskjellen er så liten at $r^2$ ikke kan avgjøre valget.
- For kort tids fremskrivning gir begge nesten samme resultat.
- Den lineære modellen gir negativt forbruk når $t > 133$ , altså etter år 2133. Det er umulig.
- Den eksponentielle modellen nærmer seg null, men blir aldri negativ.
- Faglig sett er en prosentvis nedgang (energieffektivisering) mer naturlig enn en fast nedgang per år.

Svar: Begge modellene beskriver dataene like godt. For lange fremskrivninger er den eksponentielle modellen mest fornuftig fordi den aldri gir negativt forbruk, men begge er usikre langt frem i tid.

Begrensninger ved modeller

Alle matematiske modeller har begrensninger. Noen viktige å være klar over:

1. Gyldighetsområde: Modellen gjelder bare innenfor et visst område av $x$ -verdier. Utenfor dette kan den gi meningsløse resultater (f.eks. negativ befolkning).

2. Forenklinger: Modellen ser bort fra faktorer som kan være viktige. En modell for fritt fall ignorerer luftmotstand, en modell for befolkningsvekst ignorerer kriger og epidemier.

3. Tidsbegrensning: En modell som passer godt nå, trenger ikke passe i fremtiden. Trender kan endre seg.

4. Datatilpasning ≠ forståelse: En modell med høy $r^2$ betyr ikke at vi forstår mekanismen. Modellen beskriver mønsteret, men forklarer det ikke nødvendigvis.

✏️Eksempel 2 – Helhetlig analyse

En dyreparksavdeling har registrert antall gjester per år ( $y$ , i tusen) de siste årene:

År etter oppstart ( $t$ )	Gjester (tusen)
1	15
2	28
3	52
4	80
5	95
6	103
7	108
8	110

Analyser datasettet med ulike modeller og gi en anbefaling.

Visuell vurdering: Besøkstallet vokser raskt de første årene og flater så ut mot omtrent 110 tusen. Punktene danner en S-form.

liste = {(1, 15), (2, 28), (3, 52), (4, 80), (5, 95), (6, 103), (7, 108), (8, 110)}
RegLin(liste)
RegPoly(liste, 2)
RegPot(liste)

Lineær: $y \approx 14{,}7t + 7{,}8$ , $r^2 \approx 0{,}92$

Andregradsfunksjon: $y \approx -1{,}96t^2 + 32{,}3t - 21{,}6$ , $r^2 \approx 0{,}98$

Potensmodell: $y \approx 15{,}6 \cdot t^{1{,}03}$ , $r^2 \approx 0{,}89$

Vurdering:
- Den lineære modellen fanger ikke opp utflatingen ( $r^2 \approx 0{,}92$ ).
- Potensmodellen har $b \approx 1{,}03$ , som er litt større enn 1. Den er nesten en rett linje og vokser uten grense, så den kan ikke beskrive at besøkstallet flater ut. Den har også lavest $r^2$ av de tre.
- Andregradsfunksjonen har høyest $r^2$ og fanger opp at veksten avtar. Toppunktet ligger ved

$t = \frac{32{,}3}{2 \cdot 1{,}96} \approx 8{,}2$

Etter dette forutsier modellen at besøkstallet synker, for eksempel til omtrent 106 tusen ved $t = 10$ .

Svar: Innenfor dataområdet ( $1 \leq t \leq 8$ ) er andregradsfunksjonen best. Ingen av de tre modellene egner seg til lange fremskrivninger: Den lineære modellen og potensmodellen vokser uten grense, og andregradsfunksjonen forutsier nedgang. Forventer vi at besøkstallet stabiliserer seg rundt 110 tusen, trenger vi en modell som flater ut mot en øvre grense.

Kritisk vurdering av modeller i media og forskning

Matematiske modeller brukes mye i media, forskning og politikk. Det er viktig å stille kritiske spørsmål:

- Hvilke data er modellen basert på? Er dataene pålitelige og representative?
- Hvilken funksjonstype er valgt, og hvorfor? Er det faglig grunnlag for valget?
- Er det interpolering eller ekstrapolering? Forutsigelser langt utenfor dataene er usikre.
- Hvilke forenklinger er gjort? Alle modeller forenkler virkeligheten.
- Hvem har laget modellen, og med hvilket formål? Kan det være skjevheter?

Et klassisk eksempel: Under pandemien ble det presentert mange modeller for smittespredning. Ulike modeller ga svært forskjellige forutsigelser, avhengig av antagelser om smitterate, tiltak og befolkningsadferd. Modellene var nyttige for å forstå mulige scenarier, men forutsigelsene var usikre.

Sjekkliste for modellvurdering:
1. Passer modellen til kjente data? (Sjekk

r^2

og residualer)
2. Er modelltypen faglig begrunnet?
3. Gir modellen fornuftige verdier for ekstrempunkter?
4. Er det interpolering eller ekstrapolering?
5. Hvilke forenklinger er gjort?
6. Er den enkleste tilstrekkelige modellen valgt?

Gjør dette i GeoGebra

Modellvurdering i praksis

Skriv inn et datasett og tilpass ulike modeller. Sammenlign

r^2

-verdiene og vurder visuelt hvilken modell som passer best.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

liste = {(1, 15), (2, 28), (3, 52), (4, 80), (5, 95), (6, 103), (7, 108), (8, 110)}
RegLin(liste)
RegPoly(liste, 2)
RegPot(liste)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 1

Avgjør om følgende utsagn er interpolering eller ekstrapolering:

a) Vi har temperaturdata fra kl. 08:00 til 16:00 og anslår temperaturen kl. 12:00.
b) Vi har salgsdata for 2018–2023 og anslår salget i 2025.
c) Vi har data for inntekt og utdanningsnivå for personer med 8–20 års utdanning, og anslår inntekten for en person med 15 års utdanning.
d) Vi har data for en balls posisjon i de første 3 sekundene, og beregner posisjonen etter 10 sekunder.

📝Oppgave 2

En bedrift har registrert omsetning ( $y$ , i millioner kr) over 6 år:

År ( $t$ )	Omsetning
1	2,1
2	2,5
3	3,0
4	3,6
5	4,3
6	5,2

Tilpass en lineær og en eksponentiell modell i GeoGebra.

Sammenlign forutsigelsene for år 10 og år 20.

Hvilken modell ville du anbefale, og hvorfor?

📝Oppgave 3

Forklar hva som er feil eller problematisk med følgende påstander:

a) «Modellen vår har $r^2 = 0{,}99$ , så den er garantert riktig.»
b) «Vi fant et niendegradspolynom som går gjennom alle 10 datapunktene, så det er den beste modellen.»
c) «Det er sterk korrelasjon mellom skoforbruk og inntekt, altså tjener man mer penger av å kjøpe flere sko.»

📝Oppgave 4

En kommune har registrert årlig vannforbruk ( $y$ , i millioner liter) og befolkningstall ( $x$ , i tusen innbyggere) over 8 år:

Innbyggere (tusen)	Vannforbruk (mill. liter)
12	1,8
14	2,3
16	2,9
19	3,8
22	4,8
25	5,9
28	7,2
32	9,0

Tilpass lineær, eksponentiell og potensmodell i GeoGebra.

Forutsi vannforbruket ved 40 000 innbyggere med hver modell.

Hvilken modell er mest fornuftig fra et faglig synspunkt? Begrunn svaret.

Diskuter begrensningene ved den valgte modellen.

📝Oppgave 5

I en avisartikkel står det: «Forskning viser at land med høyere sjokoladeforbruk per innbygger har flere nobelprisvinnere per million innbyggere. Korrelasjonen er sterk ( $r = 0{,}79$ ). Sjokolade gjør deg smartere!»

a) Hva er galt med denne konklusjonen?
b) Foreslå minst to mulige bakenforliggende variabler.
c) Beskriv hvordan du ville undersøkt om det faktisk er en kausal sammenheng.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært å vurdere modeller kritisk:

- Forklaringsgrad $r^2$ : Andelen av variasjonen i dataene som modellen forklarer ( $0 \leq r^2 \leq 1$ )
- Sammenlikne modeller: Høyere $r^2$ er bedre, men modellen må også gi mening i situasjonen
- Interpolering vs. ekstrapolering: Prediksjoner innenfor dataområdet er mer pålitelige enn utenfor
- Begrensninger: Alle modeller er forenklinger — vurder gyldighetsområde, rimelighet og hva som kan endre seg
- Kritisk blikk: Vurder modeller i media og forskning: Hvem har laget dem, på hvilket datagrunnlag, og hva er usikkerheten?

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Forklaringsgrad ( $r^2$ )	Hvor mye av variasjonen modellen forklarer
Gyldighetsområde	Området der modellen er pålitelig
Prediksjon	Forutsigelse basert på modellen

Husk

- En modell med

r^2

nær

1

kan likevel gi gale prediksjoner utenfor dataområdet

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.