8.1 Modellering med funksjoner

Når matematikken møter virkeligheten

Tenk deg at du sitter på en kafé og ser på den dampende koppen foran deg. Kaffen er brennheit akkurat nå, men om en halvtime er den lunken. Finnes det en formel som beskriver akkurat hvordan temperaturen synker? Svaret er ja – og den formelen er det vi kaller en matematisk modell.

En matematisk modell er rett og slett en forenklet beskrivelse av noe virkelig, uttrykt gjennom matematikk. Vi kan modellere alt fra hvordan en ball beveger seg gjennom luften til hvordan prisene i en butikk avhenger av tilbud og etterspørsel. Nøkkelordet her er «forenklet». Modellen for ballens bane ignorerer kanskje luftmotstand. Modellen for kaffetemperaturen antar at romtemperaturen er konstant. Ingen modell fanger opp absolutt alt, men en god modell fanger opp det som betyr mest.

I dette kapittelet skal vi utforske hele modelleringsprosessen – fra å observere et fenomen og velge variabler, via å sette opp en funksjon som passer, til å vurdere om modellen faktisk gir mening. Vi skal se at ulike situasjoner krever ulike funksjonstyper, og at det å velge riktig type er en av de viktigste ferdighetene i modellering.

Modelleringsprosessen – steg for steg

Matematisk modellering er ikke noe du gjør i ett hopp. Det er en prosess med flere steg, og den er ofte iterativ – du går gjerne tilbake og justerer underveis. La oss gå gjennom de fem stegene.

Først observerer du situasjonen. Du studerer fenomenet, samler inn data og prøver å forstå hva som skjer. Kanskje du måler temperaturen i kaffekoppen hvert femte minutt, eller kanskje du samler inn tall for befolkningen i en by over flere år.

Deretter identifiserer du variablene. Hva er størrelsene som endrer seg? Hvilken er den uavhengige variabelen (den du styrer, for eksempel tid) og hvilken er den avhengige variabelen (den som endrer seg som følge, for eksempel temperatur)? Å velge riktige variabler er halve jobben.

Så setter du opp en modell. Her velger du en funksjonstype og bestemmer parametrene. Går temperaturen jevnt nedover? Da kan en lineær funksjon $f(x) = ax + b$ passe. Synker den raskt i starten og så saktere? Da trenger du kanskje en eksponentiell funksjon $f(x) = a \cdot b^x$. Følger banen en bue? Prøv en kvadratisk funksjon $f(x) = ax^2 + bx + c$. Avhenger den ene størrelsen av en potens av den andre? Da er det en potensfunksjon $f(x) = a \cdot x^b$ du er ute etter.

Neste steg er å teste modellen mot faktiske data. Gir modellen verdier som stemmer med det du har observert? Hvis ikke, må du gå tilbake og justere.

Til slutt vurderer du modellen. Er den god nok? Hvor gjelder den? Hva er begrensningene? Disse spørsmålene er avgjørende – og vi kommer tilbake til dem gjennom hele kapittelet.

Fra virkelighet til funksjon – lineære og kvadratiske modeller

La oss begynne med det enkleste tilfellet. En taxitur koster 50 kroner i startpris pluss 12 kroner per kilometer. Hva koster en tur på $x$ kilometer? Her er den uavhengige variabelen $x$ (antall kilometer) og den avhengige er prisen $P(x)$. Sammenhengen er tydelig lineær: $P(x) = 12x + 50$. For 15 kilometer betaler du $P(15) = 12 \cdot 15 + 50 = 230$ kroner.

Men ikke alt i livet er rett-linje-enkelt. Tenk deg en bonde som har 80 meter gjerde og vil lage et rektangulært innhegnet område langs en elv. Elven er den ene langsiden, så gjerdet brukes bare på tre sider. Hvis bredden er $x$ meter, blir lengden $80 - 2x$ meter (fordi to bredder pluss én lengde skal gi 80 meter totalt). Arealet blir $A(x) = x(80 - 2x) = 80x - 2x^2$.

Denne modellen er en andregradsfunksjon med $a = -2 < 0$, altså en parabel som peker nedover. Den har et toppunkt, og det er nettopp det vi er interessert i – for det gir oss det størst mulige arealet. Toppunktet finner vi med formelen $\displaystyle x = -\frac{b}{2a} = -\frac{80}{2 \cdot (-2)} = 20$. Med bredde 20 meter blir lengden $80 - 40 = 40$ meter, og arealet blir $20 \cdot 40 = 800$ kvadratmeter.

Legg merke til noe viktig: modellen gjelder bare for $0 < x < 40$. Utenfor dette intervallet gir modellen negative arealer, noe som åpenbart ikke gir mening. Alle modeller har et gyldighetsområde – et intervall der de gir fornuftige resultater.

Eksponentielle modeller – når noe vokser prosentvis

Nå beveger vi oss til et helt annet mønster. Forestill deg en by med 25 000 innbyggere i 2010 som vokser med 2,5 prosent per år. Etter ett år er det $25\,000 \cdot 1{,}025$ innbyggere. Etter to år ganger vi med $1{,}025$ én gang til: $25\,000 \cdot 1{,}025^2$. Etter $t$ år blir modellen $B(t) = 25\,000 \cdot 1{,}025^t$.

Det er dette som kjennetegner en eksponentiell modell: den variabelen vi er interessert i multipliseres med en fast vekstfaktor i hvert steg. Når vekstfaktoren er større enn 1 (som her med 1,025), vokser funksjonen. Når den er mellom 0 og 1, avtar den – tenk på radioaktivt henfall eller temperaturen i kaffekoppen vår.

La oss bruke modellen. I 2020 ($t = 10$) gir den $B(10) = 25\,000 \cdot 1{,}025^{10} \approx 32\,003$ innbyggere. Hva med 2050 ($t = 40$)? Da gir modellen $B(40) = 25\,000 \cdot 1{,}025^{40} \approx 67\,126$.

Men her må vi stoppe opp og tenke. Anslaget for 2020 er basert på data som er nokså nær i tid – det er rimelig å anta at vekstraten har holdt seg ganske stabil over 10 år. Men anslaget for 2050 er 40 år frem i tid! Vekstraten kan endre seg dramatisk på grunn av politikk, økonomi eller migrasjon. Jo lenger vi strekker modellen utover der vi har data, desto mer usikker blir den.

Eksponentiell vekst er kraftig. Selv en tilsynelatende lav vekstrate på 2,5 prosent fører til en dobling på under 30 år. Derfor er det spesielt viktig å være forsiktig med å stole blindt på eksponentielle modeller over lang tid.

Interpolering og ekstrapolering – to helt forskjellige ting

Nå som vi har sett ulike modelltyper, er det på tide å snakke om noe helt sentralt: forskjellen mellom interpolering og ekstrapolering.

Interpolering betyr at du bruker modellen til å anslå verdier mellom datapunktene du allerede har. Tenk deg at du har målt temperaturen i kaffekoppen etter 0, 5, 10 og 15 minutter. Hvis du bruker modellen til å anslå temperaturen etter 7 minutter, driver du med interpolering. Du befinner deg innenfor området der modellen har blitt «trent», og anslaget er som regel ganske pålitelig.

Ekstrapolering betyr at du bruker modellen utenfor dataområdet – for eksempel til å anslå temperaturen etter 60 minutter, eller befolkningen i 2050 basert på data fra 2010 til 2020. Her er vi på tynnere is. Modellen ble laget for å passe til data i et bestemt område, og vi vet rett og slett ikke om den gjelder utenfor.

Et godt eksempel: tenk på elbil-utviklingen i Norge. Fra 2015 til 2021 vokste antall elbiler fra 70 000 til 450 000. En eksponentiell modell med vekstfaktor 1,364 passer ganske godt til disse dataene. Men hvis vi ekstrapolerer til 2030, gir modellen 5,6 millioner elbiler – mer enn Norges befolkning! Åpenbart kan ikke veksten fortsette eksponentielt for alltid. Markedet vil mettes, og veksten vil avta.

Tommelregelen er enkel: vær forsiktig med ekstrapolering, og jo lenger du ekstrapolerer, desto mer skeptisk bør du være.

Modellering i praksis – optimering og kritisk sans

La oss avslutte med et eksempel som viser kraften i modellering. En nettbutikk selger et produkt til $p$ kroner per stykk. Erfaringen viser at de selger $1200 - 4p$ produkter per måned. Produksjonskostnaden er 80 kroner per enhet, og de faste kostnadene er 15 000 kroner per måned.

Vi setter opp modeller for det hele. Inntekten er pris ganger antall solgte: $I(p) = p(1200 - 4p) = 1200p - 4p^2$. Kostnadene er variable kostnader pluss faste: $K(p) = 80(1200 - 4p) + 15\,000 = 111\,000 - 320p$. Overskuddet er inntekt minus kostnader: $O(p) = -4p^2 + 1520p - 111\,000$.

Fordi overskuddet er en andregradsfunksjon med negativ $a$-verdi, har den et toppunkt – og det er den prisen som gir størst fortjeneste. Toppunktet finner vi: $\displaystyle p = -\frac{1520}{2 \cdot (-4)} = 190$ kroner. Det maksimale overskuddet blir $O(190) = 33\,400$ kroner per måned.

Matematisk modellering handler altså ikke bare om å beskrive hva som skjer, men om å ta bedre beslutninger. Men husk alltid: modellen er en forenkling. I virkeligheten kan etterspørselen avhenge av mer enn bare prisen. Konkurrenter, sesongvariasjoner og markedsføring spiller også inn. Modellen gir et godt utgangspunkt for beslutningen, men den erstatter ikke sunn fornuft.

Still deg alltid disse spørsmålene når du modellerer: Gir modellen fornuftige verdier for ekstreme input? Er det naturlige begrensninger den ignorerer? Og hva skjer dersom vi bruker den langt utenfor datapunktene?

Oppsummering

En matematisk modell er en forenklet matematisk beskrivelse av en virkelig situasjon. Den bruker variabler og funksjoner til å fange opp det som er viktigst, men den er aldri perfekt.

Modelleringsprosessen har fem steg: observere, identifisere variabler, sette opp modellen, teste den mot data, og vurdere om den gir fornuftige resultater. Prosessen er gjerne iterativ – du justerer modellen underveis. Ulike situasjoner krever ulike funksjonstyper: lineære funksjoner for jevn vekst, kvadratiske for buede baner og optimeringsproblemer, eksponentielle for prosentvis vekst, og potensfunksjoner for sammenhenger der den ene størrelsen er en potens av den andre.

Interpolering er å anslå verdier mellom kjente datapunkter og er generelt pålitelig. Ekstrapolering er å anslå verdier utenfor dataområdet og er langt mer usikkert – jo lenger ut, desto mer usikkert. Alle modeller har et gyldighetsområde, og du bør alltid vurdere kritisk om modellen gir fornuftige resultater der du bruker den.