5.7 Cosinussetninga | Matematikk 1T

Cosinussetninga med bevis og bruksområde.

35 min

11 oppgaver

CosinussetningaUkjende siderUkjende vinklar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.6Sinussetningen

Cosinussetninga

Cosinussetninga er ei generalisering av Pytagoras' setning som gjeld for alle trekantar.

📜Cosinussetninga

I ein trekant med sider

a

b

c

og motståande vinklar

A

B

C

gjeld:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Merk: Når $C = 90°$ blir $\cos C = 0$ , og vi får Pytagoras: $c^2 = a^2 + b^2$ .

Cosinussetninga utvidar Pytagoras til alle trekantar

Grunngiving

La $h$ vere høgda frå $B$ ned på sida $b = CA$ , med fotpunkt $D$ . Vi ser først på tilfellet der $C$ er spiss, slik at $D$ ligg på $CA$ .

I den rettvinkla trekanten $BCD$ er hypotenusen $a$ :

$CD = a \cos C$

$h^2 = a^2 - (a \cos C)^2$

Då er $DA = b - a \cos C$ . Pytagoras' setning i den rettvinkla trekanten $ABD$ :

$c^2 = h^2 + (b - a \cos C)^2$

$c^2 = a^2 - a^2 (\cos C)^2 + b^2 - 2ab \cos C + a^2 (\cos C)^2$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Er $C$ stump, ligg $D$ på forlenginga av $AC$ forbi $C$ . Då er $CD = -a \cos C$ (positiv, fordi $\cos C < 0$ ) og $DA = CD + b = b - a \cos C$ , så den same rekninga gjeld.

Når bruker vi cosinussetninga?

Finn ukjend side: Når du kjenner to sider og vinkelen mellom dei (SVS).

To sider og ein vinkel som ikkje ligg mellom dei: Cosinussetninga gir ei andregradslikning i den ukjende sida (døme 5).

Finn ukjend vinkel: Når du kjenner alle tre sidene (SSS).

Skriven om for å finne vinkel:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

✏️Døme 1

I trekant ABC er $b = 7$ , $c = 10$ og $A = 60°$ . Finn side $a$ .

Trekant med b=7, c=10, A=60°

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

a^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos 60°

a^2 = 49 + 100 - 140 \cdot 0{,}5

a^2 = 149 - 70 = 79

a = \sqrt{79} \approx 8{,}9

Svar: Side $a \approx 8{,}9$

✏️Døme 2

I trekant ABC er $a = 5$ , $b = 7$ og $c = 9$ . Finn vinkel $C$ .

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

\cos C = \frac{5^2 + 7^2 - 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 7}

\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{70} = \frac{-7}{70} = -0{,}1

C = \cos^{-1}(-0{,}1) \approx 95{,}7°

Svar: Vinkel $C \approx 95{,}7°$ (stump vinkel fordi cosinus er negativ)

✏️Døme 3

To skip startar frå same hamn. Skip A seglar 30 km mot nord, skip B seglar 40 km i retning 70° aust for nord. Kor langt frå kvarandre er skipa?

To skip frå hamn

Vinkelen mellom rutene er 70°.

$d^2 = 30^2 + 40^2 - 2 \cdot 30 \cdot 40 \cdot \cos 70°$
$d^2 = 900 + 1600 - 2400 \cdot 0{,}342$
$d^2 = 2500 - 820{,}8 = 1679{,}2$
$d = \sqrt{1679{,}2} \approx 41{,}0$

Svar: Skipa er cirka 41 km frå kvarandre.

✏️Døme 4

Eit parallellogram har sider 8 cm og 12 cm, og den eine diagonalen er 15 cm. Finn vinklane i parallellogrammet.

Diagonalen står overfor vinkelen

A

mellom sidene 8 cm og 12 cm.

$15^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos A$
$225 = 64 + 144 - 192 \cos A$
$225 = 208 - 192 \cos A$
$\cos A = \frac{208 - 225}{192} = \frac{-17}{192} \approx -0{,}089$
$A \approx 95{,}1°$

Den andre vinkelen er $180° - 95{,}1° = 84{,}9°$ .

Svar: Vinklane er om lag $95{,}1°$ og $84{,}9°$ (to av kvar).

✏️Døme 5

I trekant $ABC$ er $b = 8$ og $A = 60°$ . Finn sida $c$ når

a) $a = 7$

b) $a = 9$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$7^2 = 8^2 + c^2 - 2 \cdot 8 \cdot c \cdot \cos 60°$

$49 = 64 + c^2 - 8c$

$c^2 - 8c + 15 = 0$

$c = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2}$

$c = 3 \quad \text{eller} \quad c = 5$

Svar: $c = 3$ eller $c = 5$ . Begge er positive, så det finst to trekantar.

To trekantar med same side b lik 8, same vinkel A lik 60 grader og same side a lik 7. Den eine har c lik 3, den andre c lik 5.

$9^2 = 8^2 + c^2 - 8c$

$c^2 - 8c - 17 = 0$

$c = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 68}}{2} = 4 \pm \sqrt{33}$

$4 - \sqrt{33} < 0$ er ikkje ei lengd.

Svar: $c = 4 + \sqrt{33} \approx 9{,}74$ . Det finst éin trekant.

Kjenner vi to sider og ein vinkel som ikkje ligg mellom dei, gir cosinussetninga ei andregradslikning i den ukjende sida. Talet på positive løysingar er talet på trekantar. Med $b = 8$ , $A = 60°$ og $a = 6$ får vi $c^2 - 8c + 28 = 0$ , som har diskriminant $64 - 112 < 0$ : då finst ingen trekant. Dette er det same tvetydige tilfellet som i sinussetninga.

Oppsummering

Cosinussetninga:
- Finn side: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
- Finn vinkel: $\displaystyle \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Bruk:
- SVS (to sider og vinkelen mellom) → finn tredje side
- SSS (alle sider) → finn vinklar

Tips: Positiv cosinus = spiss vinkel, negativ cosinus = stump vinkel

📝Oppgave 1

Finn den ukjende sida:

b = 5

c = 8

A = 45°

. Finn

a

a = 6

c = 10

B = 120°

. Finn

b

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Finn vinklane i trekantar med sider:

a = 3

b = 4

c = 5

. Finn

C

a = 7

b = 8

c = 9

. Finn

C

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Ei tomt har form som ein firkant. Frå eit hjørne måler du at dei to sidene er 25 m og 35 m, og vinkelen mellom dei er 110°. Kor lang er diagonalen mellom endepunkta til dei to sidene?

Tomt med diagonal

📝Oppgave 4

Eit fly flyg 200 km mot aust, snur 50° mot venstre (mot nord), og flyg 150 km til. Kor langt er flyet frå startpunktet?

📝Oppgave 5

Ein trekant har sider 10, 12 og 14. Finn alle tre vinklar. Teikn trekanten sjølv og merk av sidene før du reknar.

📝Oppgave 6

Ein likebeint trekant har to sider på 10 cm og ei grunnlinje på 12 cm. Finn toppvinkelen.

Likebeint trekant

📝Oppgave 7

I trekant $ABC$ er $a = 13$ , $b = 15$ og $A = 60°$ . Bruk cosinussetninga til å finne alle moglege verdiar for $c$ .

📝Oppgave 8

I trekant $ABC$ er $b = 8$ og $A = 60°$ . Sida $a$ kan variere.

Vis at cosinussetninga gir likninga $c^2 - 8c + 64 - a^2 = 0$ .

Finn $a$ eksakt slik at det finst nøyaktig éin trekant med $a < 8$ . Kor lang er $c$ då?

Forklar at det berre finst éin trekant når $a > 8$ .

Løs oppgaven

Samansette problem

I samansette figurar kombinerer vi arealsetninga, sinussetninga og cosinussetninga. Vi deler figuren i trekantar og finn i éin trekant det vi treng i den neste. Ein diagonal eller ei felles side er ofte bindeleddet.

✏️Døme 6

I firkanten $ABCD$ er $AB = 4$ , $AD = 6$ , $BC = 2$ , $\angle A = 60°$ og $\angle C = 120°$ .

a) Finn diagonalen $BD$ eksakt.

b) Finn $CD$ .

c) Finn arealet av firkanten eksakt.

Firkant ABCD med AB lik 4, BC lik 2, AD lik 6, vinkel A lik 60 grader og vinkel C lik 120 grader. Diagonalen BD er stipla.

a) Trekant

ABD

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

$BD^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 36 - 24 = 28$

$BD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

Svar: $BD = 2\sqrt{7}$

b) Trekant $BCD$ med $CD = x$ :

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C$

$28 = 2^2 + x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$x^2 + 2x - 24 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} = \frac{-2 \pm 10}{2}$

$x = 4 \quad \text{eller} \quad x = -6$

Svar: $CD = 4$ (ei lengd kan ikkje vere negativ)

$T_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin 60° = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

$T_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin 120° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

$T = 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

Svar: Arealet er $8\sqrt{3}$ .

✏️Døme 7

I firkanten $ABCD$ er $AB = 10$ , $BC = 7$ og $\angle B = 110°$ . Diagonalen $AC$ deler firkanten i to trekantar. I trekant $ACD$ er $\angle CAD = 35°$ og $\angle ACD = 60°$ .

a) Finn diagonalen $AC$ .

b) Finn $AD$ og $CD$ .

c) Finn arealet av firkanten.

Firkant ABCD der AB er 10, BC er 7 og vinkel B er 110 grader. Diagonalen AC deler firkanten; i trekant ACD er vinkelen ved A 35 grader og vinkelen ved C 60 grader.

a) Trekant

ABC

$AC^2 = 10^2 + 7^2 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \cos 110°$

$AC = \sqrt{149 - 140 \cos 110°} \approx 14{,}03$

Svar: $AC \approx 14{,}0$

b) Trekant $ACD$ :

$\angle D = 180° - 35° - 60° = 85°$

$\frac{AD}{\sin 60°} = \frac{AC}{\sin 85°}$

$AD = \frac{14{,}03 \cdot \sin 60°}{\sin 85°} \approx 12{,}20$

$\frac{CD}{\sin 35°} = \frac{AC}{\sin 85°}$

$CD = \frac{14{,}03 \cdot \sin 35°}{\sin 85°} \approx 8{,}08$

Svar: $AD \approx 12{,}2$ og $CD \approx 8{,}1$

$T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 \cdot \sin 110° \approx 32{,}9$

$T_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 14{,}03 \cdot 12{,}20 \cdot \sin 35° \approx 49{,}1$

$T \approx 32{,}9 + 49{,}1 = 82{,}0$

Svar: Arealet er om lag $82{,}0$ .

✏️Døme 8

Ein regulær tolvkant er innskriven i ein sirkel med radius $r$ . Tolvkanten har areal $120$ .

a) Finn $r$ eksakt.

b) Finn omkrinsen av tolvkanten.

Ein regulær tolvkant innskriven i ein sirkel. Éin av dei tolv like trekantane frå sentrum er framheva, med to sider r og vinkelen 30 grader mellom dei.

Linjestykka frå sentrum til hjørna deler tolvkanten i

12

like trekantar med to sider

r

og vinkelen

\displaystyle \frac{360°}{12} = 30°

mellom dei.

$12 \cdot \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 30° = 120$

$6r^2 \cdot \frac{1}{2} = 120$

$r^2 = 40$

$r = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

Svar: $r = 2\sqrt{10}$

b) La $s$ vere sida i tolvkanten.

$s^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos 30°$

$s^2 = 40 + 40 - 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 80 - 40\sqrt{3}$

$s = \sqrt{80 - 40\sqrt{3}} \approx 3{,}274$

$O = 12 s \approx 39{,}3$

Svar: Omkrinsen er om lag $39{,}3$ .

📝Oppgave 9

I firkanten $PQRS$ er $PQ = 6$ , $QR = 9$ , $\angle Q = 75°$ , $PS = 8$ og $\angle RPS = 50°$ .

Finn diagonalen $PR$ .

Finn $RS$ .

Finn arealet av firkanten.

📝Oppgave 10

I trekant $ABC$ er $\angle A = 120°$ , $AB = 4$ og arealet $4\sqrt{3}$ . Finn $AC$ og $BC$ eksakt.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Cosinussetninga: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ , der $C$ er vinkelen mellom sidene $a$ og $b$
- Finne ei side: Bruk setninga når du kjenner to sider og den mellomliggjande vinkelen
- Finne ein vinkel: $\displaystyle \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ når alle tre sidene er kjende
- Generalisert Pytagoras: Når $C = 90°$ er $\cos C = 0$ , og setninga blir $c^2 = a^2 + b^2$
- Stumpe vinklar: $\cos C < 0$ når $C > 90°$ — då blir sida $c$ lengre enn ved rett vinkel
- To sider og ein vinkel som ikkje ligg mellom dei: Cosinussetninga gir ei andregradslikning — to, éin eller ingen trekantar
- Samansette figurar: Del i trekantar, og bruk ei felles side som bindeledd mellom setningane

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Mellomliggjande vinkel	Vinkelen mellom dei to kjende sidene
Generalisert Pytagoras	Cosinussetninga med $C = 90°$

Viktige formlar

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

\displaystyle \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.