5.5 Areal av trekantar | Matematikk 1T

Ulike formlar for areal av trekantar.

30 min

15 oppgaver

GrunnlinjeHøgdArealsetninga

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.4Trigonometri i rettvinklede trekanter og enhetssirkelen

Areal av trekantar

Det finst fleire måtar å berekne arealet av ein trekant på. Kva formel vi bruker, avheng av kva vi veit om trekanten.

📜Grunnformel for areal

T = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

der $g$ er grunnlinja og $h$ er høgda (vinkelrett avstand frå grunnlinja til motståande hjørne).

Denne formelen fungerer for alle trekantar.

✏️Døme 1

Finn arealet av ein trekant med grunnlinje 8 cm og høgd 5 cm.

Trekant med grunnlinje 8 og høgd 5

\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20

cm²

Svar: Arealet er 20 cm².

📜Arealsetninga

Når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dei:

$T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

der $a$ og $b$ er to sider, og $C$ er vinkelen mellom dei.

Grunngiving for arealsetninga

La $h$ vere høgda frå hjørnet $B$ ned på sida $b = CA$ . Når $C$ er spiss, er $h$ motståande katet til $C$ i ein rettvinkla trekant med hypotenus $a$ :

$h = a \sin C$

Når $C$ er stump, fell høgda utanfor trekanten. Då er $h$ motståande katet til vinkelen $180° - C$ :

$h = a \sin(180° - C) = a \sin C$

I begge tilfella er

$T = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

✏️Døme 2

Ein trekant har sider 7 cm og 9 cm, og vinkelen mellom dei er 50°. Finn arealet.

Trekant med sider 7 og 9, vinkel 50°

\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C

\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot \sin 50°

\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot 0{,}766...

T \approx 24{,}1

cm²

Svar: Arealet er om lag 24,1 cm².

✏️Døme 3

Finn arealet av ein likesida trekant med side 6 cm.

Likesida trekant med side 6

I ein likesida trekant er alle vinklar 60°.

$\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 60°$
$\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$T = 9\sqrt{3} \approx 15{,}6$ cm²

Med side $s$ gir den same rekninga $\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot s^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ .

Svar: Arealet er $9\sqrt{3} \approx 15{,}6$ cm².

✏️Døme 4

To sider i ein trekant er 8 m og 10 m. Vinkelen mellom dei er ukjend, men arealet er 32 m². Finn vinkelen.

\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C

\displaystyle 32 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin C

32 = 40 \cdot \sin C

\displaystyle \sin C = \frac{32}{40} = 0{,}8

C = \sin^{-1}(0{,}8) \approx 53{,}1°

Svar: Vinkelen er cirka 53,1° (eller 126,9° dersom vinkelen er stump).

Herons formel (tilleggsstoff)

Når vi berre kjenner dei tre sidene $a$ , $b$ og $c$ :

$s = \frac{a + b + c}{2}$ (halve omkrinsen)

$T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Dette blir kalla Herons formel. Formelen kan provast med arealsetninga og cosinussetninga (delkapittel 5.7). Her bruker vi han utan prov.

Vel rett formel

- Grunnlinje og høgd kjend: $\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
- To sider og vinkelen mellom: $\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$
- Berre sidene kjende: Finn ein vinkel med cosinussetninga (delkapittel 5.7), og bruk så arealsetninga. Herons formel er eit alternativ.

Arealformelen for trekant: $T = \frac{g \cdot h}{2}$ — Arealformelen for trekant: $\displaystyle T = \frac{g \cdot h}{2}$

📝Oppgave 1

Finn arealet av trekantar med:

Grunnlinje 10 cm, høgd 6 cm

Grunnlinje 12 cm, høgd 8 cm

Grunnlinje 15 cm, høgd 4 cm

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Bruk arealsetninga til å finne arealet:

Sider 5 og 8, vinkel 30° mellom

Sider 6 og 6, vinkel 60° mellom

Sider 10 og 12, vinkel 90° mellom

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Eit parallellogram har sider 8 cm og 12 cm, og ein vinkel på 70°. Finn arealet.

📝Oppgave 4

Ei tomt har form som ein trekant. To sider er 40 m og 55 m, og vinkelen mellom dei er 65°. Finn arealet i m².

📝Oppgave 5

Ein trekant har grunnlinje $g = 14$ cm og høgd $h = 9$ cm. Bereken arealet.

📝Oppgave 6

Eit trekanta skilt har areal 180 cm² og grunnlinje 24 cm. Kor høgt er skiltet? (Finn høgda $h$ .)

📝Oppgave 7

Ein trekant har sider 7 m og 11 m. Vinkelen mellom dei gjer at arealet blir maksimalt. Finn dette arealet.

📝Oppgave 8

Den vesle trekanten har sider 3, 4 og 5, medan den store har sider 6, 8 og 10 (forholdstalet $k = 2$ ). Kva er forholdet mellom areala til dei to trekantane?

Oppgåver med teikning

I oppgåvene nedanfor står måla på teikninga i oppgåva. Vel arealformel ut frå kva som er oppgitt: grunnlinje og høgd, eller to sider og vinkelen mellom dei.

📝Oppgave 9

Finn arealet av trekanten på teikninga. Grunnlinja er 8 og høgda er 5.

📝Oppgave 10

På teikninga har trekanten to sider på 6 og 8, og vinkelen mellom dei er 60°. Finn arealet.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Grunnformelen: $\displaystyle T = \frac{g \cdot h}{2}$ , der $g$ er grunnlinja og $h$ er høgda
- Arealsetninga: $\displaystyle T = \frac{1}{2} a b \sin C$ , der $C$ er vinkelen mellom sidene $a$ og $b$
- Når blir kva brukt: Grunnformelen når høgda er kjend, arealsetninga når to sider og mellomliggjande vinkel er kjende
- Likesida trekant: Arealet av ein likesida trekant med side $s$ er $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Grunnlinje	Sida vi måler høgda mot
Høgd	Normalen frå motståande hjørne ned på grunnlinja
Mellomliggjande vinkel	Vinkelen mellom dei to kjende sidene

Viktige formlar

\displaystyle T = \frac{g \cdot h}{2}

\displaystyle T = \frac{1}{2} a b \sin C

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.