5.3 Pytagoras' setning | Matematikk 1T

Repetisjon og utvidelse av Pytagoras.

25 min

17 oppgaver

PytagorasHypotenusKateter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Vinkler og trekanter

Pytagoras' setning

Pytagoras' setning er ei av dei mest kjende setningane i matematikken. Ho skildrar samanhengen mellom sidene i ein rettvinkla trekant.

I ein rettvinkla trekant kallar vi:
- Dei to sidene som dannar den rette vinkelen for katetar (a og b)
- Sida som ligg overfor den rette vinkelen for hypotenus (c)

Hypotenusen er alltid den lengste sida i ein rettvinkla trekant.

📜Pytagoras' setning

I ein rettvinkla trekant med katetar

a

b

og hypotenus

c

gjeld:

$a^2 + b^2 = c^2$

Setninga kan òg skrivast som:
- $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ (for å finne hypotenusen)
- $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ (for å finne ein katet)

✏️Eksempel 1

Ein rettvinkla trekant har katetar 3 cm og 4 cm. Finn hypotenusen.

Vi bruker Pytagoras' setning:

$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = 3^2 + 4^2$
$c^2 = 9 + 16$
$c^2 = 25$
$c = \sqrt{25} = 5$

Hypotenusen er 5 cm.

✏️Eksempel 2

Ein rettvinkla trekant har hypotenus 13 cm og éin katet på 5 cm. Finn den andre kateten.

Vi løyser for den ukjende kateten $b$ :

$a^2 + b^2 = c^2$
$5^2 + b^2 = 13^2$
$25 + b^2 = 169$
$b^2 = 169 - 25 = 144$
$b = \sqrt{144} = 12$

Den andre kateten er 12 cm.

Pytagoreiske triplar

(a, b, c)

✏️Eksempel 3

Ein stige på 5 meter lener mot ein vegg. Foten av stigen står 3 meter frå veggen. Kor høgt opp på veggen når stigen?

Stige mot vegg

Lat $h$ vere høgda på veggen der stigen treffar.

Stigen, veggen og bakken dannar ein rettvinkla trekant der stigen er hypotenusen.

$h^2 + 3^2 = 5^2$
$h^2 + 9 = 25$
$h^2 = 16$
$h = 4$

Stigen når 4 meter opp på veggen.

✏️Eksempel 4

Finn diagonalen i eit rektangel med sider 6 cm og 8 cm.

Rektangel med diagonal

Diagonalen i eit rektangel deler det i to rettvinkla trekantar.

$d^2 = 6^2 + 8^2$
$d^2 = 36 + 64$
$d^2 = 100$
$d = 10$

Diagonalen er 10 cm.

Den omvendte setninga

Pytagoras' setning gjeld òg omvendt: Viss $a^2 + b^2 = c^2$ for sidene i ein trekant, då er trekanten rettvinkla med den rette vinkelen ved hypotenusen $c$ .

Dette er nyttig for å sjekke om ein trekant er rettvinkla.

✏️Eksempel 5

Sjekk om ein trekant med sider 9, 12 og 15 er rettvinkla.

Vi sjekkar om $a^2 + b^2 = c^2$ der $c$ er den lengste sida:

$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
$15^2 = 225$

Sidan $9^2 + 12^2 = 15^2$ , er trekanten rettvinkla.

Oppsummering

Pytagoras' setning: $a^2 + b^2 = c^2$ i rettvinkla trekantar

Bruk:
- Finn hypotenusen: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
- Finn ein katet: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
- Sjekk om ein trekant er rettvinkla

📝Oppgave 1

Finn hypotenusen i rettvinkla trekantar med følgjande katetar:

Katetar 6 og 8

Katetar 5 og 12

Katetar 8 og 15

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Finn den ukjende kateten:

Hypotenus 10, katet 6

Hypotenus 17, katet 15

Hypotenus 25, katet 7

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Avgjer om følgjande er rettvinkla trekantar:

Sider 5, 12, 13

Sider 4, 5, 6

Sider 9, 40, 41

📝Oppgave 4

Ein fotballbane er 100 m lang og 70 m brei. Kor lang er diagonalen?

Fotballbane med diagonal

📝Oppgave 5

Eit telt har form som eit prisme. Teltduken på kortsida er ein likebeint trekant med grunnlinje 4 m og høgd 2 m. Kor langt er det frå midten av grunnlinja til toppen langs teltduken? Teikn figuren sjølv før du reknar.

📝Oppgave 6

Ein stige er 6 m lang. Kor langt frå veggen må foten stå for at toppen skal nå 5 m opp?

Stige mot vegg

📝Oppgave 7

Finn høgda i ein likesidig trekant med sider 10 cm. Teikn trekanten og høgda sjølv. Kva skjer når du teiknar høgda?

📝Oppgave 8

Bruk figuren over til å løyse oppgåva. I ein rettvinkla trekant er katet $a = 9$ cm og katet $b = 12$ cm. Bruk Pytagoras' setning til å finne hypotenusen $c$ .

📝Oppgave 9

Studer figuren for Pytagoras' setning. Ein rettvinkla trekant har hypotenus $c = 20$ cm og éin katet $b = 16$ cm. Finn den andre kateten $a$ .

📝Oppgave 10

Sjå på figuren. Ein TV-skjerm oppgis i tommar diagonalt. Ein 55-tommars TV har breidd 48 tommar. Kor høg er skjermen? (Bruk at diagonalen deler rektangelet i to rettvinkla trekantar der diagonalen er hypotenusen.)

Oppgåver med figurar

I oppgåvene nedanfor skal du bruke Pytagoras' setning til å finne ukjende sider. Studer figuren nøye før du løyser oppgåva.

📝Oppgave 11

Bruk figuren til å finne den ukjende sida. Trekanten er rettvinkla.

📝Oppgave 12

Studer figuren nedanfor. Finn den ukjende kateten $x$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Pytagoras' setning: I ein rettvinkla trekant er $a^2 + b^2 = c^2$ , der $c$ er hypotenusen
- Finne hypotenusen: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
- Finne ein katet: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
- Pytagoreiske triplar: Heile tal som passar i setninga, t.d. $(3, 4, 5)$ , $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$
- Den omvendte setninga: Viss $a^2 + b^2 = c^2$ , er trekanten rettvinkla

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Hypotenus	Den lengste sida, motståande den rette vinkelen
Katet	Kvar av dei to sidene som dannar den rette vinkelen
Pytagoreisk trippel	Tre heile tal med $a^2 + b^2 = c^2$

Viktige formlar

a^2 + b^2 = c^2

- Diagonal i kvadrat med side

s

d = s\sqrt{2}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.