5.2 Kongruens og formlikhet

Kopier og modeller

Har du noen gang lagt to puslespillbrikker oppå hverandre og oppdaget at de er helt identiske? Eller sett at et fotografi kan skrives ut i ulike størrelser – liten, medium, stor – men motivet ser alltid likt ut, bare i forskjellig skala?

I geometrien har vi presise ord for disse ideene. Når to figurer er helt identiske i både form og størrelse, kaller vi dem kongruente. Når de har samme form men forskjellig størrelse, kaller vi dem formlike. I dette kapittelet skal vi utforske begge begrepene og lære hvordan vi avgjør om figurer er kongruente eller formlike – og hvordan vi bruker det til å beregne ukjente mål.

Kongruens – identiske tvillinger

To figurer er kongruente dersom du kan legge den ene oppå den andre og de passer perfekt. De har nøyaktig like store sider og nøyaktig like store vinkler. Du kan speile, rotere eller forskyve den ene figuren – dersom de passer, er de kongruente.

For trekanter har vi heldigvis noen snarveier. Vi trenger ikke sjekke alle tre sider og alle tre vinkler – det finnes fire kongruenssetninger som lar oss nøye oss med mindre informasjon.

Den første er SSS (side-side-side): dersom alle tre sidene i én trekant er like lange som sidene i en annen trekant, er trekantene kongruente. Tenk på det som at sidene bestemmer hele formen – det finnes bare én måte å sette sammen tre gitte sidelengder til en trekant.

Den andre er SAS (side-vinkel-side): dersom to sider og vinkelen mellom dem er like i begge trekantene, er de kongruente. Det er viktig at vinkelen ligger mellom de to sidene.

Den tredje er ASA (vinkel-side-vinkel): dersom to vinkler og siden mellom dem er like, er trekantene kongruente. Og den fjerde er SSA (side-side-vinkel), men denne fungerer bare under visse betingelser og kan noen ganger gi to forskjellige trekanter.

La oss ta et eksempel. Trekant ABC har sidene 5 cm, 7 cm og 6 cm. Trekant DEF har sidene 5 cm, 7 cm og 6 cm. Alle tre sidene er parvis like, så etter SSS-setningen er trekantene kongruente.

Formlikhet – samme form, ulik størrelse

Nå beveger vi oss fra identiske kopier til noe litt annerledes: formlike figurer. To figurer er formlike når de har nøyaktig samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse. Den ene er en forstørret eller forminsket versjon av den andre.

Hva betyr «samme form» i praksis? Det betyr at alle vinklene er like store, og at alle samsvarende sider har det samme forholdstallet. Dersom hver side i den store trekanten er dobbelt så lang som tilsvarende side i den lille, er forholdstallet 2 – vi kaller dette forstørrelsesfaktoren eller skaleringsfaktoren.

For å sjekke om to trekanter er formlike, har vi igjen noen praktiske kriterier. Det enkleste er Å (vinkel-vinkel): dersom to vinkler i den ene trekanten er like to vinkler i den andre, er trekantene formlike. Vi trenger bare to vinkler fordi den tredje automatisk følger av vinkelsummen. Deretter har vi SSS (forholdstall): dersom alle tre sidene har samme forholdstall, er trekantene formlike. Og til slutt SAS (forholdstall): dersom to sider har samme forholdstall og vinkelen mellom dem er lik, er de formlike.

La oss ta et eksempel. En trekant har sider 3 cm, 4 cm og 5 cm. En annen trekant har sider 6 cm, 8 cm og 10 cm. Vi sjekker forholdene: $\displaystyle \frac{6}{3} = 2$, $\displaystyle \frac{8}{4} = 2$, $\displaystyle \frac{10}{5} = 2$. Alle forholdene er like, så trekantene er formlike med forstørrelsesfaktor 2.

Finne ukjente sider med formlikhet

Den virkelige styrken til formlikhet viser seg når vi skal finne ukjente mål. Dersom vi vet at to trekanter er formlike og kjenner noen av sidene, kan vi bruke forstørrelsesfaktoren til å beregne resten.

Metoden er enkel: finn forstørrelsesfaktoren fra et par samsvarende sider du kjenner, og bruk den på den ukjente siden. La oss si at den lille trekanten har sider 3 cm, 4 cm og $x$ cm, mens den store har sider 9 cm, 12 cm og 18 cm. Vi finner faktoren: $\displaystyle \frac{9}{3} = 3$, og $\displaystyle \frac{12}{4} = 3$. Faktoren er 3, så $x \cdot 3 = 18$, som gir $x = 6$ cm.

Formlikhet dukker opp overalt i praktiske situasjoner. Et klassisk eksempel er skyggemetoden: et tre kaster en skygge på 12 meter, og samtidig kaster en 2 meter høy stolpe en skygge på 3 meter. Solen skinner med samme vinkel på begge, så trekantene som dannes av objektet, skyggen og solstrålen er formlike. Forstørrelsesfaktoren er $\displaystyle \frac{12}{3} = 4$, så treet er $2 \cdot 4 = 8$ meter høyt.

Et annet eksempel: et foto er 10 cm bredt og 15 cm høyt. Du vil forstørre det slik at den lange siden blir 45 cm. Forstørrelsesfaktoren er $\displaystyle \frac{45}{15} = 3$, så den korte siden blir $10 \cdot 3 = 30$ cm. Formlikhet sikrer at fotoet ikke blir forvrengd.

Målestokk – fra kart til virkelighet

Målestokk er egentlig bare et annet navn for forstørrelsesfaktoren mellom en tegning og virkeligheten. Når et kart har målestokk 1:50 000, betyr det at 1 cm på kartet tilsvarer 50 000 cm i virkeligheten – altså 500 meter. Målestokk er formlikhet i praksis.

$$\text{Målestokk} = \frac{\text{Avstand på kart}}{\text{Virkelig avstand}}$$

La oss regne med det. Et kart har målestokk 1:50 000, og avstanden mellom to byer er 8 cm på kartet. Den virkelige avstanden er $8 \cdot 50\,000 = 400\,000$ cm, som er 4 000 meter eller 4 km.

Det fungerer også andre veien. En arkitekt tegner et hus i målestokk 1:100. Huset er 12 meter høyt i virkeligheten. Hvor høyt er det på tegningen? Vi regner $12 \text{ m} = 1200 \text{ cm}$, og deler på 100: tegningen viser huset som 12 cm høyt.

Vi kan også finne målestokken. En modell av et hus er 20 cm høy, og det virkelige huset er 10 meter (1000 cm) høyt. Målestokken er $\displaystyle \frac{20}{1000} = \frac{1}{50}$, altså 1:50. Det viktige er å sørge for at begge målene er i samme enhet før du deler.

Areal ved formlikhet

Det er en viktig detalj om formlikhet som mange glemmer: arealet skalerer ikke med samme faktor som sidene. Dersom du dobler alle sidene i en trekant, dobles ikke arealet – det firedobles! Generelt gjelder det at dersom forstørrelsesfaktoren for sidene er $k$, så er forstørrelsesfaktoren for arealet $k^2$.

Hvorfor? Tenk på et kvadrat med side 2 cm – arealet er $4$ cm². Dobler vi siden til 4 cm, er arealet $16$ cm². Forholdet mellom arealene er $\displaystyle \frac{16}{4} = 4 = 2^2$. Det samme prinsippet gjelder for alle formlike figurer.

La oss ta et eksempel med trekanter. To formlike trekanter har forstørrelsesfaktor 3. Den lille trekanten har areal 4 cm². Da er arealet til den store trekanten $4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$ cm².

Og det fungerer også for å finne forstørrelsesfaktoren fra arealer. To formlike rektangler har arealer 6 cm² og 54 cm². Arealforholdet er $\displaystyle \frac{54}{6} = 9$. Siden arealforholdet er $k^2$, er forstørrelsesfaktoren $k = \sqrt{9} = 3$. Sidene i det store rektangelet er altså tre ganger så lange som i det lille.

Denne sammenhengen mellom sideskala og arealskala er nyttig i alt fra arkitektur til biologi – for eksempel forklarer den hvorfor små dyr har relativt større kroppsoverflate enn store dyr.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært å skille mellom identiske og skalerte figurer.

Kongruente figurer har nøyaktig samme form og størrelse. For trekanter bruker vi kongruenssetningene SSS, SAS, ASA og SSA til å avgjøre kongruens uten å måle alt.

Formlike figurer har samme form men ulik størrelse. Alle vinklene er like, og samsvarende sider har samme forholdstall – forstørrelsesfaktoren. Kriteriene Å, SSS (forholdstall) og SAS (forholdstall) brukes for trekanter. Formlikhet lar oss finne ukjente sider ved å bruke kjente forholdstall.

Målestokk er formlikhet mellom en tegning og virkeligheten: 1:50 000 betyr at 1 cm på kartet er 50 000 cm i virkeligheten. Husk at arealet skalerer med kvadratet av forstørrelsesfaktoren: dobler du sidene, firedobles arealet.