5.2 Kongruens og formlikhet | Matematikk 1T

Kongruente og formlike figurer.

30 min

15 oppgaver

KongruensFormlikhetMålestokk

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kongruens

To figurer er kongruente når de har nøyaktig samme form og størrelse. De er identiske kopier av hverandre.

Kongruente figurer har:
- Like store sider
- Like store vinkler
- Samme areal

Kongruente trekanter

To trekanter er kongruente hvis de oppfyller ett av følgende kriterier: SSS (side-side-side): Alle tre sidene er parvis like lange. SAS (side-vinkel-side): To sider og vinkelen mellom dem er like. ASA (vinkel-side-vinkel): To vinkler og siden mellom dem er like. SSA (side-side-vinkel): To sider og én vinkel er like (med visse betingelser).

De tre viktigste kongruenssetningene for trekanter

✏️Eksempel 1

Trekant ABC har sidene AB = 5 cm, BC = 7 cm og AC = 6 cm.
Trekant DEF har sidene DE = 5 cm, EF = 7 cm og DF = 6 cm.
Er trekantene kongruente?

Løsning:

Vi sjekker SSS-kriteriet (side-side-side):
- AB = DE = 5 cm ✓
- BC = EF = 7 cm ✓
- AC = DF = 6 cm ✓

Alle tre sidene er parvis like lange.

Svar: Ja, trekantene er kongruente etter SSS-kriteriet.

📝Oppgave 1

Avgjør om trekantene er kongruente og oppgi hvilket kriterium som brukes

Trekant 1: sider 3, 4, 5. Trekant 2: sider 3, 4, 5.

Trekant 1: sider 6, 8, 10. Trekant 2: sider 6, 8, 11.

Begge har sider 4 og 5, og vinkelen mellom er 60°

Begge har vinkler 50° og 70°, og siden mellom er 8 cm

Formlikhet

To figurer er formlike når de har samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse. Den ene figuren er en forstørret eller forminsket versjon av den andre.

Formlike figurer har:
- Like store vinkler
- Samsvarende sider med samme forhold (forholdstall)

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de oppfyller ett av følgende kriterier: Å (vinkel-vinkel): To vinkler er parvis like store. SSS (forhold): Alle tre sidene har samme forholdstall. SAS (forhold): To sider har samme forholdstall og vinkelen mellom dem er lik. Forholdstallet mellom samsvarende sider kalles skaleringsfaktoren eller forstørrelsesfaktoren .

✏️Eksempel 2

Trekant ABC har sidene 3 cm, 4 cm og 5 cm.
Trekant DEF har sidene 6 cm, 8 cm og 10 cm.
Er trekantene formlike? Finn i så fall forstørrelsesfaktoren.

Løsning:

Vi sjekker forholdene mellom samsvarende sider:
- $\displaystyle \frac{6}{3} = 2$
- $\displaystyle \frac{8}{4} = 2$
- $\displaystyle \frac{10}{5} = 2$

Alle forholdene er like, så trekantene er formlike.

Forstørrelsesfaktoren er 2.

Trekant DEF er dobbelt så stor som trekant ABC.

📝Oppgave 2

Avgjør om trekantene er formlike og finn forstørrelsesfaktoren

Trekant 1: sider 2, 3, 4. Trekant 2: sider 4, 6, 8.

Trekant 1: sider 5, 10, 15. Trekant 2: sider 1, 2, 3.

Trekant 1: sider 3, 4, 5. Trekant 2: sider 6, 7, 10.

Trekant 1: sider 6, 9, 12. Trekant 2: sider 2, 3, 4.

✏️Eksempel 3

To trekanter er formlike med forstørrelsesfaktor 3.
Den lille trekanten har sider 4 cm, 5 cm og 7 cm.
Finn sidene i den store trekanten.

Løsning:

Vi multipliserer alle sidene med forstørrelsesfaktoren 3:
- $4 \cdot 3 = 12$ cm
- $5 \cdot 3 = 15$ cm
- $7 \cdot 3 = 21$ cm

Svar: Den store trekanten har sider 12 cm, 15 cm og 21 cm.

📝Oppgave 3

Finn de ukjente sidene i den formlike trekanten

Liten trekant: 3, 4, 5. Forstørrelsesfaktor: 4

Stor trekant: 15, 20, 25. Forminskingsfaktor: $\displaystyle \frac{1}{5}$

Liten trekant: 2, 3, 4. Forstørrelsesfaktor: 2,5

Målestokk

Målestokk er forholdet mellom en avstand på en tegning/kart og den virkelige avstanden.

$\text{Målestokk} = \frac{\text{Avstand på kart}}{\text{Virkelig avstand}}$

For eksempel betyr målestokk 1:100 at 1 cm på tegningen tilsvarer 100 cm (1 m) i virkeligheten.

✏️Eksempel 4

Et kart har målestokk 1:50 000.
Avstanden mellom to byer er 8 cm på kartet.
Hvor lang er den virkelige avstanden?

Løsning:

Målestokk 1:50 000 betyr at 1 cm på kartet = 50 000 cm i virkeligheten.

Virkelig avstand = Avstand på kart × 50 000
$= 8 \cdot 50 000$ cm
$= 400 000$ cm
$= 4000$ m
$= 4$ km

Svar: Den virkelige avstanden er 4 km.

📝Oppgave 4

Regn ut med målestokk

Målestokk 1:100. 5 cm på tegning. Finn virkelig lengde.

Målestokk 1:25 000. 6 cm på kart. Finn virkelig avstand.

Målestokk 1:500. Virkelig lengde 30 m. Finn lengde på tegning.

Målestokk 1:200. Et rom er 8 cm × 5 cm på tegningen. Finn virkelig størrelse.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 5

To formlike trekanter har en ukjent side. Den lille trekanten har sider 3 cm, 4 cm og $x$ cm.
Den store trekanten har sider 9 cm, 12 cm og 18 cm. Finn $x$ .

Løsning:

Først finner vi forstørrelsesfaktoren ved å sammenligne kjente sider:
$\displaystyle \frac{9}{3} = 3$ og $\displaystyle \frac{12}{4} = 3$

Faktoren er 3, så:
$x \cdot 3 = 18$
$x = 6$ cm

Svar: $x = 6$ cm

📝Oppgave 5

Finn den ukjente siden i de formlike trekantene

Trekant 1: 2, 3, x. Trekant 2: 8, 12, 16.

Trekant 1: 5, x, 10. Trekant 2: 15, 21, 30.

Trekant 1: x, 6, 8. Trekant 2: 12, 18, 24.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Bestem målestokken

En modell av et hus er 20 cm høy. Huset er 10 m høyt.

Avstanden mellom to byer er 5 cm på kartet og 25 km i virkeligheten.

En plantegning viser et rom som 4 cm × 3 cm. Rommet er 8 m × 6 m.

📝Oppgave 7

Areal ved formlikhet

To formlike trekanter har forstørrelsesfaktor 3. Den lille har areal 4 cm². Finn arealet til den store.

To formlike rektangler. Det lille er 2 cm × 3 cm. Det store er 6 cm × 9 cm. Sammenlign arealene.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Praktiske oppgaver med formlikhet. Tegn figurer som viser situasjonene.

Et tre kaster en skygge på 12 m. Samtidig kaster en 2 m høy stolpe en skygge på 3 m. Hvor høyt er treet?

Et foto er 10 cm × 15 cm. Det skal forstørres slik at den lange siden blir 45 cm. Hvor lang blir den korte siden?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Bevis at trekantene er formlike og finn ukjente mål. Tegn begge trekantene selv.

Trekant ABC har vinkler 30°, 60°, 90°. Trekant DEF har vinkler 30°, 60°, 90°. Begrunn at de er formlike.

I oppgave a), hvis AB = 4 og DE = 12, hva er forstørrelsesfaktoren?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Sammensatte oppgaver

En arkitekt tegner et hus i målestokk 1:50. Taket på tegningen har sider 6 cm, 6 cm og 8 cm. Hva er de virkelige målene?

To formlike trekanter. Den ene har omkrets 24 cm, den andre 36 cm. Hva er forstørrelsesfaktoren?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Kongruente trekanter: Helt like — alle sider og vinkler er parvis like store
- Formlike trekanter: Samme form, men ulik størrelse — vinklene er parvis like, og sidene er proporsjonale
- Målestokksforhold: Forholdet mellom samsvarende sider i formlike figurer er konstant
- Målestokk på kart: $1 : 50\,000$ betyr at $1$ cm på kartet er $50\,000$ cm $= 500$ m i virkeligheten
- Praktisk bruk: Skyggemålinger og parallelle linjer i trekanter gir formlike trekanter

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Kongruens	Nøyaktig like figurer ( $\cong$ )
Formlikhet	Like vinkler, proporsjonale sider ( $\sim$ )
Målestokk	Forholdet mellom bilde og virkelighet

Viktige formler

- Formlike trekanter:

\displaystyle \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.