4.4 Andregradsulikskapar | Matematikk 1T

Ulikskapar av annan grad

For å løyse andregradsulikskapar bruker vi nullpunktsfaktorisering og forteiknsskjema.

Framgangsmåte

1. Faktoriser andregradsuttrykket ved hjelp av nullpunktsfaktorisering eller sum/produkt-metoden
2. Sett opp forteiknsskjema med ei linje for kvar faktor
3. Multipliser forteiknslinjene for å finne forteiknet til produktet
4. Les av svaret frå forteiknsskjemaet

Nullpunktsfaktorisering

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

der $x_1$ og $x_2$ er løysingane på $ax^2 + bx + c = 0$ (funne med abc-formelen eller faktorisering).

✏️Døme 1

Løys ulikskapane:

a) $x^2 - 12x + 35 < 0$

b) $-2x^2 + 10x - 12 \geq 0$

Løysing:

a) $x^2 - 12x + 35 < 0$

Vi faktoriserer (sum/produkt: to tal med sum $-12$ og produkt $35$ er $-5$ og $-7$ ):
$x^2 - 12x + 35 = (x - 5)(x - 7)$

Forteiknsskjema:

x-linje

5

7

(x-5)

(x-7)

(x-5)(x-7)

Vi ønskjer å finne når

(x-5)(x-7) < 0

(negativt).

Svar: $5 < x < 7$ , eller $x \in \langle 5, 7 \rangle$

---

b) $-2x^2 + 10x - 12 \geq 0$

Vi faktoriserer:
$-2x^2 + 10x - 12 = -2(x^2 - 5x + 6) = -2(x - 2)(x - 3)$

Forteiknsskjema:

x-linje

2

3

-2

(x-2)

(x-3)

-2(x-2)(x-3)

Vi ønskjer å finne når $-2(x-2)(x-3) \geq 0$ (positivt eller null).

Svar: $2 \leq x \leq 3$ , eller $x \in [2, 3]$

📝Oppgave 1

Bruk forteiknsskjema til å løyse ulikskapane

(x - 2)(x + 3) > 0

-2(x - 1)(x + 4) < 0

x^2 - 4 \leq 0

x^2 - 4 \geq 0

📝Oppgave 2

Bruk forteiknsskjema til å løyse ulikskapane

x^2 + 3x + 2 \geq 0

x(x - 4)(x + 2) < 0

x^2 - 4x > 12

-2x^2 + 16x - 30 < 0

✏️Døme 2

Løys ulikskapane. Uttrykka har ingen nullpunkt eller eitt dobbelt nullpunkt.

a) $x^2 + 1 > 0$

b) $x^2 - 6x + 9 \leq 0$

c) $x^2 + 2x + 5 < 0$

Løysing:

a) $x^2 + 1 > 0$

$D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4 < 0$

Ingen nullpunkt, og $a = 1 > 0$ : uttrykket er positivt for alle $x$ .

Svar: Alle $x$ , altså $x \in \mathbb{R}$

---

b) $x^2 - 6x + 9 \leq 0$

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

$(x - 3)^2$ er aldri negativ og er 0 berre for $x = 3$ .

Svar: $x = 3$

---

c) $x^2 + 2x + 5 < 0$

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -16 < 0$

Ingen nullpunkt, og $a = 1 > 0$ : uttrykket er alltid positivt.

Svar: Inga løysing

📝Oppgave 3

Løys ulikskapane. Finn først ut om uttrykket har nullpunkt.

x^2 + 4 \geq 0

(x + 1)^2 < 0

x^2 - 4x + 4 > 0

-x^2 + 2x - 3 > 0

x^2 - 10x + 25 \leq 0

Oppsummering

- Andregradsulikskapar løysast med nullpunktsfaktorisering og forteiknsskjema
- Framgangsmåte:
1. Faktoriser andregradsuttrykket: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$
2. Sett opp forteiknsskjema med éi linje per faktor
3. Multipliser forteiknslinjene
4. Les av løysinga frå forteiknsskjemaet
- Nullpunktsfaktorisering: Bruk abc-formelen eller sum/produkt-metoden for å finne nullpunkta
- Løysinga er ofte eit intervall eller ein union av intervall
- Hugs å inkludere eller ekskludere nullpunkta basert på ulikskapsteiknet ( $<, >, \leq, \geq$ )

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver