3.7 Rasjonale funksjonar | Matematikk 1T

Funksjonar på brøkform med polynom.

35 min

11 oppgaver

Rasjonale funksjonarAsymptotarDefinisjonsmengd

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.6Polynomfunksjoner

Ein rasjonal funksjon er ein brøk der både teljar og nemnar er polynom. Desse funksjonane har spesielle eigenskapar som asymptotar og hol i grafen.

I dette kapitlet lærer du:
- Definisjonsmengd
- Loddrette asymptotar
- Vassrette asymptotar

Rasjonal funksjon

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

✏️Døme 1

Finn definisjonsmengda til $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$ .

Nemnaren er null når:

x^2 - 4 = 0

(x - 2)(x + 2) = 0

x = 2 \text{ eller } x = -2

Definisjonsmengd: $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$

Svar: Alle reelle tal unntatt $x = -2$ og $x = 2$ .

📝Oppgave 1

Finn definisjonsmengda:

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x + 3}

\displaystyle g(x) = \frac{x}{x^2 - 9}

Loddrett asymptote

x = a

✏️Døme 2

Finn loddrette asymptotar for $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{(x - 2)(x + 3)}$ .

Nemnaren er null når $(x - 2)(x + 3) = 0$ .

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Teljaren $x + 1$ er ikkje null i desse punkta.

Svar: Loddrette asymptotar $x = 2$ og $x = -3$

📝Oppgave 2

Finn loddrette asymptotar:

\displaystyle f(x) = \frac{2}{x - 4}

\displaystyle g(x) = \frac{x}{x^2 - 1}

Løs oppgaven

Vassrett asymptote

y = b

✏️Døme 3

Finn vassrett asymptote for $\displaystyle f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$ .

Teljar har grad 1, nemnar har grad 1.
Gradene er like.

$y = \frac{\text{leiande koeff. i teljar}}{\text{leiande koeff. i nemnar}} = \frac{3}{1} = 3$

Svar: Vassrett asymptote $y = 3$

📝Oppgave 3

Finn vassrette asymptotar:

\displaystyle f(x) = \frac{3}{x + 1}

\displaystyle g(x) = \frac{2x - 5}{x + 3}

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Polynomdivisjon og asymptotar

Skriv $\displaystyle f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ på forma $\displaystyle a + \frac{b}{x - 1}$ , og finn asymptotane.

\begin{array}{l} (2x + 1) : (x - 1) = 2 \\ \underline{-(2x - 2)} \\ \phantom{-(2x - }3 \end{array}

Divisjonen gir $2$ med rest $3$ :

$f(x) = 2 + \frac{3}{x - 1}$

Kontroll: $2(x - 1) + 3 = 2x + 1$

Når $x$ nærmar seg $1$ , blir $\displaystyle \frac{3}{x - 1}$ talmessig svært stor. Loddrett asymptote: $x = 1$ .

Når $x \to \pm\infty$ , går $\displaystyle \frac{3}{x - 1}$ mot $0$ , og $f(x)$ nærmar seg $2$ . Vassrett asymptote: $y = 2$ .

Svar: $\displaystyle f(x) = 2 + \frac{3}{x - 1}$ . Asymptotane er $x = 1$ og $y = 2$ .

✏️Døme 5

Analyser $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .

Faktoriser teljaren:

f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}

For $x \neq 1$ :
$f(x) = x + 1$

Viktig: $f(1)$ er udefinert!

Grafen er linja $y = x + 1$ med eit hol i punktet $(1, 2)$ .

Dette er ikkje ein loddrett asymptote fordi teljaren òg er null i $x = 1$ .

Svar: $f(x) = x + 1$ for $x \neq 1$ , med hol i $(1, 2)$

📝Oppgave 4

Forenkle og finn hol i grafen: $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$

Å skissere rasjonale funksjonar

1. Finn definisjonsmengda
2. Finn loddrette asymptotar
3. Finn vassrette asymptotar
4. Finn nullpunkt ( $f(x) = 0$ )
5. Finn $y$ -skjering ( $f(0)$ )

✏️Døme 6

Finn alle asymptotar og nullpunkt for $\displaystyle f(x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ .

Loddrett asymptote: Nemnar null når

x = 1

. Asymptote:

x = 1

Vassrett asymptote: Grad teljar = grad nemnar = 1.
$\displaystyle y = \frac{1}{1} = 1$ . Asymptote: $y = 1$

Nullpunkt: Teljar null når $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

$y$ -skjering: $\displaystyle f(0) = \frac{2}{-1} = -2$

Svar: Loddrett asymptote $x = 1$ , vassrett asymptote $y = 1$ og nullpunkt $x = -2$

📝Oppgave 5

Finn alle asymptotar, nullpunkt og $y$ -skjering for $\displaystyle f(x) = \frac{2x - 4}{x + 3}$ .

📝Oppgave 6

Finn nullpunkta til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 1}$ .

✏️Døme 7: Lag ein funksjon med gitte asymptotar

Finn ein funksjon $\displaystyle f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ som har loddrett asymptote $x = -2$ , vassrett asymptote $y = 3$ og går gjennom punktet $(0, 1)$ .

Loddrett asymptote

x = -2

gir nemnaren

x + 2

, så

c = 2

Vassrett asymptote $y = 3$ gir $\displaystyle \frac{a}{1} = 3$ , så $a = 3$ .

$f(x) = \frac{3x + b}{x + 2}$

$f(0) = \frac{b}{2} = 1$

$b = 2$

Svar: $\displaystyle f(x) = \frac{3x + 2}{x + 2}$

Kontroll: Teljaren er $3 \cdot (-2) + 2 = -4 \neq 0$ i $x = -2$ , så $x = -2$ er ein asymptote og ikkje eit hol. $\displaystyle f(0) = \frac{2}{2} = 1$ .

📝Oppgave 7

Polynomdivisjon og asymptotar.

Skriv $\displaystyle g(x) = \frac{3x - 1}{x - 2}$ på forma $\displaystyle a + \frac{b}{x - 2}$ , og finn asymptotane.

Finn ein funksjon $\displaystyle h(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ med loddrett asymptote $x = 1$ , vassrett asymptote $y = -2$ og som går gjennom $(0, 4)$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

- Ein rasjonal funksjon har forma $\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ der $P(x)$ og $Q(x)$ er polynom
- Definisjonsmengda er alle $x$ -verdiar der nemnaren ikkje er null: $Q(x) \neq 0$
- Loddrett asymptote $x = a$ finst der nemnaren er null, men ikkje teljaren
- Vassrett asymptote avheng av graden til teljar og nemnar:
- Grad $(P) <$ grad $(Q)$ : $y = 0$
- Grad $(P) =$ grad $(Q)$ : $\displaystyle y = \frac{\text{leiande koeff. i } P}{\text{leiande koeff. i } Q}$
- Grad $(P) >$ grad $(Q)$ : ingen vassrett asymptote
- Polynomdivisjon: $\displaystyle \frac{2x + 1}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}$ viser begge asymptotane direkte
- Viss både teljar og nemnar er null i same punkt, får vi eit hol i grafen (ikkje ein asymptote)
- For å analysere ein rasjonal funksjon: finn definisjonsmengd, loddrette asymptotar, vassrette asymptotar, nullpunkt og $y$ -skjering

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.