3.7 Rasjonale funksjoner | Matematikk 1T

Funksjoner på brøkform med polynomer.

35 min

11 oppgaver

Rasjonale funksjonerAsymptoterDefinisjonsmengde

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.6Polynomfunksjoner

Ein rasjonal funksjon er ein brøk der både teljar og nemnar er polynom. Desse funksjonane har spesielle eigenskapar som asymptotar og hol i grafen.

I dette kapitlet lærer du:
- Definisjonsmengd
- Vertikale asymptotar
- Horisontale asymptotar

Rasjonal funksjon

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

✏️Døme 1

Finn definisjonsmengda til $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$ .

Nemnaren er null når:

x^2 - 4 = 0

(x - 2)(x + 2) = 0

x = 2 \text{ eller } x = -2

Definisjonsmengd: $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$

Alle reelle tal unntatt $x = -2$ og $x = 2$ .

📝Oppgave 1

Finn definisjonsmengda:

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x + 3}

\displaystyle g(x) = \frac{x}{x^2 - 9}

Vertikal asymptote

x = a

✏️Døme 2

Finn vertikale asymptotar for $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{(x - 2)(x + 3)}$ .

Nemnaren er null når $(x - 2)(x + 3) = 0$ .

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Teljaren $x + 1$ er ikkje null i desse punkta.

Vertikale asymptotar: $x = 2$ og $x = -3$

📝Oppgave 2

Finn vertikale asymptotar:

\displaystyle f(x) = \frac{2}{x - 4}

\displaystyle g(x) = \frac{x}{x^2 - 1}

Løs oppgaven Tren

Horisontal asymptote

y = b

✏️Døme 3

Finn horisontal asymptote for $\displaystyle f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$ .

Teljar har grad 1, nemnar har grad 1.
Gradene er like.

$y = \frac{\text{leiande koeff. i teljar}}{\text{leiande koeff. i nemnar}} = \frac{3}{1} = 3$

Horisontal asymptote: $y = 3$

📝Oppgave 3

Finn horisontale asymptotar:

\displaystyle f(x) = \frac{3}{x + 1}

\displaystyle g(x) = \frac{2x - 5}{x + 3}

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 4

Analyser $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .

Faktoriser teljaren:

f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}

For $x \neq 1$ :
$f(x) = x + 1$

Viktig: $f(1)$ er udefinert!

Grafen er linja $y = x + 1$ med eit hol i punktet $(1, 2)$ .

Dette er ikkje ein vertikal asymptote fordi teljaren òg er null i $x = 1$ .

📝Oppgave 4

Forenkle og finn hol i grafen: $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$

Å skissere rasjonale funksjonar

1. Finn definisjonsmengda
2. Finn vertikale asymptotar
3. Finn horisontale asymptotar
4. Finn nullpunkt ( $f(x) = 0$ )
5. Finn $y$ -skjering ( $f(0)$ )

✏️Døme 5

Finn alle asymptotar og nullpunkt for $\displaystyle f(x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ .

Vertikal asymptote: Nemnar null når

x = 1

. Asymptote:

x = 1

Horisontal asymptote: Grad teljar = grad nemnar = 1.
$\displaystyle y = \frac{1}{1} = 1$ . Asymptote: $y = 1$

Nullpunkt: Teljar null når $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

$y$ -skjering: $\displaystyle f(0) = \frac{2}{-1} = -2$

📝Oppgave 5

Finn alle asymptotar, nullpunkt og $y$ -skjering for $\displaystyle f(x) = \frac{2x - 4}{x + 3}$ .

📝Oppgave 6

Finn nullpunkta til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 1}$ .

Oppsummering

- Ein rasjonal funksjon har forma $\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ der $P(x)$ og $Q(x)$ er polynom
- Definisjonsmengda er alle $x$ -verdiar der nemnaren ikkje er null: $Q(x) \neq 0$
- Vertikal asymptote $x = a$ finst der nemnaren er null, men ikkje teljaren
- Horisontal asymptote avheng av graden til teljar og nemnar:
- Grad $(P) <$ grad $(Q)$ : $y = 0$
- Grad $(P) =$ grad $(Q)$ : $\displaystyle y = \frac{\text{leiande koeff. i } P}{\text{leiande koeff. i } Q}$
- Grad $(P) >$ grad $(Q)$ : ingen horisontal asymptote
- Viss både teljar og nemnar er null i same punkt, får vi eit hol i grafen (ikkje ein asymptote)
- For å analysere ein rasjonal funksjon: finn definisjonsmengd, vertikale asymptotar, horisontale asymptotar, nullpunkt og $y$ -skjering

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.