3.6 Polynomfunksjonar | Matematikk 1T

Funksjonar med grad høgare enn 2.

35 min

11 oppgaver

PolynomgradNullpunktFaktorisering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.5Nullpunkter og fortegn

Brukes videre i

3.7Rasjonale funksjoner

Eit polynom er eit uttrykk med fleire ledd der variabelen har heile, ikkje-negative eksponentar. Polynomfunksjonar inkluderer lineære funksjonar (grad 1), andregradsfunksjonar (grad 2), og funksjonar av høgare grad.

I dette kapitlet lærer du:
- Grad og leiande koeffisient
- Nullpunkt og faktorisering
- Korleis grafane oppfører seg

Polynomfunksjon

n

✏️Døme 1

Finn grad og leiande koeffisient for $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 5$ .

Vi ser på kvart ledd:
- $3x^4$ : eksponent 4
- $-2x^2$ : eksponent 2
- $x$ : eksponent 1
- $-5$ : konstantledd

Grad: 4 (den høgaste eksponenten)
Leiande koeffisient: 3 (koeffisienten framfor $x^4$ )
Konstantledd: $-5$

Svar: Grad 4 og leiande koeffisient 3

📝Oppgave 1

Finn grad og leiande koeffisient:

f(x) = 2x^5 - x^3 + 1

g(x) = -x^3 + x^2 - x

h(x) = 2x - 7x^4 + x^2

Korleis grafane oppfører seg

Leiande koeffisient og grad bestemmer kva som skjer med grafen for store $|x|$ :

Partalsgrad:
- $a_n > 0$ : Begge endar oppover
- $a_n < 0$ : Begge endar nedover

Oddetalsgrad:
- $a_n > 0$ : Nedre venstre til øvre høgre
- $a_n < 0$ : Øvre venstre til nedre høgre

✏️Døme 2

Skildre korleis $f(x) = -x^3 + 4x$ oppfører seg for store $|x|$ .

Grad: 3 (oddetal)
Leiande koeffisient:

-1 < 0

For store $|x|$ dominerer $-x^3$ -leddet:
- Når $x \to +\infty$ : $f(x) \to -\infty$ (går nedover)
- Når $x \to -\infty$ : $f(x) \to +\infty$ (går oppover)

Svar: Grafen går frå øvre venstre til nedre høgre.

📝Oppgave 2

Skildre korleis endane oppfører seg:

f(x) = x^3 - 2x

g(x) = -x^4 + 3x^2

h(x) = 2x^5 - x

📜Tal på nullpunkt

Eit polynom av grad $n$ har høgst $n$ nullpunkt.

Viss $x = r$ er eit nullpunkt, er $(x - r)$ ein faktor i polynomet.

✏️Døme 3

Finn nullpunkta til $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x$ .

Faktoriser: Trekk ut

x

f(x) = x(x^2 - 4x + 3)

Faktoriser andregradsuttrykket:
$f(x) = x(x - 1)(x - 3)$

Nullpunkt: $f(x) = 0$ når éin av faktorane er 0.

Svar: $x = 0$ , $x = 1$ eller $x = 3$

📝Oppgave 3

Finn nullpunkta:

f(x) = x^3 - 9x

g(x) = x^3 - x^2 - 6x

Løs oppgaven

✏️Døme 4

Finn nullpunkta til $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ .

Med

u = x^2

blir uttrykket:

x^4 - 5x^2 + 4 = u^2 - 5u + 4 = (u - 1)(u - 4)

Tilbake til $x$ :
$f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4)$

Faktoriser vidare:
$f(x) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

Svar: $x = -2$ , $x = -1$ , $x = 1$ og $x = 2$

📝Oppgave 4

Finn nullpunkta (bruk substitusjon $u = x^2$ ):

f(x) = x^4 - 10x^2 + 9

g(x) = x^4 - 13x^2 + 36

Løs oppgaven

Skissere polynomgrafar

1. Finn graden og avgjer korleis endane oppfører seg
2. Finn nullpunkta (løys $f(x) = 0$ )
3. Finn $y$ -skjeringa ( $f(0)$ )
4. Teikn ei jamn kurve gjennom punkta

✏️Døme 5: Skisser grafen

Skisser grafen til $f(x) = x^3 - 2x^2 - 3x$ .

Grad

3

og leiande koeffisient

1 > 0

: grafen går frå nedre venstre til øvre høgre.

$f(x) = x(x^2 - 2x - 3)$

$f(x) = x(x + 1)(x - 3)$

Nullpunkt: $x = -1$ , $x = 0$ og $x = 3$

$x$	$-1$	$0$	$3$
$x + 1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Nokre punkt til skissa:

f(-2) = -8 - 8 + 6 = -10

f(1) = 1 - 2 - 3 = -4

f(2) = 8 - 8 - 6 = -6

f(4) = 64 - 32 - 12 = 20

Tredjegradsgraf som kjem nedanfrå, kryssar x-aksen i −1, ligg litt over aksen mellom −1 og 0, under aksen mellom 0 og 3, og stig over aksen etter 3.

Svar: Grafen kjem nedanfrå, kryssar $x$ -aksen i $x = -1$ , ligg over aksen mellom $-1$ og $0$ , under aksen mellom $0$ og $3$ , og over aksen for $x > 3$ .

✏️Døme 6

Eit polynom av grad 3 har nullpunkt $x = -2, 1, 3$ og $f(0) = 6$ . Finn $f(x)$ .

f(x) = a(x + 2)(x - 1)(x - 3)

$f(0) = a \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-3) = 6a$

$6a = 6$

$a = 1$

Svar: $f(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3)$

📝Oppgave 5

Eit polynom av grad 3 har nullpunkt $x = -1, 2, 4$ og $f(0) = 8$ . Finn $f(x)$ .

📝Oppgave 6

Løys likninga $x^3 - 7x + 6 = 0$ .

Oppsummering

- Polynomfunksjon: $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ der $a_n \neq 0$
- Grad: Den høgaste eksponenten $n$ i polynomet. Bestemmer det maksimale talet på nullpunkt
- Leiande koeffisient: $a_n$ - koeffisienten framfor leddet med høgast eksponent
- Korleis endane oppfører seg: Blir bestemt av grad og leiande koeffisient. Partalsgrad: begge endar same retning. Oddetalsgrad: endar i motsette retningar
- Nullpunkt: Eit polynom av grad $n$ har høgst $n$ nullpunkt. Finn ved faktorisering eller substitusjon
- Faktorisert form: Viss $x = r$ er nullpunkt, er $(x - r)$ ein faktor i polynomet
- Substitusjon: For $x^4$ -likningar: set $u = x^2$ for å redusere til andregradslikning

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.