3.2 Lineære funksjonar

Rette linjer, stigingstal, konstantledd og grafteikning.

45 min

13 oppgaver

y = ax + bStigingstalKonstantleddTeikne linjer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Koordinatsystemet

Brukes videre i

3.3Hva er en funksjon?

Enkel innsetjing

Når vi har eit matematisk uttrykk, til dømes $2x + 1$ , så seier vi ofte at $x$ er ein variabel. Det er fordi $x$ kan vere mange forskjellige verdiar (han varierer).

Du kan velje kva tal du vil erstatte $x$ med — dette blir kalla å setje inn ein verdi for $x$ .

✏️Døme 1

Set inn $x = 3$ i uttrykka nedanfor og rekn ut kva for ein verdi du får.

a) $4x + 1$

b) $-2x + 4$

Løysing:

a) Uttrykket er $4 \cdot x + 1$ . Vi skal setje inn $x = 3$ , det vil seie at vi erstattar $x$ med 3:
$4 \cdot 3 + 1 = 12 + 1 = 13$

b) Vi erstattar $x$ med 3 og reknar ut:
$-2x + 4 = -2 \cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2$

Svar: a) $13$ b) $-2$

📝Oppgave 1

Set inn $x = 2$ i uttrykka nedanfor og rekn ut kva for ein verdi du får.

x + 3

3x - 1

-4x + 10

Løs oppgaven

Avhengig og uavhengig variabel

Nokre gonger er verdien til ein variabel (ofte $y$ ) avhengig av verdien til ein annan variabel (ofte $x$ ).

- $x$ blir kalla den uavhengige variabelen — den kan vi velje fritt
- $y$ blir kalla den avhengige variabelen — verdien blir bestemt av $x$

Døme: I uttrykket $y = 2x - 3$ ser vi at:
- Når $x = 4$ : $y = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$
- Når $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$

Verdien til $y$ er altså avhengig av kva verdien til $x$ er.

✏️Døme 2

Set inn $x = -2$ i uttrykka nedanfor og rekn ut verdien til $y$ .

a) $y = 2x - 1$

b) $y = -x + 4$

Løysing:

a) Vi set $-2$ inn for $x$ i uttrykket og reknar ut:
$y = 2 \cdot x - 1 = 2 \cdot (-2) - 1$
$y = -4 - 1 = -5$

b) Vi set $-2$ inn for $x$ i uttrykket og reknar ut:
$y = -x + 4 = -(-2) + 4 = 2 + 4 = 6$

Svar: a) $y = -5$ b) $y = 6$

📝Oppgave 2

Set inn $x = -3$ i uttrykka nedanfor og rekn ut kva for ein verdi $y$ får.

y = x + 5

y = 2x - 1

y = -4x + 1

Løs oppgaven

Linjer og enkel innsetjing

Ei linje i koordinatsystemet kan skildrast med ein «regel» som $y = 2x$ .

Alle punkt på linja følgjer denne regelen:
- Når $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1 = 2$ → punktet $(1, 2)$
- Når $x = 3$ : $y = 2 \cdot 3 = 6$ → punktet $(3, 6)$
- Når $x = -2$ : $y = 2 \cdot (-2) = -4$ → punktet $(-2, -4)$

For å teikne ei linje kan vi:
1. Velje nokre $x$ -verdiar (t.d. 3 verdiar spreidde utover)
2. Rekne ut tilhøyrande $y$ -verdiar
3. Markere punkta i koordinatsystemet
4. Teikne ei rett linje gjennom punkta

Gjør dette i GeoGebra

Linja $y = 2x$

Linja

y = 2x

med nokre punkt markerte.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 2x
A = (1, 2)
B = (3, 6)
C = (-2, -4)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Døme 3

Teikn linja som følgjer «regelen» $y = 2x - 2$ i eit koordinatsystem frå $x = -4$ til $x = 5$ .

Løysing:

Vi byrjar med å finne 3 punkt som følgjer regelen $y = 2x - 2$ .

Vi vel $x = -3$ , $x = 0$ og $x = 4$ .

For $x = -3$ :
$y = 2 \cdot (-3) - 2 = -6 - 2 = -8$
Første punkt: $(-3, -8)$

For $x = 0$ :
$y = 2 \cdot 0 - 2 = 0 - 2 = -2$
Andre punkt: $(0, -2)$

For $x = 4$ :
$y = 2 \cdot 4 - 2 = 8 - 2 = 6$
Tredje punkt: $(4, 6)$

Vi markerer punkta i koordinatsystemet og teiknar ei rett linje gjennom dei.

Svar: Linja går gjennom $(-3, -8)$ , $(0, -2)$ og $(4, 6)$ .

Gjør dette i GeoGebra

Døme 3: $y = 2x - 2$

Linja

y = 2x - 2

med dei utrekna punkta.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 2x - 2
A = (-3, -8)
B = (0, -2)
C = (4, 6)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Tips: Val av $x$ -verdiar

Vi kan velje kva for $x$ -verdiar vi vil, men for å teikne ei best mogleg linje er det lurt å velje $x$ -verdiar som er spreidde utover koordinatsystemet.

God praksis:
- Vel éin negativ verdi (t.d. $x = -3$ )
- Vel $x = 0$ (gir skjeringspunktet med $y$ -aksen)
- Vel éin positiv verdi (t.d. $x = 4$ )

📝Oppgave 3

Teikn eit koordinatsystem og bruk metoden i dømet ovanfor til å teikne grafane til:

y = 2x + 1

y = x - 2

y = -2x + 3

Stigingstal og konstantledd

Linjer i koordinatsystemet blir ofte skildra på forma:

$y = ax + b$

Her kallar vi:
- $a$ for stigingstalet
- $b$ for konstantleddet

Døme: I linja $y = 2x + 1$ er stigingstalet $a = 2$ og konstantleddet $b = 1$ .

Vi skriv ofte $f(x) = ax + b$ i staden for $y = ax + b$ . Då tyder $f(4)$ verdien av $y$ når $x = 4$ .

Konstantleddet

b

Stigingstalet

a

Gjør dette i GeoGebra

Stigingstal og konstantledd

Linja

y = 2x + 1

med stigingstal

a = 2

og konstantledd

b = 1

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 2x + 1
B = (0, 1)
P1 = (0, 1)
P2 = (1, 3)
Segment(P1, (1, 1))
Segment((1, 1), P2)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Korleis lese av stigingstalet frå grafen

For linja $y = 2x + 1$ :
- Start i eit punkt på linja, t.d. $(0, 1)$
- Gå 1 eining til høgre (langs $x$ -aksen)
- Sjå kor mykje du må gå opp/ned for å treffe linja igjen

I dette tilfellet må vi gå 2 opp → stigingstalet er $a = 2$ .

Brukar vi uttrykket $y = 2x + 1$ ser vi at dersom $x$ aukar med 1, så aukar $y$ med 2:
- $x = 0$ : $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
- $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ (auke på 2)

✏️Døme 4

Teikn grafen til linja $y = -3x + 4$

Her er stigingstalet $a = -3$ og konstantleddet $b = 4$ .

Løysing:

Konstantleddet er $b = 4$ , så vi markerer punktet $(0, 4)$ på $y$ -aksen.

Stigingstalet er $a = -3$ : 1 til høgre og 3 ned gir punktet $(1, 1)$ .

Vi trekkjer linja gjennom $(0, 4)$ og $(1, 1)$ .

Svar: Linja $y = -3x + 4$ går gjennom $(0, 4)$ og $(1, 1)$ .

Gjør dette i GeoGebra

Døme 4: $y = -3x + 4$

Linja

y = -3x + 4

teikna ved hjelp av konstantledd og stigingstal.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = -3x + 4
A = (0, 4)
B = (1, 1)
Segment(A, (1, 4))
Segment((1, 4), B)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 4

Teikn eit koordinatsystem og bruk metoden i dømet ovanfor til å teikne grafane til:

y = 3x + 1

y = x - 2

y = -x + 1

📝Oppgave 5

Sjå på grafen og bestem konstantleddet $b$ og stigingstalet $a$ . Skriv deretter funksjonsuttrykket $y = ax + b$ .

Gjør dette i GeoGebra

Start med å skrive inn dette, én linje om gangen:

f(x) = 2x - 3
SetColor(f, "Blue")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Graf 1 (blå)

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Bestem stigingstal $a$ og konstantledd $b$ for kvar av grafane under. Skriv funksjonsuttrykket $y = ax + b$ .

Gjør dette i GeoGebra

Start med å skrive inn dette, én linje om gangen:

f(x) = x + 2
g(x) = -2x + 4
h(x) = 0.5x - 1
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Red")
SetColor(h, "Green")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Blå graf $f$

Raud graf $g$

Grøn graf $h$

Løs oppgaven

Oppsummering

For ein lineær funksjon $y = ax + b$ :

Omgrep	Tyding	Korleis finne frå graf
Konstantledd $b$	Skjering med $y$ -aksen	Les av $y$ -verdien der linja kryssar $y$ -aksen
Stigingstal $a$	Kor mykje $y$ endrar seg når $x$ aukar med 1	Gå 1 til høgre, tel opp/ned til linja

Hugseregel:
-

a > 0

: Linja stig (oppover mot høgre)
-

a < 0

: Linja søkk (nedover mot høgre)

- $a = 0$ : Vassrett linje

📝Oppgave 7

Blanda oppgåver om lineære funksjonar.

Kva er stigingstalet og konstantleddet til $y = 5x - 2$ ?

Kva er stigingstalet og konstantleddet til $y = -x + 7$ ?

Ei linje har stigingstal 3 og konstantledd $-4$ . Skriv funksjonsuttrykket.

Ei linje går gjennom $(0, 5)$ og $(1, 2)$ . Finn stigingstalet og skriv funksjonsuttrykket.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Utfordringsoppgåver.

Ei linje går gjennom punkta $(2, 7)$ og $(4, 13)$ . Finn stigingstalet.

Bruk svaret frå a) til å finne konstantleddet. (Hint: Set inn eitt av punkta)

Skriv funksjonsuttrykket for linja.

Løs oppgaven

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Enkel innsetjing

Avhengig og uavhengig variabel

Linjer og enkel innsetjing

Linja y=2xy = 2xy=2x

Døme 3: y=2x−2y = 2x - 2y=2x−2

Stigingstal og konstantledd

Stigingstal og konstantledd

Korleis lese av stigingstalet frå grafen

Døme 4: y=−3x+4y = -3x + 4y=−3x+4

Oppsummering

Linja $y = 2x$

Døme 3: $y = 2x - 2$

Døme 4: $y = -3x + 4$