2.6 Likninger med røtter | Matematikk 1T

Løs likninger som inneholder kvadratrøtter.

30 min

10 oppgaver

RotlikningerKvadreringKontroll av løsninger

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Potenser med heltallseksponenter

Likningar med røtter

I dette kapitlet lær du å løysa likningar der den ukjende står under eit rottegn, til dømes $\sqrt{x + 3} = 5$ .

Viktig: Når me kvadrerer begge sidene av ei likning, kan me introdusera falske løysingar. Difor må me alltid kontrollera svara!

Kvadratrot

\sqrt{a}

✏️Døme 1

Løys likningen $\sqrt{x} = 4$

Løysing:

Me kvadrerer begge sidor:
$(\sqrt{x})^2 = 4^2$
$x = 16$

Kontroll: $\sqrt{16} = 4$ ✓

Svar: $x = 16$

📝Oppgave 1

Løys likningane

\sqrt{x} = 5

\sqrt{x} = 7

\sqrt{x} = 10

\sqrt{x} = 0

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 2

Løys likningen $\sqrt{x + 5} = 3$

Løysing:

Me kvadrerer begge sidor:
$(\sqrt{x + 5})^2 = 3^2$
$x + 5 = 9$
$x = 4$

Kontroll: $\sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$ ✓

Svar: $x = 4$

📝Oppgave 2

Løys likningane og kontroller svaret

\sqrt{x - 1} = 4

\sqrt{x + 7} = 5

\sqrt{2x + 1} = 3

\sqrt{3x - 5} = 4

Løs oppgaven Tren

Falske løysingar

Når me kvadrerer ei likning, kan me få falske løysingar som ikkje stemmer med den opphavlege likningen. Dette skjer fordi kvadrering «gløymer» forteiknet.

Døme på korleis kontroll er viktig:
- Anta at $\sqrt{x} = -3$ (som ikkje har løysing)
- Viss me kvadrerer: $x = 9$
- Men $\sqrt{9} = 3 \neq -3$

Difor: Kontroller alltid svaret i den opphavlege likningen!

✏️Døme 3

Løys likningen $\sqrt{x + 2} = x$

Løysing:

Me kvadrerer begge sidor:
$x + 2 = x^2$
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
$x = 2$ eller $x = -1$

Kontroll:
- $x = 2$ : $\sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$ ✓
- $x = -1$ : $\sqrt{-1 + 2} = \sqrt{1} = 1 \neq -1$ ✗

Svar: $x = 2$ (berre éin løysing)

📝Oppgave 3

Løys likningane og forkast eventuelle falske løysingar

\sqrt{x - 3} = x - 5

\sqrt{x + 3} = x + 1

\sqrt{2x + 3} = x

\sqrt{x} + 1 = x - 1

Løs oppgaven Tren

Isoler rota fyrst

Viss rotuttrykket ikkje står aleine, må du isolere det før du kvadrerer.

✏️Døme 4

Løys likninga $\sqrt{x + 1} + 3 = 7$

Løysing:

Isoler rota:
$\sqrt{x + 1} = 7 - 3 = 4$

Kvadrer:
$x + 1 = 16$
$x = 15$

Kontroll: $\sqrt{15 + 1} + 3 = \sqrt{16} + 3 = 4 + 3 = 7$ ✓

Svar: $x = 15$

📝Oppgave 4

Løys likningane

\sqrt{x} - 2 = 3

2\sqrt{x} = 6

\sqrt{x - 4} + 1 = 6

3\sqrt{x + 2} = 12

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys likningane

\sqrt{x} = -2

\sqrt{x^2} = 4

\sqrt{x - 1} = \sqrt{2x - 5}

\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

\sqrt{a} \geq 0

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Rotlikningar: Likningar der den ukjente står under eit rottegn, løysast ved å kvadrere båe sider
- Isoler rota fyrst: Få rotuttrykket aleine på éi side før du kvadrerer
- Falske løysingar: Kvadrering kan gje løysingar som ikkje passar i den opphavlege likninga — set alltid prøve!
- Umulege likningar: $\sqrt{x} = -3$ har ingen løysing, fordi ein kvadratrot aldri er negativ

Nøkkelbegrep

Omgrep	Forklaring
Rotlikning	Likning med den ukjente under rottegn
Å kvadrere	Å opphøgje båe sider i andre potens
Falsk løysing	Kandidat frå kvadreringa som ikkje passar i originallikninga

Viktige formlar

\sqrt{a} = b \;\Rightarrow\; a = b^2

(krev

b \geq 0

)
-

(\sqrt{a})^2 = a

for

a \geq 0

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.