2.6 Likningar med røter | Matematikk 1T

Løys likningar som inneheld kvadratrøter.

30 min

10 oppgaver

RotlikningarKvadreringKontroll av løysingar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Potenser med heltallseksponenter

Likningar med røter

I dette kapitlet lær du å løyse likningar der den ukjende står under eit rotteikn, til dømes $\sqrt{x + 3} = 5$ .

Viktig: Når vi kvadrerer begge sidene av ei likning, kan vi introdusere falske løysingar. Difor må vi alltid kontrollere svara!

Kvadratrot

\sqrt{a}

✏️Døme 1

Løys likninga $\sqrt{x} = 4$

Løysing:

Vi kvadrerer begge sidor:
$(\sqrt{x})^2 = 4^2$
$x = 16$

Kontroll: $\sqrt{16} = 4$ ✓

Svar: $x = 16$

📝Oppgave 1

Løys likningane

\sqrt{x} = 5

\sqrt{x} = 7

\sqrt{x} = 10

\sqrt{x} = 0

Løs oppgaven

✏️Døme 2

Løys likninga $\sqrt{x + 5} = 3$

Løysing:

Vi kvadrerer begge sidor:
$(\sqrt{x + 5})^2 = 3^2$
$x + 5 = 9$
$x = 4$

Kontroll: $\sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$ ✓

Svar: $x = 4$

📝Oppgave 2

Løys likningane og kontroller svaret

\sqrt{x - 1} = 4

\sqrt{x + 7} = 5

\sqrt{2x + 1} = 3

\sqrt{3x - 5} = 4

Løs oppgaven

Falske løysingar

Når vi kvadrerer ei likning, kan vi få falske løysingar som ikkje stemmer med den opphavlege likninga. Dette skjer fordi kvadrering «gløymer» forteiknet.

Døme på korleis kontroll er viktig:
- Anta at $\sqrt{x} = -3$ (som ikkje har løysing)
- Viss vi kvadrerer: $x = 9$
- Men $\sqrt{9} = 3 \neq -3$

Difor: Kontroller alltid svaret i den opphavlege likninga!

✏️Døme 3

Løys likninga $\sqrt{x + 2} = x$

Løysing:

Vi kvadrerer begge sidor:
$x + 2 = x^2$
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
$x = 2$ eller $x = -1$

Kontroll:
- $x = 2$ : $\sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$ ✓
- $x = -1$ : $\sqrt{-1 + 2} = \sqrt{1} = 1 \neq -1$ ✗

Svar: $x = 2$ (berre éin løysing)

📝Oppgave 3

Løys likningane og forkast eventuelle falske løysingar

\sqrt{x - 3} = x - 5

\sqrt{x + 3} = x + 1

\sqrt{2x + 3} = x

\sqrt{x} + 1 = x - 1

Løs oppgaven

Isoler rota fyrst

Viss rotuttrykket ikkje står aleine, må du isolere det før du kvadrerer.

✏️Døme 4

Løys likninga $\sqrt{x + 1} + 3 = 7$

Løysing:

Isoler rota:
$\sqrt{x + 1} = 7 - 3 = 4$

Kvadrer:
$x + 1 = 16$
$x = 15$

Kontroll: $\sqrt{15 + 1} + 3 = \sqrt{16} + 3 = 4 + 3 = 7$ ✓

Svar: $x = 15$

📝Oppgave 4

Løys likningane

\sqrt{x} - 2 = 3

2\sqrt{x} = 6

\sqrt{x - 4} + 1 = 6

3\sqrt{x + 2} = 12

Løs oppgaven

✏️Døme 5

Løys likninga $\sqrt{x + 7} - \sqrt{x} = 1$ (to rotteikn: isoler eitt av dei og kvadrer)

Løysing:

$\sqrt{x + 7} - \sqrt{x} = 1 \quad | +\sqrt{x}$

$\sqrt{x + 7} = 1 + \sqrt{x}$

$x + 7 = 1 + 2\sqrt{x} + x$

$6 = 2\sqrt{x}$

$\sqrt{x} = 3$

$x = 9$

Kontroll: $\sqrt{9 + 7} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1$ ✓

Svar: $x = 9$

📝Oppgave 5

Løys likningane

\sqrt{x} = -2

\sqrt{x^2} = 4

\sqrt{x - 1} = \sqrt{2x - 5}

\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1

Løs oppgaven

Oppsummering

\sqrt{a} \geq 0

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Rotlikningar: Likningar der den ukjente står under eit rotteikn, løysast ved å kvadrere båe sider
- Isoler rota fyrst: Få rotuttrykket aleine på éi side før du kvadrerer
- Falske løysingar: Kvadrering kan gje løysingar som ikkje passar i den opphavlege likninga — set alltid prøve!
- Umulege likningar: $\sqrt{x} = -3$ har ingen løysing, fordi ein kvadratrot aldri er negativ

Nøkkelbegrep

Omgrep	Forklaring
Rotlikning	Likning med den ukjente under rotteikn
Å kvadrere	Å opphøgje båe sider i andre potens
Falsk løysing	Kandidat frå kvadreringa som ikkje passar i originallikninga

Viktige formlar

\sqrt{a} = b \;\Rightarrow\; a = b^2

(krev

b \geq 0

)
-

(\sqrt{a})^2 = a

for

a \geq 0

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.