2.5 Rasjonale likningar

a) $\displaystyle \frac{x}{3} = 2 \quad | \cdot 3$
$\displaystyle \frac{x}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$
$x = 6$

b) $\displaystyle \frac{2}{5} \cdot x = 6$
$\displaystyle \frac{2x}{5} = 6 \quad | \cdot 5$
$2x = 30 \quad | : 2$
$x = 15$

c) $\displaystyle \frac{6}{x} = 2 \quad | \cdot x$
$6 = 2x \quad | : 2$
$x = 3$

Svar: a) $x = 6$, b) $x = 15$, c) $x = 3$

a) $\displaystyle \frac{x}{5} = \frac{2}{5} \quad | \cdot 5$
$x = 2$

b) $\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4} \quad | \cdot 3$
$\displaystyle x = \frac{5}{4} \cdot 3 = \frac{15}{4}$

Alternativ 2 (Gang med fellesnemnar):
$\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4} \quad | \cdot 12$
$4x = 3 \cdot 5$
$4x = 15 \quad | : 4$
$\displaystyle x = \frac{15}{4}$

c) $\displaystyle \frac{3}{7x} = 1 \quad | \cdot 7x$
$3 = 7x \quad | : 7$
$\displaystyle x = \frac{3}{7}$

Svar: a) $x = 2$, b) $\displaystyle x = \frac{15}{4}$, c) $\displaystyle x = \frac{3}{7}$

a) Alternativ 1:
$\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2 \quad | - \frac{1}{2}$
$\displaystyle x = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Alternativ 2 (Gang med fellesnemnar):
$\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2 \quad | \cdot 2$
$2x + 1 = 4 \quad | - 1$
$2x = 3 \quad | : 2$
$\displaystyle x = \frac{3}{2}$

b) $\displaystyle \frac{1}{3}x - 1 = 3 \quad | + 1$
$\displaystyle \frac{x}{3} = 4 \quad | \cdot 3$
$x = 12$

Svar: a) $\displaystyle x = \frac{3}{2}$, b) $x = 12$

$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2$

$\displaystyle \frac{2x \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{x \cdot 3}{5 \cdot 3} = -2$

$\displaystyle \frac{10x}{15} + \frac{3x}{15} = -2$

$\displaystyle \frac{13x}{15} = -2 \quad | \cdot 15$

$13x = -30 \quad | : 13$

$\displaystyle x = -\frac{30}{13}$

Alternativ løysing:
$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2 \quad | \cdot 15$
$5 \cdot 2x + 3x = -30$
$13x = -30$
$\displaystyle x = -\frac{30}{13}$

Svar: $\displaystyle x = -\frac{30}{13}$

$\displaystyle -3x = \frac{6}{7} \quad | : (-3)$

$\displaystyle \frac{-3x}{-3} = \frac{6}{-3 \cdot 7}$

$\displaystyle x = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 7}$

$\displaystyle x = -\frac{2}{7}$

Merk: Å dele med eit tal er det same som å gange nemnaren med det talet.
Døme: $\displaystyle \frac{3}{4} : 2 = \frac{3}{4 \cdot 2}$

Svar: $\displaystyle x = -\frac{2}{7}$

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} = 4 \quad | \cdot 2$

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2$

$x + 2 = 8 \quad | - 2$

$x = 6$

Svar: $x = 6$

$\displaystyle \frac{x + 1}{2} = 0$

Vi ser her at $x + 1 = 0$ når $x = -1$. Ettersom teljaren i brøken då blir 0 så vil heile brøken då ha verdien 0 og likskapsteiknet er oppfylt.

Løysinga er altso $x = -1$

Svar: $x = -1$

Vi faktoriserer teljaren i brøken (til dømes ved nullpunktsfaktorisering eller ved sum og produktmetoden):

$\displaystyle \frac{(x + 2)(x + 3)}{x - 1} = 0$

Nullproduktregelen fortel oss at det over brøkstreken er 0 når minst ein av faktorane er lik 0.

Vi ser her at $x + 2 = 0$ når $x = -2$ og at $x + 3 = 0$ når $x = -3$.

Ettersom teljaren i brøken i begge tilfella blir 0 så vil heile brøken då ha verdien 0 og likskapsteiknet er oppfylt.

Løysingane her er altso $x = -2$ og $x = -3$

NB: Det under brøkstreken er lik 0 når $x = 1$, men dette vil ikkje gi oss noko nullpunkt.

Svar: $x = -3$ eller $x = -2$

$\displaystyle \frac{x - 3}{3} - \frac{x - 2}{3} = 0 \quad | \cdot 3$

$\displaystyle \frac{3(x - 3)}{3} - \frac{3(x - 2)}{3} = 3 \cdot 0$

$x - 3 - (x - 2) = 0$

$x - 3 - x + 2 = 0$

$-1 = 0$

Men $-1$ er aldri lik $0$, det spelar ingen rolle kva $x$ er her.

Svar: Inga løysing

$\displaystyle \frac{2x + 3}{5} = \frac{4x + 6}{10} \quad | \cdot 10$

$\displaystyle \frac{10(2x + 3)}{5} = \frac{10(4x + 6)}{10}$

$\displaystyle \frac{2 \cdot 5(2x + 3)}{5} = 4x + 6$

$4x + 6 = 4x + 6$

Uavhengig av kva $x$ er så vil venstresida og høgresida i dette uttrykket vere like kvarandre.

Her kan vi altså seie at løysinga er alle moglegaste verdiar av x. Andre måtar vi kan seie dette på er "alle reelle tal" eller berre alle $x \in \mathbb{R}$.

Svar: Alle $x$ er løysingar

Krav: $x \neq -2$

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} = -2 \quad | \cdot (2x + 4)$

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} \cdot (2x + 4) = -2 \cdot (2x + 4)$

$\displaystyle \frac{(x - 3)(2x + 4)}{(2x + 4)} = -2(2x + 4)$

$x - 3 = -4x - 8 \quad | + (4x + 3)$

$x + 4x - 3 + 3 = -4x + 4x - 8 + 3$

$5x = -5 \quad | : 5$

$x = -1$

Svar: $x = -1$

Krav: $x \neq 0$ og $x \neq 3$

$\displaystyle \frac{x}{x-3} - \frac{2}{x} = \frac{6}{x(x-3)} \quad | \cdot x(x-3)$

$x \cdot x - 2(x-3) = 6$

$x^2 - 2x + 6 = 6$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

$x = 0 \quad \text{eller} \quad x = 2$

$x = 0$ bryt kravet $x \neq 0$ og er ei falsk løysing.

Kontroll for $x = 2$: venstresida er $\displaystyle \frac{2}{-1} - \frac{2}{2} = -3$, høgresida er $\displaystyle \frac{6}{2 \cdot (-1)} = -3$ ✓

Svar: $x = 2$