2.5 Rasjonale likninger

a) $\displaystyle \frac{x}{3} = 2 \quad | \cdot 3$
$\displaystyle \frac{x}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$
$x = 6$

b) $\displaystyle \frac{2}{5} \cdot x = 6$
$\displaystyle \frac{2x}{5} = 6 \quad | \cdot 5$
$2x = 30 \quad | \div 2$
$x = 15$

c) $\displaystyle \frac{8}{2x} = 2 \quad | \cdot 2x$
$8 = 4x \quad | \div 4$
$2 = x$
$x = 2$

a) $\displaystyle \frac{x}{5} = \frac{2}{5} \quad | \cdot 5$
$x = 2$

b) $\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4} \quad | \cdot 3$
$\displaystyle x = \frac{5}{4} \cdot 3 = \frac{15}{4}$

Alternativ 2 (Gang med fellesnemnar):
$\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4} \quad | \cdot 12$
$4x = 3 \cdot 5$
$4x = 15 \quad | \div 4$
$\displaystyle x = \frac{15}{4}$

c) $\displaystyle \frac{3}{7x} = 1 \quad | \cdot 7x$
$3 = 7x \quad | \div 7$
$\displaystyle x = \frac{3}{7}$

a) Alternativ 1:
$\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2 \quad | - \frac{1}{2}$
$\displaystyle x = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Alternativ 2 (Gang med fellesnevner):
$\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2 \quad | \cdot 2$
$2x + 1 = 4 \quad | - 1$
$2x = 3 \quad | \div 2$
$\displaystyle x = \frac{3}{2}$

b) Alternativ 1:
$\displaystyle \frac{1}{3}x - 1 = 3 \quad | + 1$
$\displaystyle \frac{x}{3} = 4 \quad | \cdot 3$
$x = 12$

$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2$

$\displaystyle \frac{2x \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{x \cdot 3}{5 \cdot 3} = -2$

$\displaystyle \frac{10x}{15} + \frac{3x}{15} = -2$

$\displaystyle \frac{13x}{15} = -2 \quad | \cdot 15$

$13x = -30 \quad | \div 13$

$\displaystyle x = -\frac{30}{13}$

Alternativ løysing:
$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2 \quad | \cdot 15$
$5 \cdot 2x + 3x = -30$
$13x = -30$
$\displaystyle x = -\frac{30}{13}$

$\displaystyle -3x = \frac{6}{7} \quad | \div (-3)$

$\displaystyle \frac{-3x}{-3} = \frac{6}{-3 \cdot 7}$

$\displaystyle x = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 7}$

$\displaystyle x = -\frac{2}{7}$

Merk: Å dela med eit tal er det same som å ganga nevnaren med det talet.
Døme: $\displaystyle \frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4 \cdot 2}$

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} = 4 \quad | \cdot 2$

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2$

$x + 2 = 8 \quad | - 2$

$x = 6$

$\displaystyle \frac{x + 1}{2} = 0$

Vi ser her at $x + 1 = 0$ når $x = -1$. Ettersom teljarar i brøken då blir 0 så vil heile brøken då ha verdien 0 og likskapsteiknet er oppfylt.

Løysinga er altso $x = -1$

Vi faktoriserer teljarar i brøken (til dømes ved nullpunktsfaktorisering eller ved sum og produktmetoden):

$\displaystyle \frac{(x + 2)(x + 3)}{x - 1} = 0$

Produktregelen fortel oss at det over brøkstreken er 0 når minst ein av faktorane er lik 0.

Vi ser her at $x + 2 = 0$ når $x = -2$ og at $x + 3 = 0$ når $x = -3$.

Ettersom teljarar i brøken i begge tilfella blir 0 så vil heile brøken då ha verdien 0 og likskapsteiknet er oppfylt.

Løysingane her er altso $x = -2$ og $x = -3$

NB: Det under brøkstreken er lik 0 når $x = 1$, men dette vil ikkje gi oss noko nullpunkt.

$\displaystyle \frac{x - 3}{3} - \frac{x - 2}{3} = 0 \quad | \cdot 3$

$\displaystyle \frac{3(x - 3)}{3} - \frac{3(x - 2)}{3} = 3 \cdot 0$

$x - 3 - (x - 2) = 0$

$x - 3 - x + 2 = 0$

$-1 = 0$

Men $-1$ er aldri lik $0$, det spelar ingen rolle kva $x$ er her. Svaret blir altså ingen løysing.

$\displaystyle \frac{2x + 3}{5} = \frac{4x + 6}{10} \quad | \cdot 10$

$\displaystyle \frac{10(2x + 3)}{5} = \frac{10(4x + 6)}{10}$

$\displaystyle \frac{2 \cdot 5(2x + 3)}{5} = 4x + 6$

$4x + 6 = 4x + 6$

Uavhengig av kva $x$ er så vil venstresida og høgresida i dette uttrykket vere like kvarandre.

Her kan vi altså seie at løysinga er alle moglegaste verdiar av x. Andre måtar vi kan seie dette på er "alle reelle tal" eller berre alle $x \in \mathbb{R}$.

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} = -2 \quad | \cdot (2x + 4)$

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} \cdot (2x + 4) = -2 \cdot (2x + 4)$

$\displaystyle \frac{(x - 3)(2x + 4)}{(2x + 4)} = -2(2x + 4)$

$x - 3 = -4x - 8 \quad | + (4x + 3)$

$x + 4x - 3 + 3 = -4x + 4x - 8 + 3$

$5x = -5 \quad | \div 5$

$x = -1$