2.4
Fullstendig kvadrat

2.4 Fullstendig kvadrat

Alle fag for VG1

Løys andregradslikningar ved å fullføre kvadratet.

30 min
9 oppgaver
Fullstendig kvadratAndregradslikningar
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Bygger på
1.4Brøkregning

Fullføre kvadratet

Metoden fullstendig kvadrat (eller «fullføre kvadratet») er ein teknikk for å løyse andregradslikningar ved å omskrive uttrykket til ein perfekt kvadratform.

Denna metoden er spesielt nyttig når:
- Du vil forstå kor abc-formelen kjem frå
- Du skal finne toppunktet til ein parabel
- Faktorisering ikkje gir «pene» tal

📜Kvadratsetningane
1. kvadratsetning:
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

2. kvadratsetning:
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Det midtarste leddet er to gonger produktet av aa og bb:
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2\begin{aligned} (a + b)^2 &= (a + b)(a + b) \\ &= a^2 + ab + ab + b^2 \\ &= a^2 + 2ab + b^2 \end{aligned}

✏️Døme 1

Skriv x2+6x+9x^2 + 6x + 9 som eit kvadrat.

Løysing:

Vi samanliknar med (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:

- a2=x2⇒a=xa^2 = x^2 \Rightarrow a = x
- 2ab=6x⇒2⋅x⋅b=6x⇒b=32ab = 6x \Rightarrow 2 \cdot x \cdot b = 6x \Rightarrow b = 3
- b2=32=9b^2 = 3^2 = 9 ✓

Svar: x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

📝Oppgave 1

Skriv uttrykka som fullstendige kvadrater

a
x2+4x+4x^2 + 4x + 4
b
x2−10x+25x^2 - 10x + 25
c
x2+2x+1x^2 + 2x + 1
d
x2−8x+16x^2 - 8x + 16
Løs oppgaven

Metoden: Fullføre kvadratet

For å løyse x2+bx+c=0x^2 + bx + c = 0:

1. Flytt konstantleddet: x2+bx=−cx^2 + bx = -c
2. Legg til (b2)2\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2 på båe sider
3. Venstresida blir no (x+b2)2\displaystyle (x + \frac{b}{2})^2
4. Løys ved å ta kvadratrot

✏️Døme 2

Løys x2+6x−7=0x^2 + 6x - 7 = 0 ved å fullføre kvadratet.

Løysing:

x2+6x−7=0∣+7x^2 + 6x - 7 = 0 \quad | +7

x2+6x=7∣+(62)2x^2 + 6x = 7 \quad | +\left(\tfrac{6}{2}\right)^2

x2+6x+9=7+9x^2 + 6x + 9 = 7 + 9

(x+3)2=16(x + 3)^2 = 16

x+3=4ellerx+3=−4x + 3 = 4 \quad \text{eller} \quad x + 3 = -4

x=1ellerx=−7x = 1 \quad \text{eller} \quad x = -7

Svar: x=1x = 1 eller x=−7x = -7

📝Oppgave 2

Løys likningane ved å fullføre kvadratet

a
x2+4x−5=0x^2 + 4x - 5 = 0
b
x2−2x−8=0x^2 - 2x - 8 = 0
c
x2+8x+7=0x^2 + 8x + 7 = 0
d
x2−6x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0
Løs oppgaven
✏️Døme 3

Løys x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0 ved å fullføre kvadratet.

Løysing:

x2−4x=−1x^2 - 4x = -1

x2−4x+4=−1+4x^2 - 4x + 4 = -1 + 4

(x−2)2=3(x - 2)^2 = 3

x−2=±3x - 2 = \pm\sqrt{3}

x=2±3x = 2 \pm \sqrt{3}

Svar: x=2+3x = 2 + \sqrt{3} eller x=2−3x = 2 - \sqrt{3}

📝Oppgave 3

Løys likningane og gi eksakt svar

a
x2+2x−1=0x^2 + 2x - 1 = 0
b
x2−6x+4=0x^2 - 6x + 4 = 0
c
x2+4x−1=0x^2 + 4x - 1 = 0
d
x2−10x+20=0x^2 - 10x + 20 = 0
Løs oppgaven

Når koeffisienten framfor x2x^2 ikkje er 1

Viss likninga har forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 der a≠1a \neq 1:

1. Del heile likninga på aa
2. Fullend kvadratet som vanleg

✏️Døme 4

Løys 2x2+8x−10=02x^2 + 8x - 10 = 0 ved å fullføre kvadratet.

Løysing:

Del på 2:
x2+4x−5=0x^2 + 4x - 5 = 0

Flytt konstantleddet:
x2+4x=5x^2 + 4x = 5

Legg til (42)2=4\displaystyle \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4:
x2+4x+4=5+4x^2 + 4x + 4 = 5 + 4
(x+2)2=9(x + 2)^2 = 9

Ta kvadratrot:
x+2=±3x + 2 = \pm 3
x=−2+3=1x = -2 + 3 = 1 \quad eller x=−2−3=−5\quad x = -2 - 3 = -5

Svar: x=1x = 1 eller x=−5x = -5

📝Oppgave 4

Løys likningane ved å fullføre kvadratet

a
2x2−4x−6=02x^2 - 4x - 6 = 0
b
3x2+12x−15=03x^2 + 12x - 15 = 0
c
−x2+6x−5=0-x^2 + 6x - 5 = 0
d
4x2−8x−12=04x^2 - 8x - 12 = 0
Løs oppgaven
✏️Utleiing av abc-formelen
Vis at likninga ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, der a≠0a \neq 0 og b2−4ac≥0b^2 - 4ac \geq 0, har løysingane

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Løysing:

ax2+bx+c=0∣:aax^2 + bx + c = 0 \quad | :a

x2+bax+ca=0∣−ca\displaystyle x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \quad | -\frac{c}{a}

x2+bax=−ca∣+(b2a)2\displaystyle x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \quad | +\left(\frac{b}{2a}\right)^2

x2+bax+(b2a)2=b24a2−ca\displaystyle x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}

(x+b2a)2=b2−4ac4a2\displaystyle \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

x+b2a=±b2−4ac2a\displaystyle x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

x=−b±b2−4ac2a\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Svar: Dette er abc-formelen frå 2.3.

Oppsummering
Metoden fullstendig kvadrat:

1. Skriv likninga på forma x2+bx=−cx^2 + bx = -c
2. Legg til (b2)2\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2 på begge sider
3. Skriv venstre side som (x+b2)2\displaystyle (x + \frac{b}{2})^2
4. Ta kvadratrot og løys for xx

Husk: Viss a≠1a \neq 1, del på aa først.

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Fullenda kvadratet: x2+bxx^2 + bx blir eit fullstendig kvadrat når vi legg til (b2)2\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2
- Omskriving: x2+bx+c=(x+b2)2−(b2)2+c\displaystyle x^2 + bx + c = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c
- Likningsløysing: Når likninga står på forma (x+a)2=d(x + a)^2 = d, tek vi kvadratrot på begge sider: x+a=±dx + a = \pm\sqrt{d}
- Koeffisient framfor x2x^2: Set koeffisienten utanfor parentes (eller del likninga på ho) før du fullfører kvadratet

Nøkkelbegrep


OmgrepForklaring
Fullstendig kvadratEit uttrykk på forma (x+a)2(x + a)^2
Å fullføre kvadratetÅ leggje til og trekkje frå rett tal for å lage eit kvadrat
Toppunktforma(x−h)2+ka(x - h)^2 + k — nyttig for å finne topp-/bunnpunkt

Viktige formlar


- x2+bx=(x+b2)2−(b2)2\displaystyle x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2
- (x+a)2=d  ⇒  x=−a±d(x + a)^2 = d \;\Rightarrow\; x = -a \pm \sqrt{d}
Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.