2.2 Andregradslikningar - faktorisering | Matematikk 1T

Løys andregradslikningar ved faktorisering.

30 min

10 oppgaver

AndregradslikningarFaktoriseringNullpunktmetoden

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.5Faktorisering og kvadratsetningene

Brukes videre i

2.3ABC-formelen

Andregradslikningar ved faktorisering

Ein andregradslikning har forma $ax^2 + bx + c = 0$ .

I dette kapitlet lærer du å løyse slike likningar ved faktorisering - ein metode som ofte er raskare enn abc-formelen når uttrykkja let seg faktorisere pent.

📜Nullproduktregelen

Viss

A \cdot B = 0

, så er

A = 0

eller

B = 0

(eller begge).

Dette betyr at viss vi kan skrive ein andregradslikning på forma
$(x - r_1)(x - r_2) = 0$
so er løysingane $x = r_1$ eller $x = r_2$ .

✏️Døme 1

Løys likninga $(x - 3)(x + 2) = 0$

Løysing:

Likninga er allereie faktorisert. Vi bruker nullproduktregelen:

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x - 3 = 0 \quad$ eller $\quad x + 2 = 0$

$x = 3 \quad$ eller $\quad x = -2$

Svar: $x = 3$ eller $x = -2$

📝Oppgave 1

Løys likningane

(x - 5)(x + 1) = 0

(x + 4)(x - 7) = 0

x(x - 6) = 0

(2x - 1)(x + 3) = 0

Løs oppgaven

Faktorisering ved inspeksjon

Når $a = 1$ har vi $x^2 + bx + c = 0$ . Vi leiter etter to tal $r_1$ og $r_2$ slik at:
- $r_1 + r_2 = -b$ (summen er minus $b$ )
- $r_1 \cdot r_2 = c$ (produktet er $c$ )

Då kan vi skrive $x^2 + bx + c = (x - r_1)(x - r_2)$

✏️Døme 2

Løys likninga $x^2 - 5x + 6 = 0$ ved faktorisering.

Løysing:

Vi skal finne to tal med:
- Sum: $-(-5) = 5$
- Produkt: $6$

Tala $2$ og $3$ har sum $5$ og produkt $6$ .

Altså: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$

$x = 2 \quad$ eller $\quad x = 3$

Svar: $x = 2$ eller $x = 3$

✏️Døme 3

Løys likninga $x^2 + 2x - 15 = 0$ ved faktorisering.

Løysing:

Vi skal finne to tal med:
- Sum: $-2$
- Produkt: $-15$

Produktet er negativt, så tala har ulikt forteikn: $-5$ og $3$ .

$x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3) = 0$

$x = -5 \quad$ eller $\quad x = 3$

Svar: $x = -5$ eller $x = 3$

📝Oppgave 2

Faktoriser og løys likningane

x^2 + 7x + 12 = 0

x^2 - x - 12 = 0

x^2 - 9x + 20 = 0

x^2 + 2x - 15 = 0

Løs oppgaven

Konjugatsetningen

Nokon andregradsuttrykk kan faktoriserast med konjugatsetningen:

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Dette gjev oss ein rask metode for likningar på forma $x^2 = k$ .

✏️Døme 4

Løys likninga $x^2 - 16 = 0$

Løysing:

Vi bruker konjugatsetningen:

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4) = 0$

$x = -4 \quad$ eller $\quad x = 4$

Alternativt: $x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$

Svar: $x = \pm 4$

📝Oppgave 3

Løys likningane ved å bruke konjugatsetningen

x^2 - 25 = 0

x^2 - 49 = 0

4x^2 - 9 = 0

x^2 = 81

Løs oppgaven

Felles faktor

Viss alle ledd har ein felles faktor, set denne utanfor parentesen først.

✏️Døme 5

Løys likninga $2x^2 - 8x = 0$

Løysing:

Vi set $2x$ utanfor parentes:

$2x^2 - 8x = 2x(x - 4) = 0$

$2x = 0 \quad$ eller $\quad x - 4 = 0$

$x = 0 \quad$ eller $\quad x = 4$

Svar: $x = 0$ eller $x = 4$

📝Oppgave 4

Løys likningane ved å setje felles faktor utanfor

3x^2 - 12x = 0

x^2 + 5x = 0

-2x^2 + 10x = 0

5x^2 = 15x

Løs oppgaven

✏️Døme 6

Løys likninga $3x^2 - 12 = 0$

Løysing:

Vi set 3 utanfor parentes:

$3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x + 2)(x - 2) = 0$

Sidan $3 \neq 0$ , må $(x + 2)(x - 2) = 0$

$x = -2 \quad$ eller $\quad x = 2$

Svar: $x = \pm 2$

📝Oppgave 5

Løys likningane

2x^2 - 50 = 0

3x^2 + 6x - 24 = 0

2x^2 - 14x + 24 = 0

-x^2 + 4x + 5 = 0

Løs oppgaven

Oppsummering

A \cdot B = 0 \Rightarrow A = 0

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Nullproduktregelen: Viss $a \cdot b = 0$ , må $a = 0$ eller $b = 0$ . Dette er grunnlaget for å løyse likningar ved faktorisering
- Felles faktor: $x^2 - 5x = 0$ faktorizerast som $x(x - 5) = 0$ , som gir $x = 0$ eller $x = 5$
- Konjugatsetningen: $x^2 - a^2 = (x + a)(x - a)$ , så $x^2 - 25 = 0$ gir $x = \pm 5$
- Faktorisering ved inspeksjon: Finn to tal med riktig sum og produkt: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Nullproduktregelen	Eit produkt er null berre viss minst éin faktor er null
Faktorisering	Å skrive eit uttrykk som eit produkt
Inspeksjon	Å finne faktorane ved å lete etter sum og produkt

Viktige formlar

a \cdot b = 0 \;\Leftrightarrow\; a = 0 \text{ eller } b = 0

x^2 - a^2 = (x + a)(x - a)

x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1 r_2 = (x - r_1)(x - r_2)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.