1.3 Algebra | Matematikk 1T

Lær om bokstavrekning, parentesrekning og multiplikasjon av parentesar.

60 min

15 oppgaver

BokstavrekningParentesrekningDistributiv lovMultiplikasjon av parentesar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Potenser med heltallseksponenter

Brukes videre i

1.4Brøkregning 2.5Rasjonale likninger

Bokstavrekning

I algebra brukar vi bokstavar som representerer tal. Når vi reknar med bokstavar, kan vi berre leggja saman eller trekkja frå like ledd - det vil seia ledd som inneheld dei same bokstavane med dei same eksponentane.

✏️Døme 1

Rekn ut:

a) $3a + 5a + a$
b) $3a + 7a - 5b$
c) $2x^2 - 5x + 3x + 4x^2 + 2$

Løysing:

a) $3a + 5a + a = {\color{blue}8a + 1a} = 9a$

b) $3a + 7a - 5b = 10a - 5b$

c) $2x^2 - 5x + 3x + 4x^2 + 2 = {\color{blue}2x^2 + 4x^2 - 5x + 3x + 2} = 6x^2 - 2x + 2$

📝Oppgave 1

Rekn ut

5x + 2x + x

7x + 8x - 2y

27x + 9y - 12x

9x^2 + 7x^2 + 3x

5x^2 + 7x + 9 - 2x^2

9x^3 + 8x - 2x^3 + 5

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 2

Rekn ut:

a) $2xy + 3yx$
b) $2xy + 5yx + 3xz$
c) $3x^2y + 5xy^2 - 4yx^2$

Løysing:

a) $2xy + 3{\color{blue}yx} = 2xy + 3{\color{blue}xy} = 5xy$

b) $2xy + 5{\color{blue}yx} + 3xz = 2xy + 5{\color{blue}xy} + 3xz = 7xy + 3xz$

c) $3x^2y + 5xy^2 - 4{\color{blue}yx^2} = 3x^2y - 4{\color{blue}x^2y} + 5xy^2 = -x^2y + 5xy^2$

NB: Alfabetisk rekkjefølgje

Vi set faktorane i alfabetisk rekkjefølgje:

$yx = y \cdot x = x \cdot y = xy$

📝Oppgave 2

Rekn ut

3xz + 7zx

7xy + 8xy - 2y^2

2xz^2 + 9xz^2 - 12xz

Ab - 7Ab + 3bA

x^2y + 7x - 2x^2y

x^2 + y^2 - 2xy^2 + 3x^2

Løs oppgaven Tren

Parentesrekning

Når vi multipliserer med parentesar, bruker vi distributiv lov.

📜Multiplikasjon med parentesar

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

$a \cdot (b + c + d) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d$

✏️Døme 3

Rekn ut:

a) $2(x + 4)$
b) $-3(2x - 2)$
c) $x(x^2 - 3y + 2)$

Løysing:

a) $2(x + 4) = {\color{blue}2 \cdot (x + 4) = 2 \cdot x + 2 \cdot 4} = 2x + 8$

b) $-3(2x - 2) = {\color{blue}-3 \cdot 2x - (-3) \cdot 2 = -6x - (-6)} = -6x + 6$

c) $x(x^2 - 3y + 2) = {\color{blue}x \cdot x^2 - x \cdot 3y + x \cdot 2} = x^3 - 3xy + 2x$

Potensregelen:

$x \cdot x^2 = x^1 \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$

Generelt: $x^n \cdot x^m = x^{n+m}$

📝Oppgave 3

Rekn ut

2(x - 3)

-4(-y + 3)

x(x - 3) + x

-2(x^2 - 3x + 2) - x^2

-2 - 3(x^2 - 3) - 2x

-y(2y^3 + x)

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 4

Rekn ut:

a) $2a + (2a - 3b)$
b) $3a - (5b - 4a)$
c) $-(-3x + 2) + 8x$

Løysing:

a) $2a + (2a - 3b) = 2a + 2a - 3b = 4a - 3b$

b) $3a - {\color{blue}1}(5b - 4a) = 3a - 5b + 4a = 7a - 5b$

c) $\color{blue}{-1}(-3x + 2) + 8x = 3x - 2 + 8x = 11x - 2$

📝Oppgave 4

Rekn ut

2x + (5x - 2)

4y - (2y + 3)

-(2x - 3) + 2x

(2x^2 + 3) - (4x^2 + 5)

-10 + (x^2 - 3) - 2

-xy - (-3xy + 1)

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 5

Rekn ut:

a) $xy(x^2 + y + 2)$
b) $a^2b(a^2 - 2b)$

Løysing:

a) $xy(x^2 + y + 2) = {\color{blue}xy \cdot x^2 + xy \cdot y + xy \cdot 2} = x^3y + xy^2 + 2xy$

b) $a^2b(a^2 - 2b) = {\color{blue}a^2b \cdot a^2 - a^2b \cdot 2b} = a^4b - 2a^2b^2$

📝Oppgave 5

Rekn ut

2x(x - y)

-x(-y + 3)

xy(x - 2)

-a(b^2 - a + 4) - a^2

-3y(x^2 - 3x) - 2yx

-u(v^3 + u)

Løs oppgaven Tren

Multiplikasjon av parentesar

Når vi multipliserer to parentesar, må kvart ledd i den første parentesen multipliserast med kvart ledd i den andre.

📜Multiplikasjon av to parentesar

(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d

✏️Døme 6

Rekn ut:

a) $(x + 2)(x + 3)$
b) $-2(x + 3)(x - 5)$
c) $(2x - 3)(3y - 5)$
d) $(2x + y)(3x - 2y)$

Løysing:

a) $({\color{red}x} + 2)({\color{green}x} + 3) = {\color{red}x} \cdot {\color{green}x} + {\color{red}x} \cdot 3 + 2 \cdot {\color{green}x} + 2 \cdot 3 = x^2 + 3x + 2x + 6$
$= x^2 + 5x + 6$

b) $-2(x + 3)(x - 5) = {\color{blue}-2(x \cdot x + x \cdot (-5) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-5))}$
$= -2(x^2 - 5x + 3x - 15) = -2(x^2 - 2x - 15)$
$= -2x^2 + 4x + 30$

c) $(2x - 3)(3y - 5) = {\color{blue}2x \cdot 3y + 2x \cdot (-5) - 3 \cdot 3y - 3 \cdot (-5)}$
$= 6xy - 10x - 9y + 15$

d) $(2x + y)(3x - 2y) = {\color{blue}2x \cdot 3x + 2x \cdot (-2y) + y \cdot 3x + y \cdot (-2y)}$
$= 6x^2 - 4xy + 3xy - 2y^2 = 6x^2 - xy - 2y^2$

📝Oppgave 6

Rekn ut

(x + 3)(x + 4)

(x + 3)(x - 2)

(2x + 4)(x - y)

-2(2x - 2)(x - 5)

-(x + y)(x - 3)

3(2x + 3y)(2y + x)

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 7

Rekn ut:

a) $x^2 - (x + 2)(x + 4)$
b) $x(x + 3)(x - 5)$
c) $(x - 2)(x - 3)(2x - 5)$

Løysing:

a) $x^2 - (x + 2)(x + 4) = x^2 - (x^2 + 4x + 2x + 8)$
$= x^2 - x^2 - 4x - 2x - 8 = -6x - 8$

b) $x(x + 3)(x - 5) = (x^2 + 3x)(x - 5) = x^3 - 5x^2 + 3x^2 - 15x$
$= x^3 - 2x^2 - 15x$

c) $(x - 2)(x - 3)(2x - 5) = (x - 2)(2x^2 - 5x - 6x + 15)$
$= (x - 2)(2x^2 - 11x + 15) = 2x^3 - 11x^2 + 15x - 4x^2 + 22x - 30$
$= 2x^3 - 15x^2 + 37x - 30$

📝Oppgave 7

Rekn ut

x(x + 3)(x + 4)

x^2 - (x + 4)(x - 1)

(x + 4)(x - 2)(x - 5)

(x + 3)(x - 2)(-5)

-x^3 - (x + 5)(x - 3)x

x^3 - 2x - (x - 2)(x + 3)(2 + x)

Løs oppgaven Tren

Talfølgjer og figurtal

Ei talfølgje er tal som står i ei bestemt rekkjefølgje, til dømes $4, 7, 10, 13, \ldots$ Tala blir kalla ledd. Ledd nummer $n$ skriv vi $a_n$ , så $a_1 = 4$ og $a_3 = 10$ .

Mange talfølgjer kjem frå figurmønster: figur nummer $n$ består av $a_n$ prikkar, fliser eller fyrstikker. Talet på prikkar i ein slik figur blir kalla eit figurtal.

Vi vil finne ein eksplisitt formel: eit uttrykk for $a_n$ som gir talet i figur $n$ direkte, utan at vi må rekne ut alle figurane før. Vi set opp dei første figurane i ein tabell og ser på kor mykje talet aukar frå ein figur til den neste.

Lineære mønster

Aukar talet med det same talet $d$ frå kvar figur til den neste, er mønsteret lineært. Figur $n$ har det figur 1 har, pluss $d$ for kvar av dei $n - 1$ aukingane:

$a_n = a_1 + d(n - 1) = d \cdot n + (a_1 - d)$

📜Lineært mønster

Aukar talet med

d

frå figur til figur, er

$a_n = d \cdot n + b \qquad \text{der } b = a_1 - d$

✏️Døme 8

Figurane er laga av fyrstikker. Figur 1 er eitt kvadrat, figur 2 er to kvadrat på rad, figur 3 er tre kvadrat på rad, og slik held mønsteret fram.

Tre figurar av fyrstikker: eitt, to og tre kvadrat på rad.

a) Lag ein tabell over talet på fyrstikker i figur 1–5.
b) Finn ein formel for talet på fyrstikker $a_n$ i figur $n$ .
c) Kor mange fyrstikker har figur 20?
d) Kva figur består av 100 fyrstikker?

Løysing:

$n$	1	2	3	4	5
$a_n$	4	7	10	13	16

b) Talet aukar med 3 kvar gong:

d = 3

b = a_1 - d = 4 - 3 = 1

$a_n = 3n + 1$

Kontroll: $a_3 = 3 \cdot 3 + 1 = 10$ , som i tabellen.
Svar: $a_n = 3n + 1$

$a_{20} = 3 \cdot 20 + 1 = 61$

Svar: Figur 20 har 61 fyrstikker.
d)

$3n + 1 = 100$

$3n = 99$
$n = 33$
Svar: Figur 33 består av 100 fyrstikker.

📝Oppgave 8

Talfølgjene er lineære. Finn ein formel for $a_n$ og rekn ut $a_{10}$ .

5, 9, 13, 17, \ldots

7, 10, 13, 16, \ldots

20, 17, 14, 11, \ldots

2, 7, 12, 17, \ldots

Kva nummer har leddet 97?

Løs oppgaven Tren

Kvadrattal, rektangeltal og trekanttal

Kvadrattal: Figur $n$ er eit kvadrat med $n$ prikkar langs kvar side. Det gir $1, 4, 9, 16, \ldots$

$a_n = n \cdot n = n^2$

Rektangeltal: Figur $n$ er eit rektangel med $n$ rader og $n + 1$ prikkar i kvar rad. Det gir $2, 6, 12, 20, \ldots$

$a_n = n(n + 1)$

Trekanttal: Figur $n$ har 1 prikk i øvste rad, 2 i neste rad og $n$ i nedste rad. Det gir $1, 3, 6, 10, \ldots$ , og talet er $1 + 2 + 3 + \ldots + n$ .

To like trekantar kan leggjast saman til eit rektangel med $n$ rader og $n + 1$ prikkar i kvar rad. Trekanten er derfor halve rektangeltalet:

$a_n = \frac{n(n + 1)}{2}$

✏️Døme 9

Trekanttala er $1, 3, 6, 10, \ldots$

a) Kor mange prikkar har figur 10?
b) Kva figur har 120 prikkar?

Løysing:

a)
$a_{10} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$

Svar: Figur 10 har 55 prikkar.

b)
$\frac{n(n + 1)}{2} = 120$
$n(n + 1) = 240$
$15 \cdot 16 = 240$
$n = 15$

Alternativ med CAS: Løys(n(n+1)/2=120) gir $n = -16$ eller $n = 15$ . Figurnummeret er positivt.

Svar: Figur 15 har 120 prikkar.

📝Oppgave 9

Figurtal

Kor mange prikkar har kvadrattal nummer 12?

Kor mange prikkar har trekanttal nummer 20?

Kva figur i rektangeltala har 110 prikkar?

Kva figur i trekanttala har 78 prikkar?

Løs oppgaven Tren

Når aukinga ikkje er konstant

Ofte aukar aukinga med 2 for kvar figur, til dømes er aukingane $5, 7, 9, 11, \ldots$ Då inneheld formelen leddet $n^2$ , fordi kvadrattala $1, 4, 9, 16, \ldots$ veks på same måte: aukingane er $3, 5, 7, \ldots$

Vi trekkjer $n^2$ frå kvart ledd. Det som blir att, er eit enklare mønster (konstant eller lineært), og det finn vi som før.

Aukar aukinga med $4$ for kvar figur, trekkjer vi frå $2n^2$ . Aukar ho med $6$ , trekkjer vi frå $3n^2$ . Generelt: aukar aukinga med $2a$ , trekkjer vi frå $a \cdot n^2$ .

✏️Døme 10

Eit flismønster består av rektangel. Dei fem første figurane har $3, 8, 15, 24$ og $35$ fliser.

Tre rektangel av fliser med 3, 8 og 15 fliser.

a) Finn ein formel for talet på fliser $a_n$ i figur $n$ .
b) Kor mange fliser har figur 10?
c) Kva figur har 168 fliser?

Løysing:

a) Aukingane er $5, 7, 9, 11$ . Dei aukar med 2, så formelen har leddet $n^2$ .

$n$	1	2	3	4	5
$a_n$	3	8	15	24	35
$n^2$	1	4	9	16	25
$a_n - n^2$	2	4	6	8	10

a_n - n^2 = 2n

a_n = n^2 + 2n = n(n + 2)

Kontroll:

a_4 = 4 \cdot 6 = 24

, som i tabellen.
Svar:

a_n = n^2 + 2n

$a_{10} = 10 \cdot 12 = 120$

Svar: Figur 10 har 120 fliser.

$n(n + 2) = 168$
$12 \cdot 14 = 168$

$n = 12$

Alternativ med CAS: Løys(n^2+2n=168) gir $n = -14$ eller $n = 12$ .
Svar: Figur 12 har 168 fliser.

📝Oppgave 10

Finn ein formel for $a_n$ og rekn ut $a_{10}$ .

5, 8, 13, 20, 29, \ldots

0, 3, 8, 15, 24, \ldots

4, 9, 16, 25, 36, \ldots

3, 5, 9, 15, 23, \ldots

Løs oppgaven Tren

Summen av mange figurar

Skal vi vite kor mange fyrstikker, klossar eller kuler som trengst til alle dei første figurane til saman, legg vi saman figurtala. Det gjer vi med ein tabell, i eit rekneark (kolonne for $n$ , kolonne for $a_n$ , SUMMER) eller med eit program.

✏️Døme 11

Vi bruker fyrstikkmønsteret frå døme 8, der figur $n$ har $3n + 1$ fyrstikker.

a) Kor mange fyrstikker trengst til dei 10 første figurane til saman?
b) Vi har 1200 fyrstikker og lagar figur 1, figur 2, figur 3 og så vidare, heilt til det ikkje er nok fyrstikker til neste figur. Kor mange figurar blir det, og kor mange fyrstikker blir att?

Løysing:

totalt = 0
for n in range(1, 11):
    totalt = totalt + 3*n + 1
print(totalt)

Utskrift: 175

Alternativ utan program: $4 + 7 + 10 + \ldots + 31$ . Første og siste ledd er $4 + 31 = 35$ , og det er 5 slike par: $5 \cdot 35 = 175$ .

Svar: Dei 10 første figurane treng 175 fyrstikker.

igjen = 1200
n = 1
while igjen >= 3*n + 1:
    igjen = igjen - (3*n + 1)
    n = n + 1
print(n - 1, igjen)

Utskrift: 27 39

Svar: Det blir 27 figurar, og 39 fyrstikker blir att.

📝Oppgave 11

I eit mønster har figur $n$ til saman $2n + 1$ kuler.

Kor mange kuler trengst til dei 30 første figurane til saman?

Vi har 500 kuler og lagar figur 1, 2, 3 og så vidare så lenge kulene rekk. Kor mange figurar blir det, og kor mange kuler blir att?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Eit kvadrat med $n \cdot n$ prikkar kan delast i vinklar (L-former) med $1, 3, 5, \ldots$ prikkar.

Eit kvadrat på 5 gonger 5 prikkar delt i vinklar med 1, 3, 5, 7 og 9 prikkar.

Rekn ut $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ .

Forklar med figuren at summen av dei $n$ første oddetala er $n^2$ .

Rekn ut $1 + 3 + 5 + \ldots + 99$ .

Løs oppgaven Tren

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

- Like ledd: Berre ledd med same bokstav(ar) og same eksponent kan leggjast saman: $3x + 5x = 8x$ , men $3x + 5y$ kan ikkje forenklast
- Alfabetisk rekkjefølgje: Vi skriv faktorane alfabetisk: $yx = xy$ og $ba = ab$
- Distributiv lov: $a(b + c) = ab + ac$ - vi gangar faktoren utanfor parentesen med kvart ledd inne i parentesen
- Minus framfor parentes: $-(a - b) = -a + b$ - alle forteikn inne i parentesen blir endra
- Multiplikasjon av to parentesar: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ - kvart ledd i første parentes blir multiplisert med kvart ledd i andre parentes
- Potensregel: $x^n \cdot x^m = x^{n+m}$
- Talfølgjer og figurtal: Lag tabell og sjå på aukinga. Konstant auking $d$ gir $a_n = d \cdot n + b$ med $b = a_1 - d$
- Kjende figurtal: kvadrattal $n^2$ , rektangeltal $n(n + 1)$ , trekanttal $\displaystyle \frac{n(n + 1)}{2}$
- Auking som aukar med 2: formelen har leddet $n^2$ ; trekk frå $n^2$ og finn resten

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.