1.2
Potensar med heiltalseksponentar

1.2 Potensar med heiltalseksponentar

Alle fag for VG1

Lær om potensar, potensreglar og reknereglar for heiltalseksponentar.

25 min
20 oppgaver
PotensarHeiltalseksponentarPotensreglar
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 20 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Nokre gonger ønskjer vi å beskrive at eit tal gangast med seg sjølv fleire gonger på ein enklare måte. I staden for å skrive 2⋅2⋅2⋅22 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 så kan vi skrive 242^4 og i staden for a⋅a⋅aa \cdot a \cdot a kan vi skrive a3a^3.

Potens
Når vi skriv xnx^n, betyr det at vi gangar xx med seg sjølv nn gonger:

xn=x⋅x⋅x⋅…⋅x(n faktorar)x^n = x \cdot x \cdot x \cdot \ldots \cdot x \quad (n \text{ faktorar})

Vi kallar xx for grunntalet og nn for eksponenten.

For døme: 23=2⋅2⋅2=82^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 (grunntalet 2, eksponent 3) og a5=a⋅a⋅a⋅a⋅aa^5 = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a.

✏️Døme 1

Rekn ut:

a) 242^4
b) 4⋅324 \cdot 3^2

Løysing:

a) 24=2⋅2⋅2⋅2=162^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

b) 4⋅32=4⋅3⋅3=4⋅9=364 \cdot 3^2 = 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 9 = 36

📝Oppgave 1

Rekn ut

a
232^3
b
929^2
c
22⋅522^2 \cdot 5^2
d
33⋅23^3 \cdot 2
e
72⋅227^2 \cdot 2^2
f
13⋅23⋅321^3 \cdot 2^3 \cdot 3^2
Løs oppgavenTren
Vi skal her lære oss å rekne med potenser. Vi kan observere at:
x2⋅x3=(x⋅x)⋅(x⋅x⋅x)=x5x^2 \cdot x^3 = (x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x) = x^5

Generelt kan vi utleie regelen:
xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b}

📜Potensregel: Multiplikasjon
xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b}
✏️Døme 2

Rekn ut og skriv svaret som potens:

a) 34⋅353^4 \cdot 3^5
b) 2a⋅2a42a \cdot 2a^4
c) a3⋅b2⋅a5⋅b3a^3 \cdot b^2 \cdot a^5 \cdot b^3

Løysing:

a) 34⋅35=34+5=393^4 \cdot 3^5 = 3^{4+5} = 3^9

b) 2a⋅2a4=2⋅2⋅a1⋅a4=22a1+4=22a52a \cdot 2a^4 = \color{blue}{2 \cdot 2 \cdot a^1 \cdot a^4} = 2^2 a^{1+4} = 2^2 a^5

c) a3⋅b2⋅a5⋅b3=a3⋅a5⋅b2⋅b3=a3+5⋅b2+3=a8b5a^3 \cdot b^2 \cdot a^5 \cdot b^3 = a^3 \cdot a^5 \cdot b^2 \cdot b^3 = a^{3+5} \cdot b^{2+3} = a^8 b^5

📝Oppgave 2

Rekn ut og skriv svaret som potens

a
x2⋅x3x^2 \cdot x^3
b
25⋅2102^5 \cdot 2^{10}
c
a3⋅a5⋅b2a^3 \cdot a^5 \cdot b^2
d
x3y2⋅x2⋅y6x^3 y^2 \cdot x^2 \cdot y^6
e
3x2⋅4x3x^2 \cdot 4x
f
9x3y3⋅x29x^3 y^3 \cdot x^2
Løs oppgavenTren
Når vi arbeider med potensar i brøkar so er det viktig å huske på at vi kan gange og dele med same tal over og under brøkstreken. Det er også viktig å huske at vi derfor kan stryke like faktorar over og under brøkstreken imot kvarandre.

Vi har for døme at:
4542=4⋅4⋅4⋅4⋅44⋅4=45−2=43\frac{4^5}{4^2} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \color{red}{4 \cdot 4}}{\color{red}{4 \cdot 4}} = 4^{5-2} = 4^3

📜Potensregel: Divisjon
xaxb=xa−b\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}
✏️Døme 3

Rekn ut og skriv svaret som ein potens:

a) 9592\displaystyle \frac{9^5}{9^2}

b) x4y3x2y2\displaystyle \frac{x^4 y^3}{x^2 y^2}

Løysing:

a) Alternativ 1:
9592=95−2=93\frac{9^5}{9^2} = 9^{5-2} = 9^3

Alternativ 2: (Vi faktoriserer og stryker likt imot likt)
9592=93⋅9292=93\frac{9^5}{9^2} = \frac{9^3 \cdot \color{red}{9^2}}{\color{red}{9^2}} = 9^3

b) Alternativ 1:
x4y3x2y2=x4x2⋅y3y2=x4−2⋅y3−2=x2y\frac{x^4 y^3}{x^2 y^2} = \color{blue}{\frac{x^4}{x^2} \cdot \frac{y^3}{y^2}} = x^{4-2} \cdot y^{3-2} = x^2 y

Alternativ 2: (Vi faktoriserer og stryker likt imot likt)
x4y3x2y2=x2⋅x2⋅y2⋅yx2⋅y2=x2y\frac{x^4 y^3}{x^2 y^2} = \frac{\color{red}{x^2} \cdot x^2 \cdot \color{red}{y^2} \cdot y}{\color{red}{x^2} \cdot \color{red}{y^2}} = x^2 y

📝Oppgave 3

Rekn ut og forenkle

a
7473\displaystyle \frac{7^4}{7^3}
b
a7a2\displaystyle \frac{a^7}{a^2}
c
a3b4ab2\displaystyle \frac{a^3 b^4}{ab^2}
d
24⋅5723⋅54\displaystyle \frac{2^4 \cdot 5^7}{2^3 \cdot 5^4}
e
x4y2⋅24⋅x222x3\displaystyle \frac{x^4 y^2 \cdot 2^4 \cdot x^2}{2^2 x^3}
f
54⋅23x322x2\displaystyle \frac{5^4 \cdot 2^3 x^3}{2^2 x^2}
Løs oppgavenTren
Negative eksponentar
x−1=1xx^{-1} = \frac{1}{x}

x−n=1xnx^{-n} = \frac{1}{x^n}

✏️Døme 4

Skriv utan negativ eksponent og rekn ut:

a) 2a−12a^{-1}
b) 3−1x−23^{-1}x^{-2}
c) 3y⋅2−3⋅x−33y \cdot 2^{-3} \cdot x^{-3}

Løysing:

a) 2a−1=2⋅1a=21⋅1a=2a\displaystyle 2a^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{a} = \color{blue}{\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{a}} = \frac{2}{a}

b) 3−1x−2=13⋅1x2=13x2\displaystyle 3^{-1}x^{-2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{3x^2}

c) 3y⋅2−3⋅x−3=3y⋅123⋅1x3=3y1⋅123x3=3y8x3\displaystyle 3y \cdot 2^{-3} \cdot x^{-3} = 3y \cdot \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{x^3} = \color{blue}{\frac{3y}{1} \cdot \frac{1}{2^3 x^3}} = \frac{3y}{8x^3}

📝Oppgave 4

Gjør om uttrykket slik at det ikkje lenger har ein negativ eksponent og rekn ut.

a
3x−13x^{-1}
b
4a−24a^{-2}
c
2−2x−32^{-2} x^{-3}
d
a3a−5a^3 a^{-5}
e
8x−3⋅2−2x58x^{-3} \cdot 2^{-2} x^5
f
3x3⋅x−5⋅2x4\displaystyle 3x^3 \cdot x^{-5} \cdot \frac{2}{x^4}
Løs oppgavenTren

Når vi har ein negativ eksponent i ein brøk så kan faktoren som er opphøgd i noko negativt flyttast til den andre sida av brøkstreken (frå teljar til nemnar eller frå nemnar til teljar) og bli opphøgd i det same talet med positivt forteikn.

📜Negative eksponentar i brøkar
a−nb−m=bman\frac{a^{-n}}{b^{-m}} = \frac{b^m}{a^n}
✏️Døme 5

Flytt på potensuttrykka slik at vi får positiv eksponent og rekn ut:

a) 2−53−2\displaystyle \frac{2^{-5}}{3^{-2}}

b) 2x−2y3x2y−1\displaystyle \frac{2x^{-2}y^3}{x^2 y^{-1}}

Løysing:

a) 2−53−2=3225=932\displaystyle \frac{\color{red}{2^{-5}}}{\color{red}{3^{-2}}} = \frac{\color{red}{3^2}}{\color{red}{2^5}} = \frac{9}{32}

b) 2x−2y3x2y−1=2y1⋅y3x2⋅x2=2y4x4\displaystyle \frac{2\color{red}{x^{-2}}y^3}{x^2 \color{red}{y^{-1}}} = \frac{2\color{red}{y^1} \cdot y^3}{x^2 \cdot \color{red}{x^2}} = \frac{2y^4}{x^4}

📝Oppgave 5

Rekn ut og skriv svaret utan negative eksponentar

a
2−23−1\displaystyle \frac{2^{-2}}{3^{-1}}
b
a−32−3\displaystyle \frac{a^{-3}}{2^{-3}}
c
7x−5x2\displaystyle \frac{7x^{-5}}{x^2}
d
2x−1y2x4y−4\displaystyle \frac{2x^{-1} y^2}{x^4 y^{-4}}
e
2−2y63−2y−4\displaystyle \frac{2^{-2} y^6}{3^{-2} y^{-4}}
f
4x−32x−4\displaystyle \frac{4x^{-3}}{2x^{-4}}
Løs oppgavenTren
📜Potens av produkt
(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
✏️Døme 6

Rekn ut:

a) (xy)4(xy)^4
b) (2x)5(2x)^5

Løysing:

a) (xy)4=(x⋅y)4=x4⋅y4=x4y4(xy)^4 = (x \cdot y)^4 = x^4 \cdot y^4 = x^4 y^4

b) (2x)5=(2⋅x)5=25⋅x5=32⋅x5=32x5(2x)^5 = (2 \cdot x)^5 = 2^5 \cdot x^5 = 32 \cdot x^5 = 32x^5

📝Oppgave 6

Rekn ut

a
(3x)2(3x)^2
b
(ab)2(ab)^2
c
3a4⋅(2a)33a^4 \cdot (2a)^3
Løs oppgavenTren
📜Potens av brøk
(ab)n=anbn\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
✏️Døme 7

Rekn ut:

a) (xy)4\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4

b) (23x)2\displaystyle \left(\frac{2}{3x}\right)^2

Løysing:

a) (xy)4=x4y4\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4 = \frac{x^4}{y^4}

b) (23x)2=22(3x)2=432x2=49x2\displaystyle \left(\frac{2}{3x}\right)^2 = \frac{2^2}{(3x)^2} = \frac{4}{3^2 x^2} = \frac{4}{9x^2}

📝Oppgave 7

Rekn ut og skriv svaret som potens

a
(ab)8\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^8
b
(2a3)2\displaystyle \left(\frac{2a}{3}\right)^2
c
(x5y)2\displaystyle \left(\frac{x}{5y}\right)^2
d
(xy)4⋅(2xy2)\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4 \cdot \left(\frac{2x}{y^2}\right)
e
(a3)4⋅33a\displaystyle \left(\frac{a}{3}\right)^4 \cdot 3^3 a
f
(a2b)2⋅3a−2b−2\displaystyle \left(\frac{a}{2b}\right)^2 \cdot 3a^{-2} b^{-2}
Løs oppgavenTren
📜Potens av potens
(xa)b=xa⋅b(x^a)^b = x^{a \cdot b}
✏️Døme 8

Rekn ut:

a) (x4)3(x^4)^3
b) (2a3)4(2a^3)^4
c) (y2x)3\displaystyle \left(\frac{y^2}{x}\right)^3

Løysing:

a) (x4)3=x4⋅3=x12(x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}

b) (2a3)4=24⋅(a3)4=16a3⋅4=16a12(2a^3)^4 = 2^4 \cdot (a^3)^4 = 16a^{3 \cdot 4} = 16a^{12}

c) (y2x)3=(y2)3x3=y2⋅3x3=y6x3\displaystyle \left(\frac{y^2}{x}\right)^3 = \frac{(y^2)^3}{x^3} = \frac{y^{2 \cdot 3}}{x^3} = \frac{y^6}{x^3}

📝Oppgave 8

Rekn ut

a
(x2)3(x^2)^3
b
(5a2)2(5a^2)^2
c
(a43)3\displaystyle \left(\frac{a^4}{3}\right)^3
d
(ab2)3(ab^2)^3
e
(2x3y2)3\displaystyle \left(\frac{2x^3}{y^2}\right)^3
f
x3⋅(x2y2)3\displaystyle x^3 \cdot \left(\frac{x^2}{y^2}\right)^3
g
(a−3b−2)4\displaystyle \left(\frac{a^{-3}}{b^{-2}}\right)^4
h
(2−1aa−2b2)2⋅(a2)−3\displaystyle \left(\frac{2^{-1}a}{a^{-2}b^2}\right)^2 \cdot (a^2)^{-3}
i
y3(4−2xx−2y2⋅2−3)3\displaystyle y^3 \left(\frac{4^{-2}x}{x^{-2}y^2 \cdot 2^{-3}}\right)^3
Løs oppgavenTren
🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig
Når vi har 0 som eksponent
a0=1, gitt at a≠0a^0 = 1, \text{ gitt at } a \neq 0

det vil seie at alle tal (med unntak av 0) opphøgd i 0 blir 1.

✏️Døme 9

Rekn ut:

a) 303^0
b) (−9000)0(-9000)^0
c) 2x02x^0 der x≠0x \neq 0

Løysing:

a) 30=13^0 = 1

b) (−9000)0=1(-9000)^0 = 1

c) 2x0=2⋅x0=2⋅1=22x^0 = 2 \cdot x^0 = 2 \cdot 1 = 2

📝Oppgave 9

Rekn ut

a
909^0
b
x5x5\displaystyle \frac{x^5}{x^5}
c
3a03a^0 der a≠0a \neq 0
d
(−3x)0(-3x)^0 der x≠0x \neq 0
e
x−3⋅x2⋅2xx^{-3} \cdot x^2 \cdot 2x
f
x2x−2⋅y2x−4\displaystyle \frac{x^2}{x^{-2}} \cdot y^2 x^{-4}
Løs oppgavenTren
✏️Døme 10

Rekn ut:

a) 3592\displaystyle \frac{3^5}{9^2}

b) 16⋅362124\displaystyle \frac{16 \cdot 36^2}{12^4}

Løysing:

a) 3592=35(32)2=3⋅3434=3\displaystyle \frac{3^5}{9^2} = \frac{3^5}{\color{blue}{(3^2)^2}} = \frac{3 \cdot \color{red}{3^4}}{\color{red}{3^4}} = 3

b) 16⋅362124=24⋅(62)2(2⋅6)4=24⋅64⋅124⋅64⋅1=1\displaystyle \frac{16 \cdot 36^2}{12^4} = \frac{\color{blue}{2^4 \cdot (6^2)^2}}{\color{blue}{(2 \cdot 6)^4}} = \frac{\color{red}{2^4 \cdot 6^4} \cdot 1}{\color{red}{2^4 \cdot 6^4} \cdot 1} = 1

📝Oppgave 10

Rekn ut

a
2582\displaystyle \frac{2^5}{8^2}
b
55253\displaystyle \frac{5^5}{25^3}
c
(3x)23⋅27x\displaystyle \frac{(3x)^2}{3 \cdot 27x}
d
49⋅16142\displaystyle \frac{49 \cdot 16}{14^2}
e
142⋅6223⋅42\displaystyle \frac{14^2 \cdot 6^2}{2^3 \cdot 42}
f
92⋅(2y)3362y−2\displaystyle \frac{9^2 \cdot (2y)^3}{36^2 y^{-2}}
Løs oppgavenTren
🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Røter som potensar

Kvadratrota a\sqrt{a} (for a≥0a \geq 0) er det talet som ikkje er negativt, og som gonga med seg sjølv gir aa. Vi vil skrive a\sqrt{a} som ein potens axa^x, og potensregelen (ax)2=a2x(a^x)^2 = a^{2x} skal framleis gjelde.

Skal axa^x vere kvadratrota, må (ax)2=a=a1(a^x)^2 = a = a^1. Då er 2x=12x = 1, altså x=12\displaystyle x = \frac{1}{2}:

(a12)2=a12⋅2=a1=a\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a

Tredjerota a3\sqrt[3]{a} er talet som opphøgd i tredje gir aa. På same måte er (a13)3=a1=a\displaystyle \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 = a^1 = a, så a3=a13\displaystyle \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}.

Ein brøk som eksponent kan delast opp med regelen for potens av potens:

amn=(a1n)m=(an)ma^{\frac{m}{n}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

📜Røter som potensar
For a>0a > 0 er

a=a12an=a1namn=(an)m\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \qquad \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \qquad a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Alle potensreglane gjeld også for brøkeksponentar.

✏️Døme 11

Rekn ut:

a) 2713\displaystyle 27^{\frac{1}{3}}

b) 823\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}

c) 16−12\displaystyle 16^{-\frac{1}{2}}

d) 932\displaystyle 9^{\frac{3}{2}}

Løysing:

a) 2713=273=3\displaystyle 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3

b) 823=(83)2=22=4\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4

c) 16−12=11612=116=14\displaystyle 16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}

d) 932=(9)3=33=27\displaystyle 9^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{9}\right)^3 = 3^3 = 27

Svar: a) 33, b) 44, c) 14\displaystyle \frac{1}{4}, d) 2727

✏️Døme 12

Skriv som éin potens:

a) x⋅x2\sqrt{x} \cdot x^2

b) xx3\displaystyle \frac{x}{\sqrt[3]{x}}

c) a3⋅a4\sqrt{a^3} \cdot \sqrt[4]{a}

Løysing:

a) x⋅x2=x12⋅x2=x12+2=x52\displaystyle \sqrt{x} \cdot x^2 = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^2 = x^{\frac{1}{2} + 2} = x^{\frac{5}{2}}

b) xx3=x1x13=x1−13=x23\displaystyle \frac{x}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^1}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{1 - \frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}}

c) a3⋅a4=a32⋅a14=a64+14=a74\displaystyle \sqrt{a^3} \cdot \sqrt[4]{a} = a^{\frac{3}{2}} \cdot a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{6}{4} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{7}{4}}

Svar: a) x52\displaystyle x^{\frac{5}{2}}, b) x23\displaystyle x^{\frac{2}{3}}, c) a74\displaystyle a^{\frac{7}{4}}

📝Oppgave 11

Rekn ut

a
2512\displaystyle 25^{\frac{1}{2}}
b
813\displaystyle 8^{\frac{1}{3}}
c
8114\displaystyle 81^{\frac{1}{4}}
d
432\displaystyle 4^{\frac{3}{2}}
e
2723\displaystyle 27^{\frac{2}{3}}
f
32−15\displaystyle 32^{-\frac{1}{5}}
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 12

Skriv som éin potens av xx

a
x⋅x\sqrt{x} \cdot x
b
x2x\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{x}}
c
x3⋅x23\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^2}
d
(x)6\left(\sqrt{x}\right)^6
e
x⋅x3x\displaystyle \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}}{x}
f
xx\sqrt{x \sqrt{x}}
Løs oppgavenTren

Rekning med kvadratrøter

Med a=a12\displaystyle \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} gir regelen for potens av produkt ein regel for kvadratrøter (a,b≥0a, b \geq 0):

a⋅b=a12⋅b12=(a⋅b)12=a⋅b\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = (a \cdot b)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a \cdot b}

Vi bruker regelen til å forenkle ei kvadratrot: vi skriv talet under rotteiknet som eit kvadrattal gonger eit anna tal, til dømes 12=4⋅3=4⋅3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}.

Røter med same tal under rotteiknet er like ledd: 52+22=725\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 7\sqrt{2}, på same måte som 5x+2x=7x5x + 2x = 7x.

📜Reglar for kvadratrøter
For a≥0a \geq 0 og b>0b > 0 er

a⋅b=a⋅bab=abb⋅b=b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b

✏️Døme 13

Skriv så enkelt som mogleg:

a) 12\sqrt{12}

b) 50+8\sqrt{50} + \sqrt{8}

c) 3⋅6\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}

d) 2(8−2)\sqrt{2}\left(\sqrt{8} - \sqrt{2}\right)

Løysing:

a) 12=4⋅3=4⋅3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}

b) 50+8=25⋅2+4⋅2=52+22=72\sqrt{50} + \sqrt{8} = \sqrt{25 \cdot 2} + \sqrt{4 \cdot 2} = 5\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 7\sqrt{2}

c) 3⋅6=18=9⋅2=32\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}

d) 2(8−2)=16−2⋅2=4−2=2\sqrt{2}\left(\sqrt{8} - \sqrt{2}\right) = \sqrt{16} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 - 2 = 2

Svar: a) 232\sqrt{3}, b) 727\sqrt{2}, c) 323\sqrt{2}, d) 22

📝Oppgave 13

Skriv så enkelt som mogleg

a
18\sqrt{18}
b
75\sqrt{75}
c
20+45\sqrt{20} + \sqrt{45}
d
2⋅10\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}
e
48−27\sqrt{48} - \sqrt{27}
f
5(20+5)\sqrt{5}\left(\sqrt{20} + \sqrt{5}\right)
Løs oppgavenTren

Rasjonalisering av nemnaren

Eit svar blir helst skrive utan rot i nemnaren. Vi utvidar brøken med rota som står i nemnaren. Fordi b⋅b=b\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b, forsvinn rota frå nemnaren:

ab=a⋅bb⋅b=abb\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}

Dette blir kalla å rasjonalisere nemnaren. Brøken har same verdi som før, fordi vi gongar både teljar og nemnar med det same talet.

✏️Døme 14

Skriv utan rot i nemnaren:

a) 12\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}

b) 35\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}}

c) 63\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}

d) 3+13\displaystyle \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}

Løysing:

a) 12=1⋅22⋅2=22\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

b) 35=355⋅5=355\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}

c) 63=633=23\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}

d) 3+13=(3+1)33⋅3=3+33=1+33\displaystyle \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} = \frac{\left(\sqrt{3} + 1\right)\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}

Svar: a) 22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}, b) 355\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{5}, c) 232\sqrt{3}, d) 1+33\displaystyle 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}

📝Oppgave 14

Skriv utan rot i nemnaren, så enkelt som mogleg

a
13\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}
b
42\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}
c
105\displaystyle \frac{10}{\sqrt{5}}
d
26\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}
e
2+22\displaystyle \frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}}
f
323\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3}}
Løs oppgavenTren
📜Oppsummering: Potensreglar og rotreglar
RegelFormel
Definisjonxn=x⋅x⋅…⋅xx^n = x \cdot x \cdot \ldots \cdot x (nn faktorar)
Multiplikasjonxa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b}
Divisjonxaxb=xa−b\displaystyle \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}
Negativ eksponentx−n=1xn\displaystyle x^{-n} = \frac{1}{x^n}
Potens av produkt(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
Potens av brøk(ab)n=anbn\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
Potens av potens(xa)b=xa⋅b(x^a)^b = x^{a \cdot b}
Null som eksponenta0=1a^0 = 1 (for a≠0a \neq 0)
Rot som potensan=a1n\displaystyle \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}, amn=(an)m\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m
Kvadratrot av produkta⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}
Rasjonaliseringab=abb\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}
Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.