2.6 Proporsjonalitet | Matematikk 1P

Lær om forholdstall, proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser, og bruk av kryssregning.

50 min

10 oppgaver

ForholdstallProporsjonalitetOmvendt proporsjonalitetKryssregning

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Forholdstall og forhold

Eit forhold beskriver samanhengen mellom to storleikar. Vi skriv det med kolon:

$a : b$

For døme kan ei blandingsoppskrift for saft vere 1 del konsentrat og 4 delar vatn, altso 1 : 4.

Forhold kan forkortast akkurat som bløkar. Forholdet $6 : 9$ kan forkortast til $2 : 3$ ved å dele begge tala på 3.

Forhold

a : b

✏️Døme 1: Forholdstall i praksis

a) Ei oppskrift på pannekaker bruker 3 egg og 6 dl melk. Kva er forholdet mellom egg og melk? Forkort så langt som mogleg.

b) Eit fotografi skal forstørrast i forholdet $3 : 5$ . Originalbildet er 12 cm breitt. Kor breitt blir det forstørra bildet?

Løysing:

a) Forholdet egg : melk $= 3 : 6 = 1 : 2$ (deler begge på 3).
For kvart egg trengst 2 dl melk.

b) Vi set opp forholdet:
$\displaystyle \frac{\text{original}}{\text{forstørra}} = \frac{3}{5}$

$\displaystyle \frac{12}{x} = \frac{3}{5}$

$\displaystyle x = \frac{12 \cdot 5}{3} = \frac{60}{3} = 20$ cm

Det forstørra bildet blir 20 cm breitt.

📝Oppgave 2.6.1

Oppgåver om forholdstall:

Forkort forholdet $15 : 25$ .

Forkort forholdet $24 : 36$ .

Ei oppskrift for smoothie bruker frukt og yoghurt i forholdet $2 : 3$ . Kor mykje yoghurt trengst til 8 dl frukt?

Forholdet mellom gutar og jenter i ei klasse er $3 : 2$ . Det er 15 gutar. Kor mange jenter er det?

Løs oppgaven Tren

Proporsjonale storleikar

To storleikar er proporsjonale (rett proporsjonale) dersom den eine er ein fast konstant gonga med den andre:

$y = k \cdot x$

Her er $k$ proporsjonalitetskonstanten.

Kjennetegn:
- Når $x$ dobblas, dobblas òg $y$
- Grafen er ei rett line gjennom origo (nullpunktet)
- Forholdet $\displaystyle \frac{y}{x} = k$ er alltid det same

Eit daglegleis døme: prisen du betalar for bensin er proporsjonal med antall liter du fyller. Fyller du dobbelt så mykje, betalar du dobbelt.

Proporsjonale storleikar

x

✏️Døme 2: Proporsjonale storleikar

Ein kopp kaffe kostar 42 kr i ein kafé.

a) Set opp ei formel for prisen $P$ som funksjon av antall koppar $n$ .

b) Kva er proporsjonalitetskonstanten?

c) Kva kostar 7 koppar?

Løysing:

a) $P = 42 \cdot n$

b) Proporsjonalitetskonstanten er $k = 42$ kr per kopp.

c) $P = 42 \cdot 7 = 294$ kr

📝Oppgave 2.6.2

Oppgåver om proporsjonale storleikar:

Ein bil køyrer med jamn fart. Etter 2 timar har ho køyrt 160 km. Finn proporsjonalitetskonstanten $k$ (farten).

Kor langt har bilen køyrt etter 3,5 timar med denne farten?

Vekta av ei stålstang er proporsjonal med lengda. Ein stang på 3 m veg 12 kg. Kva veg ein stang på 5 m?

Er følgjande samanhang proporsjonal? Ein telefonabonnement kostar 199 kr/mnd pluss 0,50 kr per ringa minutt. Grunngi svaret.

Løs oppgaven Tren

Omvendt proporsjonale storleikar

To storleikar er omvendt proporsjonale (òg kalla «inversely proportional») dersom produktet av dei er konstant:

$y = \frac{k}{x} \quad \text{eller} \quad x \cdot y = k$

Kjennetegn:
- Når $x$ dobblas, halveras $y$
- Grafen er ei hyperbel (krum kurve)
- Produktet $x \cdot y$ er alltid det same

Døme: Viss 4 malarar bruker 6 dagar på å male eit hus, kor lang tid bruker 8 malarar? Når antall malarar dobblas, halveras tida.

Omvendt proporsjonale storleikar

x

✏️Døme 3: Omvendt proporsjonale storleikar

a) 6 arbeidarar bruker 10 dagar på å byggja ein mur. Kor mange dagar bruker 15 arbeidarar?

b) Ein bil køyrer ei strekning på 240 km. Set opp ein formel for tida $t$ (i timar) som funksjon av farten $v$ (i km/t). Er storleikar proporsjonale eller omvendt proporsjonale?

Løysing:

a) Produktet arbeidarar $\cdot$ dagar er konstant:
$k = 6 \cdot 10 = 60$

Med 15 arbeidarar: $\displaystyle 15 \cdot d = 60 \Rightarrow d = \frac{60}{15} = 4$ dagar.

b) $\displaystyle t = \frac{240}{v}$

Konstanten er $k = 240$ . Storleikar er omvendt proporsjonale fordi $t \cdot v = 240$ er konstant. Køyrer du dobbelt så fort, halveres tida.

📊Utforsk: Proporsjonal og omvendt proporsjonal

Blå graf viser proporsjonaliteten $y = 2x$ (rett linje gjennom origo), raud graf viser den omvendt proporsjonaliteten $\displaystyle y = \frac{12}{x}$ . Legg merke til at den blå dobblar seg når $x$ dobblar seg, medan den raude halveras.

📝Oppgave 2.6.3

Oppgåver om omvendt proporsjonalitet:

3 pumper tømer eit basseng på 8 timar. Kor lang tid bruker 6 pumper?

Ein bil bruker 3 timar på ei strekning med fart 80 km/t. Kor lang tid tek det med fart 120 km/t?

Avgjer om storleikar er proporsjonale eller omvendt proporsjonale: prisen per person når ei rekning på 900 kr delast likt.

Løs oppgaven Tren

Kryssrekning

Kryssrekning (også kalla kryss-multiplikasjon) er ein metode for å løysa forhold-likning. Når vi har

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

kan vi kryssa og ganga:

$a \cdot d = b \cdot c$

Dette er nyttig i mange praktiske situasjonar som skala, valuta og blandingsforhold.

✏️Døme 4: Kryssrekning i praksis

a) Eit kart har målestokk $1 : 50\,000$ . Avstanden mellom to stader på kartet er 7,4 cm. Kva er den verkelege avstanden?

b) Valutakursen er 1 euro = 11,30 kr. Kor mange euro får du for 800 kr?

Løysing:

a) Målestokk $1 : 50\,000$ betyr at 1 cm på kartet svarar til 50 000 cm i verkeligheten.

$\frac{1}{50\,000} = \frac{7{,}4}{x}$

$x = 7{,}4 \cdot 50\,000 = 370\,000$ cm $= 3{,}7$ km

b) $\displaystyle \frac{1 \text{ euro}}{11{,}30 \text{ kr}} = \frac{x \text{ euro}}{800 \text{ kr}}$

$\displaystyle x = \frac{800}{11{,}30} \approx 70{,}80$ euro

📝Oppgave 2.6.4

Bruk kryssrekning til å løysa oppgåvene:

Eit kart har målestokk $1 : 25\,000$ . Avstanden mellom to stader på kartet er 4 cm. Finn den verkelege avstanden i meter.

1 dollar = 10,50 kr. Kor mykje er 350 dollar i norske kroner?

I ei betongoving er forholdet mellom sement og sand $1 : 3$ . Kor mange kg sement trengs til 45 kg sand?

Ein oppskrift for 4 personar bruker 300 g kjøtdeig. Kor mykje kjøtdeig trengs til 7 personar?

Løs oppgaven Tren

Spør deg sjølv:

- Aukar båe storleikar saman? → Sannsynlegvis proporsjonale ( $y = kx$ )
- Aukar den eine medan den andre minkar? → Sannsynlegvis omvendt proporsjonale ( $y = k/x$ )
- Testast: Sjekk om $y/x$ er konstant (proporsjonale) eller om $x \cdot y$ er konstant (omvendt proporsjonale).

📝Oppgave 2.6.5

Avgjer om storleikar er proporsjonale, omvendt proporsjonale eller ingen av delane. Grunngje svaret.

Antal liter bensin og total pris ved pumpen.

Antal gjester og pris per person når totalprisen for ei utleige er fast (2000 kr).

Alder og høgd hos eit menneske.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Forhold: $a : b$ uttrykkjer den relative storleiken mellom to mengder.
- Proporsjonale storleikar: $y = k \cdot x$ — dobler du den eine, dobles den andre. Grafen er ei rett linje gjennom origo.
- Omvendt proporsjonale storleikar: $\displaystyle y = \frac{k}{x}$ — dobler du den eine, halsast den andre.
- Kryssrekning: Når to forhold er like, kan du gange «på kryss» for å finne den ukjend.

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Forhold	Relativ storleik, t.d. $1 : 4$
Proporsjonalitetskonstant	Talet $k$ i $y = kx$
Omvendt proporsjonal	$x \cdot y$ er konstant
Målestokk	Forholdet mellom kart og røyndom

Slik kjenner du dei igjen

- Proporsjonal:

\displaystyle \frac{y}{x}

er konstant
- Omvendt proporsjonal:

x \cdot y

er konstant

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.