2.5 Røtter og standardform | Matematikk 1P

Lær om kvadratrøtter, tredjerøtter og standardform for å uttrykke store og små tall.

50 min

8 oppgaver

KvadratrotTredjerotStandardformStore tallSmå tall

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Hva er en rot?

Å ta roten av et tall er det motsatte av å opphøye i en potens.

Når vi vet at $5^2 = 25$ , kan vi si at kvadratroten av 25 er 5:

$\sqrt{25} = 5$

Røtter brukes blant annet i geometri (for eksempel Pytagoras' setning), i statistikk (standardavvik) og i mange formler fra naturfag.

Kvadratrot

a \geq 0

✏️Eksempel 1: Beregne kvadratrøtter

Regn ut uten kalkulator:
a) $\sqrt{16}$
b) $\sqrt{144}$
c) $\sqrt{0{,}04}$

Løsning:

a) $\sqrt{16} = 4$ fordi $4^2 = 16$

b) $\sqrt{144} = 12$ fordi $12^2 = 144$

c) $\sqrt{0{,}04} = 0{,}2$ fordi $0{,}2^2 = 0{,}04$

📝Oppgave 2.5.1

Regn ut kvadratrøttene:

\sqrt{36}

\sqrt{81}

\sqrt{100}

\sqrt{1}

Løs oppgaven Tren

Tredjerøtter

Tredjeroten (kubikkroten) er det motsatte av å opphøye i tredje. Vi skriver den med symbolet $\sqrt[3]{\phantom{x}}$ .

$\sqrt[3]{27} = 3 \quad \text{fordi} \quad 3^3 = 27$

I motsetning til kvadratrøtter kan vi ta tredjeroten av negative tall:

$\sqrt[3]{-8} = -2 \quad \text{fordi} \quad (-2)^3 = -8$

Tredjerot

a

Sammenhengen mellom røtter og potenser

Røtter kan skrives som potenser med brøkeksponent:

$\sqrt{a} = a^{1/2} \qquad \text{og} \qquad \sqrt[3]{a} = a^{1/3}$

Generelt:

$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$

Dette betyr at alle potensreglene også gjelder for røtter! For eksempel:

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = a^{1/2} \cdot b^{1/2} = (a \cdot b)^{1/2} = \sqrt{a \cdot b}$

✏️Eksempel 2: Forenkling av rotuttrykk

Forenkle:
a) $\sqrt{4 \cdot 9}$
b) $\sqrt{50}$
c) $\displaystyle \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$

Løsning:

a) $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$

Alternativt: $\sqrt{36} = 6$

b) $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

c) $\displaystyle \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6$

📝Oppgave 2.5.2

Forenkle rotuttrykkene:

\sqrt{25 \cdot 4}

\sqrt{18}

\sqrt[3]{-27}

\displaystyle \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}

Løs oppgaven Tren

Standardform

Noen tall er veldig store eller veldig små. Da er det upraktisk å skrive alle sifrene. Vi bruker standardform (også kalt vitenskapelig notasjon):

$a \cdot 10^n \quad \text{der } 1 \leq a < 10 \text{ og } n \text{ er et heltall}$

Eksempler:
- Avstanden til solen: $149\,600\,000$ km $= 1{,}496 \cdot 10^8$ km
- Tykkelsen på et hårstrå: $0{,}00007$ m $= 7 \cdot 10^{-5}$ m

Standardform

a \cdot 10^n

✏️Eksempel 3: Skrive tall på standardform

Skriv på standardform:
a) $47\,000$
b) $0{,}00032$
c) $8\,350\,000$
d) $0{,}0091$

Løsning:

a) $47\,000 = 4{,}7 \cdot 10^4$
Vi flytter kommaet 4 plasser til venstre.

b) $0{,}00032 = 3{,}2 \cdot 10^{-4}$
Vi flytter kommaet 4 plasser til høyre.

c) $8\,350\,000 = 8{,}35 \cdot 10^6$
Vi flytter kommaet 6 plasser til venstre.

d) $0{,}0091 = 9{,}1 \cdot 10^{-3}$
Vi flytter kommaet 3 plasser til høyre.

📝Oppgave 2.5.3

Skriv tallene på standardform:

560\,000

0{,}0045

92\,000\,000

0{,}000006

Løs oppgaven Tren

Regning med standardform

Når vi ganger eller deler tall på standardform, bruker vi potensreglene for tierpotenser.

Multiplikasjon:
$(a \cdot 10^n) \cdot (b \cdot 10^m) = (a \cdot b) \cdot 10^{n+m}$

Divisjon:
$\frac{a \cdot 10^n}{b \cdot 10^m} = \frac{a}{b} \cdot 10^{n-m}$

Husk å justere svaret slik at det er på riktig standardform ( $1 \leq a < 10$ ) til slutt.

✏️Eksempel 4: Regning med standardform

a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^3)$

b) $\displaystyle \frac{8 \cdot 10^9}{4 \cdot 10^3}$

c) Lyset beveger seg med hastigheten $3 \cdot 10^8$ m/s. Hvor langt reiser lyset på ett minutt (60 sekunder)?

Løsning:

a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^3) = (3 \cdot 2) \cdot 10^{4+3} = 6 \cdot 10^7$

b) $\displaystyle \frac{8 \cdot 10^9}{4 \cdot 10^3} = \frac{8}{4} \cdot 10^{9-3} = 2 \cdot 10^6$

c) Strekning $= \text{fart} \cdot \text{tid}$ :
$(3 \cdot 10^8) \cdot 60 = (3 \cdot 10^8) \cdot (6 \cdot 10^1)$
$= 18 \cdot 10^9 = 1{,}8 \cdot 10^{10}$ m

Lyset reiser altså $1{,}8 \cdot 10^{10}$ m, det vil si 18 milliarder meter, på ett minutt.

📝Oppgave 2.5.4

Regn med standardform. Gi svaret på standardform.

(4 \cdot 10^5) \cdot (3 \cdot 10^2)

\displaystyle \frac{6 \cdot 10^{11}}{3 \cdot 10^5}

En celle er ca. $8 \cdot 10^{-6}$ m lang. En bakterie er ca. $2 \cdot 10^{-6}$ m lang. Hvor mange ganger lengre er cellen enn bakterien?

Massen til jorda er ca. $6 \cdot 10^{24}$ kg. Massen til månen er ca. $7{,}3 \cdot 10^{22}$ kg. Omtrent hvor mange ganger tyngre er jorda enn månen? Avrund til nærmeste hele tall.

Løs oppgaven Tren

De fleste kalkulatorer viser standardform med bokstaven E.

For eksempel betyr 3.5E8 det samme som $3{,}5 \cdot 10^8$ .

På GeoGebra/CAS kan du skrive 3.5 * 10^8 direkte.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Kvadratrot: $\sqrt{a}$ er det ikke-negative tallet som ganget med seg selv gir $a$ .
- Tredjerot: $\sqrt[3]{a}$ er tallet $b$ slik at $b^3 = a$ .
- Regneregler for røtter: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ og $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
- Standardform: $a \cdot 10^n$ der $1 \leq a < 10$ . Store tall får positiv $n$ , små tall (mellom 0 og 1) får negativ $n$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Kvadratrot	$\sqrt{25} = 5$ fordi $5^2 = 25$
Tredjerot	$\sqrt[3]{8} = 2$ fordi $2^3 = 8$
Standardform	Tall skrevet som $a \cdot 10^n$ , $1 \leq a < 10$

Viktige formler

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

47\,000 = 4{,}7 \cdot 10^4

0{,}0032 = 3{,}2 \cdot 10^{-3}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.