2.6 Proporsjonalitet | Matematikk 1P

Lær om forholdstall, proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser, og bruk av kryssregning.

50 min

10 oppgaver

ForholdstallProporsjonalitetOmvendt proporsjonalitetKryssregning

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Forholdstall og forhold

Et forhold beskriver sammenhengen mellom to størrelser. Vi skriver det med kolon:

$a : b$

For eksempel kan en blandingsoppskrift for saft være 1 del konsentrat og 4 deler vann, altså 1 : 4.

Forhold kan forkortes akkurat som brøker. Forholdet $6 : 9$ kan forkortes til $2 : 3$ ved å dele begge tallene på 3.

Forhold

a : b

✏️Eksempel 1: Forholdstall i praksis

a) En oppskrift på pannekaker bruker 3 egg og 6 dl melk. Hva er forholdet mellom egg og melk? Forkort så langt som mulig.

b) Et fotografi skal forstørres i forholdet $3 : 5$ . Originalbildet er 12 cm bredt. Hvor bredt blir det forstørrede bildet?

Løsning:

a) Forholdet egg : melk $= 3 : 6 = 1 : 2$ (deler begge på 3).
For hvert egg trengs 2 dl melk.

b) Vi setter opp forholdet:
$\displaystyle \frac{\text{original}}{\text{forstørret}} = \frac{3}{5}$

$\displaystyle \frac{12}{x} = \frac{3}{5}$

$\displaystyle x = \frac{12 \cdot 5}{3} = \frac{60}{3} = 20$ cm

Det forstørrede bildet blir 20 cm bredt.

📝Oppgave 2.6.1

Oppgaver om forholdstall:

Forkort forholdet $15 : 25$ .

Forkort forholdet $24 : 36$ .

En oppskrift for smoothie bruker frukt og yoghurt i forholdet $2 : 3$ . Hvor mye yoghurt trengs til 8 dl frukt?

Forholdet mellom gutter og jenter i en klasse er $3 : 2$ . Det er 15 gutter. Hvor mange jenter er det?

Løs oppgaven Tren

Proporsjonale størrelser

To størrelser er proporsjonale (rett proporsjonale) dersom den ene er en fast konstant ganget med den andre:

$y = k \cdot x$

Her er $k$ proporsjonalitetskonstanten.

Kjennetegn:
- Når $x$ dobles, dobles også $y$
- Grafen er en rett linje gjennom origo (nullpunktet)
- Forholdet $\displaystyle \frac{y}{x} = k$ er alltid det samme

Et dagligdags eksempel: prisen du betaler for bensin er proporsjonal med antall liter du fyller. Fyller du dobbelt så mye, betaler du dobbelt.

Proporsjonale størrelser

x

✏️Eksempel 2: Proporsjonale størrelser

En kopp kaffe koster 42 kr i en kafe.

a) Sett opp en formel for prisen $P$ som funksjon av antall kopper $n$ .

b) Hva er proporsjonalitetskonstanten?

c) Hva koster 7 kopper?

Løsning:

a) $P = 42 \cdot n$

b) Proporsjonalitetskonstanten er $k = 42$ kr per kopp.

c) $P = 42 \cdot 7 = 294$ kr

📝Oppgave 2.6.2

Oppgaver om proporsjonale størrelser:

En bil kjører med jevn fart. Etter 2 timer har den kjørt 160 km. Finn proporsjonalitetskonstanten $k$ (farten).

Hvor langt har bilen kjørt etter 3,5 timer med denne farten?

Vekten av en stålstang er proporsjonal med lengden. En stang på 3 m veier 12 kg. Hva veier en stang på 5 m?

Er følgende sammenheng proporsjonal? En telefonabonnement koster 199 kr/mnd pluss 0,50 kr per ringt minutt. Begrunn svaret.

Løs oppgaven Tren

Omvendt proporsjonale størrelser

To størrelser er omvendt proporsjonale (også kalt «inversely proportional») dersom produktet av dem er konstant:

$y = \frac{k}{x} \quad \text{eller} \quad x \cdot y = k$

Kjennetegn:
- Når $x$ dobles, halveres $y$
- Grafen er en hyperbel (krum kurve)
- Produktet $x \cdot y$ er alltid det samme

Eksempel: Hvis 4 malere bruker 6 dager på å male et hus, hvor lang tid bruker 8 malere? Når antall malere dobles, halveres tiden.

Omvendt proporsjonale størrelser

x

✏️Eksempel 3: Omvendt proporsjonale størrelser

a) 6 arbeidere bruker 10 dager på å bygge en mur. Hvor mange dager bruker 15 arbeidere?

b) En bil kjører en strekning på 240 km. Sett opp en formel for tiden $t$ (i timer) som funksjon av farten $v$ (i km/t). Er størrelsene proporsjonale eller omvendt proporsjonale?

Løsning:

a) Produktet arbeidere $\cdot$ dager er konstant:
$k = 6 \cdot 10 = 60$

Med 15 arbeidere: $\displaystyle 15 \cdot d = 60 \Rightarrow d = \frac{60}{15} = 4$ dager.

b) $\displaystyle t = \frac{240}{v}$

Konstanten er $k = 240$ . Størrelsene er omvendt proporsjonale fordi $t \cdot v = 240$ er konstant. Kjører du dobbelt så fort, halveres tiden.

📊Utforsk: Proporsjonal og omvendt proporsjonal

Blå graf viser proporsjonaliteten $y = 2x$ (rett linje gjennom origo), rød graf viser den omvendte proporsjonaliteten $\displaystyle y = \frac{12}{x}$ . Legg merke til at den blå dobler seg når $x$ dobles, mens den røde halveres.

📝Oppgave 2.6.3

Oppgaver om omvendt proporsjonalitet:

3 pumper tømmer et basseng på 8 timer. Hvor lang tid bruker 6 pumper?

En bil bruker 3 timer på en strekning med fart 80 km/t. Hvor lang tid tar det med fart 120 km/t?

Avgjør om størrelsene er proporsjonale eller omvendt proporsjonale: prisen per person når en regning på 900 kr deles likt.

Løs oppgaven Tren

Kryssregning

Kryssregning (også kalt kryss-multiplikasjon) er en metode for å løse forholdsligning. Når vi har

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

kan vi krysse og gange:

$a \cdot d = b \cdot c$

Dette er nyttig i mange praktiske situasjoner som skala, valuta og blandingsforhold.

✏️Eksempel 4: Kryssregning i praksis

a) Et kart har målestokk $1 : 50\,000$ . Avstanden mellom to steder på kartet er 7,4 cm. Hva er den virkelige avstanden?

b) Valutakursen er 1 euro = 11,30 kr. Hvor mange euro får du for 800 kr?

Løsning:

a) Målestokk $1 : 50\,000$ betyr at 1 cm på kartet tilsvarer 50 000 cm i virkeligheten.

$\frac{1}{50\,000} = \frac{7{,}4}{x}$

$x = 7{,}4 \cdot 50\,000 = 370\,000$ cm $= 3{,}7$ km

b) $\displaystyle \frac{1 \text{ euro}}{11{,}30 \text{ kr}} = \frac{x \text{ euro}}{800 \text{ kr}}$

$\displaystyle x = \frac{800}{11{,}30} \approx 70{,}80$ euro

📝Oppgave 2.6.4

Bruk kryssregning til å løse oppgavene:

Et kart har målestokk $1 : 25\,000$ . Avstanden mellom to steder på kartet er 4 cm. Finn den virkelige avstanden i meter.

1 dollar = 10,50 kr. Hvor mye er 350 dollar i norske kroner?

I en betongblanding er forholdet mellom sement og sand $1 : 3$ . Hvor mange kg sement trengs til 45 kg sand?

En oppskrift for 4 personer bruker 300 g kjøttdeig. Hvor mye kjøttdeig trengs til 7 personer?

Løs oppgaven Tren

Spør deg selv:

- Øker begge størrelsene sammen? → Sannsynligvis proporsjonale ( $y = kx$ )
- Øker den ene mens den andre minker? → Sannsynligvis omvendt proporsjonale ( $y = k/x$ )
- Tester: Sjekk om $y/x$ er konstant (proporsjonale) eller om $x \cdot y$ er konstant (omvendt proporsjonale).

📝Oppgave 2.6.5

Avgjør om størrelsene er proporsjonale, omvendt proporsjonale eller ingen av delene. Begrunn svaret.

Antall liter bensin og total pris ved pumpen.

Antall gjester og pris per person når totalprisen for en utleie er fast (2000 kr).

Alder og høyde hos et menneske.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Forhold: $a : b$ uttrykker den relative størrelsen mellom to mengder.
- Proporsjonale størrelser: $y = k \cdot x$ — dobler du den ene, dobles den andre. Grafen er en rett linje gjennom origo.
- Omvendt proporsjonale størrelser: $\displaystyle y = \frac{k}{x}$ — dobler du den ene, halveres den andre.
- Kryssregning: Når to forhold er like, kan du gange «på kryss» for å finne den ukjente.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Forhold	Relativ størrelse, f.eks. $1 : 4$
Proporsjonalitetskonstant	Tallet $k$ i $y = kx$
Omvendt proporsjonal	$x \cdot y$ er konstant
Målestokk	Forholdet mellom kart og virkelighet

Slik kjenner du dem igjen

- Proporsjonal:

\displaystyle \frac{y}{x}

er konstant
- Omvendt proporsjonal:

x \cdot y

er konstant

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.