2.6 Proporsjonalitet

Saften som ble for søt

Du skal blande saft til hele vennegjengen før fotballtreningen. På flaska står det «1 del konsentrat og 4 deler vann». Dette er et forhold, og vi skriver det med kolon: $1 : 4$. Et forhold beskriver sammenhengen mellom to størrelser -- her sier det at uansett hvor mye saft du lager, skal det være fire ganger så mye vann som konsentrat.

Forhold kan forkortes akkurat som brøker. Forholdet $6 : 9$ kan forkortes til $2 : 3$ ved å dele begge tallene på 3. Og to forhold er like dersom de kan forkortes til det samme: $3 : 5 = 6 : 10 = 12 : 20$. Formelt: $a : b = c : d$ akkurat når $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

La oss bruke dette på kjøkkenet. En pannekakeoppskrift bruker 3 egg og 6 dl melk. Forholdet mellom egg og melk er $3 : 6$, som forkortes til $1 : 2$ -- for hvert egg trengs 2 dl melk. Greit å vite når du skal skalere oppskriften opp til søndagsfrokost for ti!

Forhold brukes også når noe skal forstørres eller forminskes. Et fotografi skal forstørres i forholdet $3 : 5$, og originalen er 12 cm bred. Hvor bred blir forstørrelsen? Vi setter opp $\displaystyle \frac{12}{x} = \frac{3}{5}$ og løser: $\displaystyle x = \frac{12 \cdot 5}{3} = 20$ cm. Slike forholdslikninger kommer vi tilbake til med full kraft i siste seksjon -- men først skal vi se hva som skjer når to størrelser henger sammen i et fast forhold hele tiden.

Dobbelt så mye, dobbelt så dyrt -- proporsjonale størrelser

Etter treningen stikker dere innom kafeen. En kopp kaffe koster 42 kr -- to kopper koster 84 kr, tre koster 126 kr. Prisen og antall kopper følger hverandre i fast takt, og det er nettopp dette som kalles proporsjonale (rett proporsjonale) størrelser: den ene er en konstant ganget med den andre,

$$y = k \cdot x$$

Konstanten $k$ kalles proporsjonalitetskonstanten. For kaffekjøpet er formelen $P = 42 \cdot n$, der $P$ er prisen og $n$ antall kopper, og konstanten er $k = 42$ kr per kopp. Sju kopper til hele gjengen? $P = 42 \cdot 7 = 294$ kr.

Proporsjonale størrelser har tre kjennetegn som alle sier det samme på hver sin måte. For det første: når $x$ dobles, dobles også $y$ -- dobbelt så mange kopper, dobbelt så dyrt. For det andre: grafen til $y = kx$ er en rett linje gjennom origo -- null kopper koster null kroner, og linja stiger jevnt med stigningstall $k$. For det tredje: forholdet $\displaystyle \frac{y}{x} = k$ er alltid det samme. Det siste er den praktiske testen: har du en tabell med sammenhørende verdier, deler du $y$ på $x$ i hver kolonne -- får du samme tall hver gang, er størrelsene proporsjonale.

Hverdagen er full av slike sammenhenger: prisen for bensin er proporsjonal med antall liter du fyller, lønna fra timebetalt deltidsjobb er proporsjonal med antall timer du jobber, og mengden pannekakerøre er proporsjonal med antall sultne gjester.

Flere folk, kortere tid -- omvendt proporsjonalitet

Klassen har dugnad: en mur skal bygges før helgen. Med 6 arbeidere tar jobben 10 dager. Men hva om flere stiller opp? Her øker ikke størrelsene i takt -- de går mot hverandre: flere arbeidere gir kortere tid. Slike størrelser kalles omvendt proporsjonale, og kjennetegnes ved at produktet av dem er konstant:

$$y = \frac{k}{x} \quad \text{eller} \quad x \cdot y = k$$

For dugnaden er konstanten det totale arbeidet: $k = 6 \cdot 10 = 60$ dagsverk. Stiller 15 arbeidere, løser vi $15 \cdot d = 60$ og får $d = 4$ dager. Dobles arbeidsstyrken, halveres tiden -- det er signaturen til omvendt proporsjonalitet. Grafen er ikke lenger en rett linje, men en hyperbel, en krum kurve som faller bratt først og flater ut.

Et annet klassisk eksempel er fart og tid. En biltur på 240 km gir formelen $\displaystyle t = \frac{240}{v}$, der $t$ er tiden i timer og $v$ farten i km/t. Konstanten er $k = 240$, og $t \cdot v = 240$ uansett: kjører du dobbelt så fort, bruker du halve tiden. Hvis 4 malere bruker 6 dager på et hus, bruker 8 malere bare 3.

Hvordan avgjøre hvilken type du står overfor? Spør deg selv: øker begge størrelsene sammen? Da er de sannsynligvis proporsjonale, $y = kx$. Øker den ene mens den andre minker? Da er de trolig omvendt proporsjonale, $\displaystyle y = \frac{k}{x}$. Og den sikre testen: sjekk om $\displaystyle \frac{y}{x}$ er konstant (proporsjonale) eller om $x \cdot y$ er konstant (omvendt proporsjonale).

Kryssregning -- snarveien gjennom forholdene

Sommerferien nærmer seg, og du planlegger tur med kart og fremmed valuta. Begge deler er forholdsregning, og begge løses med samme verktøy: kryssregning. Når to forhold er like,

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

kan vi «krysse og gange»:

$$a \cdot d = b \cdot c$$

Teller på den ene siden ganges med nevner på den andre -- kryssvis. Dette er egentlig bare likningsregning (vi ganger begge sider med begge nevnerne), men som huskeregel er krysset uslåelig praktisk.

Først kartet. Målestokken er $1 : 50\,000$, som betyr at 1 cm på kartet tilsvarer 50 000 cm i virkeligheten. Du måler avstanden til hytta til 7,4 cm på kartet. Vi setter opp $\displaystyle \frac{1}{50\,000} = \frac{7{,}4}{x}$ og krysser: $x = 7{,}4 \cdot 50\,000 = 370\,000$ cm. Gjør om enhetene: 370 000 cm er 3700 m, altså $3{,}7$ km å gå.

Så pengene. Kursen er 1 euro = 11,30 kr, og du har 800 kr å veksle. Sett opp forholdet $\displaystyle \frac{1 \text{ euro}}{11{,}30 \text{ kr}} = \frac{x \text{ euro}}{800 \text{ kr}}$ og kryss: $\displaystyle x = \frac{800}{11{,}30} \approx 70{,}80$ euro.

Kryssregning fungerer i alle situasjoner der to størrelser er proporsjonale: skala og målestokk, valuta, oppskrifter, blandingsforhold og fart. Sett opp to like brøker med den ukjente på plass, kryss, og løs -- en av de mest anvendelige teknikkene i hele matematikken.

Fortellingen om forholdene -- kort fortalt

Saftflaska startet det hele: forholdet $1 : 4$ fortalte oss hvordan to mengder henger sammen, og vi lærte at forhold forkortes som brøker -- $6 : 9$ ble $2 : 3$, og pannekakenes $3 : 6$ ble $1 : 2$.

Kaffekoppene til 42 kr viste oss proporsjonale størrelser: $y = kx$, der proporsjonalitetskonstanten $k$ holder takten. Kjennetegnene var at dobling av den ene dobler den andre, at grafen er en rett linje gjennom origo, og at $\displaystyle \frac{y}{x}$ alltid er den samme. Dugnadsmuren snudde det hele på hodet med omvendt proporsjonalitet: $\displaystyle y = \frac{k}{x}$, der produktet $x \cdot y$ er konstant, dobling av den ene halverer den andre, og grafen er en hyperbel. Testen er like enkel som den er nyttig: konstant $\displaystyle \frac{y}{x}$ betyr proporsjonal, konstant $x \cdot y$ betyr omvendt proporsjonal.

Og som verktøy over dem alle: kryssregning. Fra $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ følger $a \cdot d = b \cdot c$, og dermed falt både kartavstanden på $3{,}7$ km og de $70{,}80$ euroene på plass. Forhold, proporsjonalitet og kryssregning er hverdagsmatematikkens arbeidshester -- fra saftblanding til valutaveksling.