2.5 Røtter og standardform

Den kvadratiske hagen

Familien din skal anlegge en kvadratisk grønnsakshage på 25 kvadratmeter. Hvor lange blir sidene? Du leter etter tallet som ganget med seg selv gir 25 -- og det er 5, siden $5^2 = 25$. Du har nettopp tatt en kvadratrot:

$$\sqrt{25} = 5$$

Å ta roten av et tall er det motsatte av å opphøye i en potens, akkurat som subtraksjon er det motsatte av addisjon. Formelt er kvadratroten av et tall $a \geq 0$ det ikke-negative tallet $b$ som oppfyller $b^2 = a$. For eksempel er $\sqrt{9} = 3$ fordi $3^2 = 9$, $\sqrt{49} = 7$ fordi $7^2 = 49$, og $\sqrt{0} = 0$. Røtter brukes i geometri -- Pytagoras' setning ender alltid i en kvadratrot -- i statistikk når vi beregner standardavvik, og i utallige formler fra naturfag.

Flere du kan ta i hodet: $\sqrt{16} = 4$, $\sqrt{144} = 12$, og til og med desimaltall: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}2$, fordi $0{,}2^2 = 0{,}04$.

Hva med en terning -- et akvarium med volum 27 liter, for eksempel? Da trenger vi tallet som ganget med seg selv tre ganger gir 27. Det er tredjeroten (kubikkroten): $\sqrt[3]{27} = 3$ fordi $3^3 = 27$. Tilsvarende er $\sqrt[3]{64} = 4$ og $\sqrt[3]{125} = 5$. Og her er en forskjell fra kvadratrøtter: tredjeroten av negative tall finnes! $\sqrt[3]{-8} = -2$ fordi $(-2)^3 = -8$, og $\sqrt[3]{-1} = -1$. Kvadratroten krever et ikke-negativt tall, tredjeroten tar imot alle.

Røtter er potenser i forkledning

Her kommer en elegant hemmelighet: røtter er potenser -- bare med brøk som eksponent. Kvadratroten er det samme som å opphøye i en halv, og tredjeroten i en tredel:

$$\sqrt{a} = a^{1/2} \qquad \text{og} \qquad \sqrt[3]{a} = a^{1/3}$$

Generelt er $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$. Hvorfor er det smart å vite? Fordi det betyr at alle potensreglene fra forrige kapittel også gjelder for røtter. For eksempel gir regel 4 oss at

$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = a^{1/2} \cdot b^{1/2} = (a \cdot b)^{1/2} = \sqrt{a \cdot b}$$

Roten av et produkt er produktet av røttene -- og tilsvarende for divisjon. Dette gir oss kraftige forenklingstriks.

Se på $\sqrt{4 \cdot 9}$: vi kan dele opp i $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$, eller regne $\sqrt{36} = 6$ direkte -- samme svar, som seg hør og bør. Mer imponerende blir det med $\sqrt{50}$, som ikke er noe pent helt tall. Men $50 = 25 \cdot 2$, og 25 er et kvadrattall: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. Vi har trukket det «pene» ut av roten.

Og motsatt vei, med divisjon: $\displaystyle \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$ ser stygg ut, men samles til én rot: $\displaystyle \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6$. Strategien er alltid den samme -- let etter kvadrattall (4, 9, 16, 25, 36, 49, ...) som gjemmer seg som faktorer, og bruk reglene til å hente dem ut.

Tall som sprenger skalaen -- standardform

Avstanden fra jorda til sola er 149 600 000 km. Tykkelsen på et hårstrå er 0,00007 meter. Prøv å lese de tallene høyt uten å miste tellingen på nullene! Når tallene blir veldig store eller veldig små, trenger vi en smartere skrivemåte: standardform, også kalt vitenskapelig notasjon. Et tall er på standardform når det er skrevet som

$$a \cdot 10^n \quad \text{der } 1 \leq a < 10 \text{ og } n \text{ er et heltall}$$

Avstanden til sola blir $1{,}496 \cdot 10^8$ km, og hårstrået $7 \cdot 10^{-5}$ m. Tallet $a$ skal alltid ligge mellom 1 og 10, og tierpotensen tar seg av størrelsesordenen: positiv eksponent for store tall, negativ for små.

Omregningen handler om å flytte desimalkommaet. $47\,000$ blir $4{,}7 \cdot 10^4$ -- vi flyttet kommaet 4 plasser til venstre, og eksponenten teller flyttene. $8\,350\,000 = 8{,}35 \cdot 10^6$. For små tall flytter vi mot høyre og får negativ eksponent: $0{,}00032 = 3{,}2 \cdot 10^{-4}$ og $0{,}0091 = 9{,}1 \cdot 10^{-3}$.

Det virkelig fine er at regning blir enkel. Potensreglene tar seg av tierpotensene: ved multiplikasjon ganger vi tallene og legger sammen eksponentene, $(a \cdot 10^n)(b \cdot 10^m) = ab \cdot 10^{n+m}$; ved divisjon deler vi og trekker fra. For eksempel $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^3) = 6 \cdot 10^7$ og $\displaystyle \frac{8 \cdot 10^9}{4 \cdot 10^3} = 2 \cdot 10^6$.

Et stjerneeksempel til slutt: lyset farer av sted med $3 \cdot 10^8$ m/s. Hvor langt kommer det på ett minutt? Strekning er fart ganger tid: $(3 \cdot 10^8) \cdot 60 = (3 \cdot 10^8)(6 \cdot 10^1) = 18 \cdot 10^9$. Men vent -- 18 er ikke mellom 1 og 10, så vi justerer: $1{,}8 \cdot 10^{10}$ m, altså 18 milliarder meter. Og når kalkulatoren din viser 3.5E8, er det dens måte å si $3{,}5 \cdot 10^8$ på -- E-en står for eksponenten til 10.

Fortellingen om røttene og de enorme tallene -- kort fortalt

Den kvadratiske hagen ga oss kvadratroten: $\sqrt{a}$ er det ikke-negative tallet som ganget med seg selv gir $a$, slik $\sqrt{25} = 5$. Akvariet ga oss tredjeroten: $\sqrt[3]{27} = 3$ -- og den tåler til og med negative tall, som $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Så avslørte vi at røtter bare er potenser i forkledning: $\sqrt{a} = a^{1/2}$ og $\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$. Dermed gjelder potensreglene, og vi kunne forenkle som proffer: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ ved å hente kvadrattallet 25 ut av roten, og $\displaystyle \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{36} = 6$ ved å samle under én rot.

Til slutt temmet vi de ekstreme tallene med standardform $a \cdot 10^n$, der $1 \leq a < 10$: avstanden til sola ble $1{,}496 \cdot 10^8$ km og hårstrået $7 \cdot 10^{-5}$ m. Regningen fulgte potensreglene -- legg sammen eksponenter ved ganging, trekk fra ved deling -- og lysets ferd på ett minutt endte på $1{,}8 \cdot 10^{10}$ m. Fra hagen i bakgården til avstander i verdensrommet: røtter og standardform gir oss språket for alle størrelser.