2.4 Potensar og potensreglar | Matematikk 1P

Lær kva potensar er, og korleis du bruker potensreglane til å forenkle uttrykk med potensar.

55 min

8 oppgaver

PotensarPotensreglarMultiplikasjon av potensarDivisjon av potensar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kva er ein potens?

Når vi gangar eit tal med seg sjølv fleire gonger, kan vi skrive det som ein potens.

For eksempel:

$2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$

Her er $2$ grunntalet og $3$ er eksponenten. Eksponenten seier kor mange gonger grunntalet skal gangast med seg sjølv.

Potensar dukkar opp i mange samanhengar: areal ( $m^2$ ), volum ( $m^3$ ), datamengder (kilobyte, megabyte), og vekst av pengebeløp med rentes rente.

Potens

a^n

✏️Døme 1: Berekne potensar

Rekn ut:
a) $3^4$
b) $10^3$
c) $(-2)^3$
d) $(-2)^4$

Løysing:

a) $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

b) $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

c) $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$
Odd eksponent gir negativt svar når grunntalet er negativt.

d) $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$
Lik eksponent gir positivt svar når grunntalet er negativt.

📝Oppgave 2.4.1

Rekn ut potensane:

2^5

4^3

(-3)^3

(-5)^2

Løs oppgaven

Spesielle potensar

Det finst to viktige spesialtilfelle:

- $a^1 = a$ — eit tal opphøgd i 1 er seg sjølv
- $a^0 = 1$ — eit tal opphøgd i 0 er alltid 1 (for $a \neq 0$ )

Kvifor er $a^0 = 1$ ? Sjå på mønsteret:

$2^3 = 8, \quad 2^2 = 4, \quad 2^1 = 2, \quad 2^0 = \, ?$

Kvar gong eksponenten går ned med 1, deler vi på grunntalet: $8 \div 2 = 4$ , $4 \div 2 = 2$ , $2 \div 2 = 1$ .

Altså $2^0 = 1$ .

Spesielle potensar

a \neq 0

Potensar med negative eksponentar

Når eksponenten er negativ, snur vi brøken. Ein negativ eksponent betyr at vi tek den inverse (den omvendte):

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Vi fortsett mønsteret frå før:

$2^2 = 4, \quad 2^1 = 2, \quad 2^0 = 1, \quad 2^{-1} = \frac{1}{2}, \quad 2^{-2} = \frac{1}{4}$

Negativ eksponent

a \neq 0

✏️Døme 2: Negative eksponentar

Skriv som brøk eller desimaltal:
a) $5^{-2}$
b) $10^{-4}$
c) $2^{-3}$

Løysing:

a) $\displaystyle 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0{,}04$

b) $\displaystyle 10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10\,000} = 0{,}0001$

c) $\displaystyle 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125$

Potensregler

Når vi reknar med potensar, har vi fire viktige reglar. Desse gjer det enklare å forenkle uttrykk utan å måtte skrive ut alle faktorane.

Potensregler

a^n \cdot a^m = a^{n+m}

✏️Døme 3: Bruk av potensregler

Forenkle uttrykkja:
a) $3^4 \cdot 3^2$
b) $\displaystyle \frac{5^7}{5^3}$
c) $(2^3)^4$
d) $(3 \cdot 4)^2$

Løysing:

a) $3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6 = 729$ (regel 1)

b) $\displaystyle \frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 = 625$ (regel 2)

c) $(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} = 4096$ (regel 3)

d) $(3 \cdot 4)^2 = 3^2 \cdot 4^2 = 9 \cdot 16 = 144$ (regel 4)

📝Oppgave 2.4.2

Forenkle uttrykkja ved hjelp av potensreglane:

2^3 \cdot 2^5

\displaystyle \frac{7^6}{7^4}

(5^2)^3

(2 \cdot 5)^3

Løs oppgaven

Tierpotenser

Tierpotenser blir nytta svært ofte i kvardagen og innan vitskapen. Mønsteret er enkelt:

Potens	Verdi	Namn
$10^6$	$1\,000\,000$	ein million
$10^3$	$1\,000$	eitt tusen
$10^2$	$100$	eitt hundre
$10^1$	$10$	ti
$10^0$	$1$	ein
$10^{-1}$	$0{,}1$	ein tidel
$10^{-2}$	$0{,}01$	ein hundredel
$10^{-3}$	$0{,}001$	ein tusendel

Huskeregel: Eksponenten til 10 fortel antalet nullor bak 1-talet (for positive eksponentar), eller antalet desimalar (for negative eksponentar).

✏️Døme 4: Praktisk bruk av potenser

a) Ein harddisk har kapasitet på $2^{10}$ megabyte. Kor mange megabyte er det?

b) Skriv $4\,000\,000$ som eit produkt med ein tierpotens.

c) Etter 6 år med 5 % årleg rente har eit beløp vakse med faktoren $1{,}05^6$ . Rekn ut denne faktoren (avrund til to desimalar).

Løysing:

a) $2^{10} = 1024$ megabyte (dette blir kalla 1 gigabyte i daglegtal).

b) $4\,000\,000 = 4 \cdot 1\,000\,000 = 4 \cdot 10^6$

c) $1{,}05^6 = 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 \approx 1{,}34$

Beløpet har altso vakse med 34 % på 6 år.

📝Oppgave 2.4.3

Løys oppgåvene om tierpotenser og praktisk bruk:

Skriv $10^5$ som eit vanlegt tal.

Skriv $3\,000$ ved hjelp av ein tierpotens.

Rekn ut $10^{-2} \cdot 10^5$ .

Ein USB-minnepinne rommar $2^{13}$ megabyte. Kor mange megabyte er dette?

Løs oppgaven

Vanleg feil med negative grunntall

Pass på skilnaden mellom $-3^2$ og $(-3)^2$ :

- $-3^2 = -(3^2) = -9$ — her blir berre 3 kvadrert, og minustegnet står framom
- $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$ — her blir heile $(-3)$ kvadrert

Parentesen er avgjerande!

📝Oppgave 2.4.4

Forenkla uttrykkja så langt som mogleg:

\displaystyle \frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4}

(3^2)^2 \cdot 3^{-1}

\displaystyle \frac{(5 \cdot 2)^3}{10^2}

4^3 \cdot 4^{-5}

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Potens: $a^n$ betyr at grunntalet $a$ blir multiplisert med seg sjølv $n$ gonger.
- Spesielle potenser: $a^1 = a$ og $a^0 = 1$ (for $a \neq 0$ ).
- Negativ eksponent: $\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
- Forteikn: $-3^2 = -9$ , men $(-3)^2 = 9$ .

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Grunntall	Talet som blir multiplisert med seg sjølv
Eksponent	Antalet gonger grunntalet blir multiplisert
Tierpotens	Potens med grunntall 10

Potensreglane

a^n \cdot a^m = a^{n+m}

\displaystyle \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}

(a^n)^m = a^{n \cdot m}

- $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.