2.4 Potenser og potensregler

Tallet som doblet seg

En video du har lagt ut, blir delt av 2 personer. Begge deler den videre til 2 nye, som igjen deler til 2 hver. Etter tre runder har videoen nådd $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ nye personer. I stedet for å skrive gangetegnet om og om igjen, skriver matematikken dette som en potens:

$$2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$$

Her er 2 grunntallet og 3 eksponenten. Eksponenten forteller hvor mange ganger grunntallet skal ganges med seg selv. Generelt er $a^n$ produktet av $n$ faktorer som alle er $a$ -- for eksempel $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$. Potenser dukker opp overalt: areal måles i $m^2$, volum i $m^3$, datamengder vokser i toerpotenser, og sparepenger med rentes rente vokser som en potens av vekstfaktoren.

La oss regne noen: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, og $10^3 = 1000$. Med negative grunntall må vi telle fortegn: $(-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = -8$, for tre minuser gir minus, mens $(-2)^4 = 16$, for fire minuser parres opp til pluss. Regelen: odde eksponent bevarer minusen, like eksponent visker den ut.

To spesialtilfeller er verdt å merke seg. $a^1 = a$ -- ett eksemplar av tallet er tallet selv. Og $a^0 = 1$ for alle $a \neq 0$. Hvorfor? Se på mønsteret: $2^3 = 8$, $2^2 = 4$, $2^1 = 2$ -- hver gang eksponenten synker med 1, deler vi på grunntallet. Neste steg blir $2 \div 2 = 1$, altså $2^0 = 1$. Derfor er både $7^1 = 7$, $100^0 = 1$ og $(-4)^0 = 1$.

Under null -- negative eksponenter

Mønsteret fra introen var for godt til å stoppe ved null. Hva skjer hvis eksponenten fortsetter nedover? $2^2 = 4$, $2^1 = 2$, $2^0 = 1$ -- og deler vi på 2 igjen, får vi $\displaystyle 2^{-1} = \frac{1}{2}$ og $\displaystyle 2^{-2} = \frac{1}{4}$. En negativ eksponent betyr altså at vi tar den inverse, den omvendte:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

For eksempel er $\displaystyle 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$, og $\displaystyle 10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001$. Flere: $\displaystyle 5^{-2} = \frac{1}{25} = 0{,}04$, $\displaystyle 10^{-4} = \frac{1}{10\,000} = 0{,}0001$ og $\displaystyle 2^{-3} = \frac{1}{8} = 0{,}125$. Negative eksponenter beskriver det bittesmå, akkurat som positive beskriver det enorme.

Når vi regner med potenser, slipper vi heldigvis å skrive ut alle faktorene -- vi har fire potensregler. Regel 1: ved multiplikasjon med likt grunntall legger vi sammen eksponentene, $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$. Logisk nok: $3^4 \cdot 3^2$ er fire treere ganget med to treere, altså seks treere: $3^6 = 729$.

Regel 2: ved divisjon med likt grunntall trekker vi fra eksponentene, $\displaystyle \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$. For eksempel $\displaystyle \frac{5^7}{5^3} = 5^4 = 625$ -- tre av femmerne forkortes bort. Regel 3: potens av potens ganger eksponentene, $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$, slik at $(2^3)^4 = 2^{12} = 4096$. Og regel 4: potens av et produkt fordeles på faktorene, $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, som i $(3 \cdot 4)^2 = 3^2 \cdot 4^2 = 9 \cdot 16 = 144$. Alle reglene gjelder for $a \neq 0$ (og $b \neq 0$ i regel 4).

Tierpotenser, minnekort og voksende sparepenger

Av alle potenser er tierpotensene de mest brukte i hverdagen. Mønsteret deres er behagelig enkelt: $10^6$ er en million, $10^3$ er et tusen, $10^2$ er hundre, $10^1$ er ti og $10^0$ er én. Under null fortsetter det: $10^{-1} = 0{,}1$ er en tidel, $10^{-2} = 0{,}01$ en hundredel og $10^{-3} = 0{,}001$ en tusendel. Huskeregelen er grei: positiv eksponent forteller antall nuller bak 1-tallet, negativ eksponent forteller antall desimaler. Store tall skrives ofte som produkt med en tierpotens: $4\,000\,000 = 4 \cdot 10^6$.

Datamaskinene foretrekker toerpotenser. Et minnekort på «$2^{10}$ megabyte» rommer $2^{10} = 1024$ megabyte -- det vi i dagligtale kaller en gigabyte. Det er ingen tilfeldighet at tallene 256, 512 og 1024 går igjen i alt av elektronikk: de er $2^8$, $2^9$ og $2^{10}$.

Og husker du rentesrenten fra kapittel 1? Der lå potensene og ventet på oss. Etter 6 år med 5 % årlig rente har sparepengene vokst med faktoren $1{,}05^6 = 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 \approx 1{,}34$ -- beløpet har vokst med 34 %. Potensen samler seks års vekst i ett eneste uttrykk.

Til slutt en advarsel du kjenner igjen fra kapittelet om regnerekkefølge, og som er enda viktigere nå: $-3^2$ og $(-3)^2$ er ikke det samme. I $-3^2 = -(3^2) = -9$ kvadreres bare 3-tallet, og minusen står utenfor. I $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$ kvadreres hele det negative tallet. Parentesen er avgjørende -- den lille buen skiller $-9$ fra $9$.

Fortellingen om potensene -- kort fortalt

Videoen som ble delt og delt igjen, viste oss hva en potens er: $a^n$ betyr $n$ faktorer av grunntallet $a$, slik $2^3 = 8$. Vi lærte spesialtilfellene $a^1 = a$ og $a^0 = 1$, og at mønsteret fortsetter under null: en negativ eksponent gir den inverse, $\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, slik at $\displaystyle 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

De fire potensreglene sparer oss for å skrive ut faktorer: likt grunntall ganget gir sum av eksponenter ($a^n \cdot a^m = a^{n+m}$), delt gir differanse ($\displaystyle \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$), potens av potens ganger eksponentene ($(a^n)^m = a^{nm}$), og potens av produkt fordeles på faktorene ($(ab)^n = a^n b^n$).

Tierpotensene ga oss et språk for det store og det små -- fra $10^6$ for millionen til $10^{-3}$ for tusendelen -- mens toerpotensene som $2^{10} = 1024$ styrer minnekort og datamengder, og vekstfaktoren $1{,}05^6 \approx 1{,}34$ viste hvordan sparepenger vokser med rentes rente.

Og så fellen vi aldri går i igjen: $-3^2 = -9$, men $(-3)^2 = 9$. I neste kapittel snur vi potensene på hodet og møter røttene -- og tierpotensene får sin store opptreden i standardform.