1.2 Gjentatt prosentvis endring | Matematikk 1P

Bruke vekstfaktor for gjentatt prosentvis endring over tid.

45 min

7 oppgaver

VekstfaktorEksponentiell vekstForrentningInflasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Prosentregning

Brukes videre i

3.3Eksponentialfunksjoner

Renter

Når du set pengar i banken, får du renter. Renta er bankens betaling til deg for å låne pengane dine.

Innskudd = beløpet du set inn
Rentesats = prosenten du får i rente per år (p.a. = per annum = per år)
Renter = beløpet du tener

Enkel rente

\text{Rente} = \text{Innskudd} \cdot \text{rentesats} \cdot \text{antall år}

✏️Døme 1: Enkel rente

Du set 10 000 kr i banken med 3% årleg rente. Kor mykje har du etter 4 år med enkel rente?

Løysing:

Rente per år $= 10\,000 \cdot 0{,}03 = 300$ kr

Etter 4 år:
- Total rente $= 300 \cdot 4 = 1\,200$ kr
- Totalt beløp $= 10\,000 + 1\,200 = 11\,200$ kr

Eller med formel: $R = 10\,000 \cdot 0{,}03 \cdot 4 = 1\,200$ kr

Rentesrente (samansett rente)

I røynda brukar bankane rentesrente. Det betyr at renta blir lagd til kapitalen, og neste år blir renta bereikna av det nye, høgare beløpet.

Dette gjev eksponensiell vekst - pengane dine veks raskare og raskare!

Rentesrente

K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n

✏️Døme 2: Rentesrente

Du set 10 000 kr i banken med 3% årleg rente og rentesrente. Kor mykje har du etter 4 år?

Løysing:

$K_0 = 10\,000$ kr, $r = 0{,}03$ , $n = 4$

$K_4 = 10\,000 \cdot (1{,}03)^4 = 10\,000 \cdot 1{,}1255 = 11\,255$ kr

Samanlikning med enkel rente:
- Enkel rente gav 11 200 kr
- Rentesrente gav 11 255 kr
- Skilnad: 55 kr meir med rentesrente

📊Utforsk: Rentesrente mot enkel rente

Blå graf viser $10\,000$ kr med 5 % rentesrente, raud graf viser enkel rente (500 kr per år). Sjå korleis skilnaden veks med tida – flytt deg utover x-aksen og samanlikn verdiane etter 10, 20 og 30 år.

📝Oppgave 2.1

Bereikne slutt-kapital med rentesrente:

5000 kr i 3 år med 4% rente

20 000 kr i 5 år med 2,5% rente

8000 kr i 10 år med 3,5% rente

Løs oppgaven Tren

72-regelen er ein enkel huskeregel for å anslå kor lang tid det tar å doble pengane:

$\text{År for dobling} \approx \frac{72}{\text{rentesats i prosent}}$

Med 6% rente: $\displaystyle \frac{72}{6} = 12$ år for å doble pengane.
Med 3% rente: $\displaystyle \frac{72}{3} = 24$ år for å doble pengane.

📝Oppgave 2.2

Bruk 72-regelen til å anslå:

Kor mange år tek det å doble pengane med 4% rente?

Kor mange år tek det å doble pengane med 8% rente?

Kva rente trengst for å doble på 6 år?

Løs oppgaven Tren

Praktisk sparing

I praksis blir renta ofte bereikna månadsvis, kvartalsvis eller daglegt. Då må vi justere formelen:

$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot n}$

der $m$ = antall gonger renta blir bereikna per år

✏️Døme 3: Månadsleg renteberegning

Du set 15 000 kr i banken med 3,6% årleg rente som blir rekna månadsvis. Kor mykje har du etter 2 år?

Løysing:

$r = 0{,}036$ , $m = 12$ (månadsvis), $n = 2$ år

Månadsvis rente $\displaystyle = \frac{0{,}036}{12} = 0{,}003$

$K_2 = 15\,000 \cdot (1{,}003)^{24} = 15\,000 \cdot 1{,}0745 = 16\,117{,}50$ kr

(Med årleg rekning: $15\,000 \cdot 1{,}036^2 = 16\,099{,}44$ kr - litt mindre)

📝Oppgave 2.3

Løys praktiske renteoppgåver:

Mari set 25 000 kr i BSU med 5% rente. Kor mykje har ho etter 3 år?

Ole har 50 000 kr. Med 4% rente, kor mykje har han etter 7 år?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Enkel rente: Renta blir rekna berre av det opphavlege beløpet: $R = K \cdot r \cdot n$
- Rentesrente: Renta blir lagt til kapitalen og gir «rente på renta»: $K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n$
- 72-regelen: Antal år før eit beløp doblar seg $\displaystyle \approx \frac{72}{\text{rente i prosent}}$

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Enkel rente	Rente berre av opphavleg innskot
Rentesrente	Rente av kapital + tidlegare rentar
Vekstfaktor	$1 + r$ , der $r$ er renta som desimaltal
72-regelen	Huskeregel for doblingstid

Viktige formlar

- Enkel rente:

R = K \cdot r \cdot n

- Rentesrente:

K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n

- Doblingstid:

\displaystyle \approx \frac{72}{p}

år ved

p\,\%

rente

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.