1.2 Gjentatt prosentvis endring

Sommerjobbpengene

Etter en hel sommer bak kassa i dagligvarebutikken har du klart å spare 10 000 kr. Pengene skal du egentlig bruke på førerkort om noen år, men hva gjør du med dem i mellomtiden? Lar du dem ligge i skuffen, er de verdt nøyaktig like mye om fire år. Setter du dem i banken, skjer det noe interessant: pengene begynner å vokse.

Når du setter penger i banken, får du renter. Renten er bankens betaling til deg for å få låne pengene dine -- for det er faktisk det som skjer; banken bruker innskuddet ditt til å låne ut til andre. Beløpet du setter inn, kalles innskuddet eller kapitalen. Rentesatsen er prosenten du får i rente per år -- ofte skrevet «p.a.», som er latin for per annum, per år. Og rentene er selve kronebeløpet du tjener.

Si at banken tilbyr 3 % rente per år. Hvor mye blir sommerjobbpengene verdt etter fire år? Svaret avhenger av noe du kanskje ikke har tenkt på: om banken regner enkel rente eller rentesrente. Forskjellen virker liten i starten, men over tid blir den stor -- og den forklarer hvorfor de som begynner å spare tidlig, får så mye igjen for det. La oss følge de 10 000 kronene dine gjennom begge variantene.

Enkel rente -- samme beløp hvert år

Ved enkel rente beregnes renten bare av det opprinnelige beløpet, år etter år. Formelen er

$$R = K \cdot r \cdot n$$

der $K$ er kapitalen (innskuddet), $r$ er rentesatsen skrevet som desimaltall, og $n$ er antall år. Renten du tjener, er altså den samme hvert eneste år.

La oss regne på sparepengene dine: 10 000 kr med 3 % årlig rente i fire år. Renten per år blir $10\,000 \cdot 0{,}03 = 300$ kr. Etter fire år har du tjent $300 \cdot 4 = 1200$ kr i renter, og totalt har du $10\,000 + 1200 = 11\,200$ kr. Med formelen direkte: $R = 10\,000 \cdot 0{,}03 \cdot 4 = 1200$ kr.

Enkel rente er grei å regne med, og den dukker opp i noen sammenhenger, for eksempel ved forsinkelsesrenter. Men legg merke til noe: rentene på 300 kr fra det første året bare ligger der -- de tjener ingenting selv. Det føles litt urettferdig, ikke sant? Pengene dine jobber, men lønna deres får ikke lov til å jobbe videre. I virkeligheten gjør bankene det annerledes, og det er der det begynner å bli spennende.

Rentesrente -- renter som tjener renter

I virkeligheten bruker bankene rentesrente, også kalt sammensatt rente. Da legges renten til kapitalen ved slutten av året, og neste år beregnes renten av det nye, høyere beløpet. Rentene dine begynner altså selv å tjene renter!

Her kommer vekstfaktoren fra forrige kapittel til sin rett. Hvert år ganges kapitalen med $(1 + r)$, og etter $n$ år har vi ganget med denne faktoren $n$ ganger:

$$K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n$$

der $K_0$ er startkapitalen, $r$ er den årlige rentesatsen som desimaltall, og $K_n$ er det du har etter $n$ år.

Sparepengene dine igjen: $K_4 = 10\,000 \cdot (1{,}03)^4 = 10\,000 \cdot 1{,}1255 = 11\,255$ kr. Sammenlign med enkel rente, som ga 11 200 kr -- rentesrenten ga 55 kr mer. «Bare 55 kr?» tenker du kanskje. Men dette er etter fire år med lav rente. Effekten av rentesrente forsterker seg for hvert år, fordi veksten er eksponentiell: pengene vokser raskere og raskere, som en snøball som ruller nedover en bakke.

Hvor lang tid tar det å doble pengene? Her finnes en berømt huskeregel, 72-regelen: antall år før beløpet dobles er omtrent $\displaystyle \frac{72}{\text{rentesatsen i prosent}}$. Med 6 % rente tar det $\displaystyle \frac{72}{6} = 12$ år å doble pengene; med 3 % rente tar det $\displaystyle \frac{72}{3} = 24$ år. Det er denne langsomme, men ustoppelige doblingen som gjør at tidlig sparing lønner seg så voldsomt.

Når renten beregnes hver måned

Banken din regner kanskje ikke renter bare én gang i året. I praksis beregnes renten ofte månedlig, kvartalsvis eller til og med daglig. Da må vi justere formelen litt. Hvis renten beregnes $m$ ganger per år, får du $\displaystyle \frac{r}{m}$ i rente hver gang, men til gjengjeld skjer det $m \cdot n$ ganger i løpet av $n$ år:

$$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot n}$$

La oss si at du har fått samlet opp 15 000 kr, og banken gir 3,6 % årlig rente som beregnes månedlig. Da er $r = 0{,}036$ og $m = 12$, så den månedlige renten er $\displaystyle \frac{0{,}036}{12} = 0{,}003$, altså 0,3 % per måned. Etter to år har renten blitt lagt til $12 \cdot 2 = 24$ ganger:

$$K_2 = 15\,000 \cdot (1{,}003)^{24} = 15\,000 \cdot 1{,}0745 = 16\,117{,}50 \text{ kr}$$

Hva om banken heller hadde beregnet renten årlig? Da hadde du fått $15\,000 \cdot 1{,}036^2 = 16\,099{,}44$ kr -- litt mindre. Hyppigere renteberegning gir altså litt mer, av samme grunn som før: rentene begynner å jobbe tidligere. Forskjellen er ikke dramatisk, men prinsippet er verdt å kjenne når du sammenligner sparekontoer.

Fortellingen om sparepengene -- kort fortalt

De 10 000 kronene fra sommerjobben har lært oss hvordan penger vokser. Med enkel rente beregnes renten bare av det opprinnelige beløpet: $R = K \cdot r \cdot n$. Hvert år ga det samme 300 kr, og etter fire år sto du med 11 200 kr.

Med rentesrente -- slik bankene faktisk regner -- legges renten til kapitalen, og neste års rente beregnes av det nye beløpet. Da ganger vi med vekstfaktoren $(1+r)$ for hvert år: $K_n = K_0 \cdot (1+r)^n$, som ga 11 255 kr. Forskjellen var beskjedne 55 kr på fire år, men veksten er eksponentiell og skyter fart over tid. 72-regelen ga oss et raskt anslag på doblingstiden: omtrent $\displaystyle \frac{72}{p}$ år når renten er $p$ prosent.

Til slutt så vi at renten i praksis ofte beregnes månedlig. Da fordeles årsrenten på 12 deler, men legges til 12 ganger i året: $\displaystyle K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot n}$ -- og jo oftere renten legges til, desto litt mer vokser pengene.

Den store lærdommen? Tid er sparerens beste venn. Jo tidligere pengene settes i arbeid, desto lenger får rentene jobbe -- og rentene av rentene, og rentene av dem igjen.