1.2 Gjentatt prosentvis endring | Matematikk 1P

Bruke vekstfaktor for gjentatt prosentvis endring over tid.

45 min

7 oppgaver

VekstfaktorEksponentiell vekstForrentningInflasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Prosentregning

Brukes videre i

3.3Eksponentialfunksjoner

Renter

Når du setter penger i banken, får du renter. Renten er bankens betaling til deg for å låne pengene dine.

Innskudd = beløpet du setter inn
Rentesats = prosenten du får i rente per år (p.a. = per annum = per år)
Renter = beløpet du tjener

Enkel rente

\text{Rente} = \text{Innskudd} \cdot \text{rentesats} \cdot \text{antall år}

✏️Eksempel 1: Enkel rente

Du setter 10 000 kr i banken med 3% årlig rente. Hvor mye har du etter 4 år med enkel rente?

Løsning:

Rente per år $= 10\,000 \cdot 0{,}03 = 300$ kr

Etter 4 år:
- Total rente $= 300 \cdot 4 = 1\,200$ kr
- Totalt beløp $= 10\,000 + 1\,200 = 11\,200$ kr

Eller med formel: $R = 10\,000 \cdot 0{,}03 \cdot 4 = 1\,200$ kr

Rentesrente (sammensatt rente)

I virkeligheten bruker bankene rentesrente. Det betyr at renten legges til kapitalen, og neste år beregnes renten av det nye, høyere beløpet.

Dette gir eksponentiell vekst - pengene dine vokser raskere og raskere!

Rentesrente

K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n

✏️Eksempel 2: Rentesrente

Du setter 10 000 kr i banken med 3% årlig rente og rentesrente. Hvor mye har du etter 4 år?

Løsning:

$K_0 = 10\,000$ kr, $r = 0{,}03$ , $n = 4$

$K_4 = 10\,000 \cdot (1{,}03)^4 = 10\,000 \cdot 1{,}1255 = 11\,255$ kr

Sammenligning med enkel rente:
- Enkel rente ga 11 200 kr
- Rentesrente ga 11 255 kr
- Forskjell: 55 kr mer med rentesrente

📊Utforsk: Rentesrente mot enkel rente

Blå graf viser $10\,000$ kr med 5 % rentesrente, rød graf viser enkel rente (500 kr per år). Se hvordan forskjellen vokser med tiden – flytt deg utover x-aksen og sammenlign verdiene etter 10, 20 og 30 år.

📝Oppgave 2.1

Beregn sluttkapital med rentesrente:

5000 kr i 3 år med 4% rente

20 000 kr i 5 år med 2,5% rente

8000 kr i 10 år med 3,5% rente

Løs oppgaven Tren

72-regelen er en enkel huskeregel for å anslå hvor lang tid det tar å doble pengene:

$\text{År for dobling} \approx \frac{72}{\text{rentesats i prosent}}$

Med 6% rente: $\displaystyle \frac{72}{6} = 12$ år for å doble pengene.
Med 3% rente: $\displaystyle \frac{72}{3} = 24$ år for å doble pengene.

📝Oppgave 2.2

Bruk 72-regelen til å anslå:

Hvor mange år tar det å doble pengene med 4% rente?

Hvor mange år tar det å doble pengene med 8% rente?

Hvilken rente trengs for å doble på 6 år?

Løs oppgaven Tren

Praktisk sparing

I praksis beregnes ofte renten månedlig, kvartalvis eller daglig. Da må vi justere formelen:

$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot n}$

der $m$ = antall ganger renten beregnes per år

✏️Eksempel 3: Månedlig renteberegning

Du setter 15 000 kr i banken med 3,6% årlig rente som beregnes månedlig. Hvor mye har du etter 2 år?

Løsning:

$r = 0{,}036$ , $m = 12$ (månedlig), $n = 2$ år

Månedlig rente $\displaystyle = \frac{0{,}036}{12} = 0{,}003$

$K_2 = 15\,000 \cdot (1{,}003)^{24} = 15\,000 \cdot 1{,}0745 = 16\,117{,}50$ kr

(Med årlig beregning: $15\,000 \cdot 1{,}036^2 = 16\,099{,}44$ kr - litt mindre)

📝Oppgave 2.3

Løs praktiske renteoppgaver:

Mari setter 25 000 kr i BSU med 5% rente. Hvor mye har hun etter 3 år?

Ole har 50 000 kr. Med 4% rente, hvor mye har han etter 7 år?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Enkel rente: Renten beregnes bare av det opprinnelige beløpet: $R = K \cdot r \cdot n$
- Rentesrente: Renten legges til kapitalen og gir «rente på renten»: $K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n$
- 72-regelen: Antall år før et beløp dobles $\displaystyle \approx \frac{72}{\text{rente i prosent}}$

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Enkel rente	Rente bare av opprinnelig innskudd
Rentesrente	Rente av kapital + tidligere renter
Vekstfaktor	$1 + r$ , der $r$ er renten som desimaltall
72-regelen	Huskeregel for doblingstid

Viktige formler

- Enkel rente:

R = K \cdot r \cdot n

- Rentesrente:

K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n

- Doblingstid:

\displaystyle \approx \frac{72}{p}

år ved

p\,\%

rente

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.