8.2 Kvadratsetningene

Første, andre og tredje kvadratsetning med bevis og anvendelser.

55 min

8 oppgaver

KvadratsetningerKonjugatsetningenAlgebraiske identiteter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Multiplikasjon av polynomer

Kvadratsetningane

Når vi multipliserer polynom, dukkar det opp nokre spesielle mønster som går igjen. Dei tre kvadratsetningane er slike mønster — dei let oss utvide og faktorisere uttrykk raskt utan å bruke FOIL kvar gang.

Desse setningane er mellom dei viktigaste verktøya i algebra, og du vil bruke dei i mange samanhengar: løysingsteknikk, funksjonsanalyse, og vidare i matematikken.

I dette kapittelet skal du lære:
- Første kvadratsetning: $(a + b)^2$
- Andre kvadratsetning: $(a - b)^2$
- Konjugatsetningen (tredje kvadratsetning): $(a + b)(a - b)$
- Geometriske bevis for alle tre setningane

Første kvadratsetning

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Tenk deg eit kvadrat med side $a + b$ . Arealet av heile kvadratet er $(a + b)^2$ .

Vi kan dele dette kvadratet i fire delar:

$a$	$b$
$a$	$a^2$	$ab$
$b$	$ab$	$b^2$

- Øverst til venstre: eit kvadrat med side

a

, areal

a^2

- Øverst til høgre: eit rektangel med sider

a

b

, areal

ab

- Nederst til venstre: eit rektangel med sider

b

a

, areal

ab

- Nederst til høgre: eit kvadrat med side $b$ , areal $b^2$
Totalt areal: $a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Denne geometriske modellen syner tydeleg kvifor det dobbelte produktet $2ab$ dukkar opp: vi får to like rektangel.

✏️Døme: Første kvadratsetning

Utvid $(x + 4)^2$ .

Vi bruker første kvadratsetning med

a = x

b = 4

$(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$

Svar: $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$

Vanlege feil!

Mange skriv feilaktig:

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 \quad \text{FEIL!}$

Du gløymer det dobbelte produktet $2ab$ . Rett er:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ein rask kontroll: $(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$ , men $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \neq 49$ .

📝Oppgave 1

Bruk første kvadratsetning til å utvide:

(x + 3)^2

(x + 5)^2

(2x + 1)^2

(3x + 2)^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Emma har skrive:

$(x + 5)^2 = x^2 + 25$

Finn feilen og skriv rett utrekning.

Andre kvadratsetning

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Tenk deg eit stort kvadrat med side

a

. Vi trekkjer frå ein stripe med breidd

b

langs to sider.

Start med det store kvadratet med areal $a^2$ .

Vi fjernar to rektangel med areal $ab$ kvar (langs høgre side og bunnen). Men då har vi fjerna hjørnekvadratet med areal $b^2$ to gonger, så vi legg det til éin gong.

$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Det gjenværande arealet er nettopp $(a - b)^2$ , altså arealet av eit kvadrat med side $(a - b)$ .

Dermed er $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .

✏️Døme: Andre kvadratsetning

Utvid $(x - 6)^2$ .

Vi brukar andre kvadratsetning med

a = x

b = 6

$(x - 6)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 - 12x + 36$

Svar: $(x - 6)^2 = x^2 - 12x + 36$

📝Oppgave 2

Bruk andre kvadratsetning til å utvida:

(x - 2)^2

(x - 7)^2

(3x - 4)^2

(5x - 1)^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Kva av desse uttrykkja er lik $(x - 3)^2$ ?

Konjugatsetningen (tredje kvadratsetning)

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Tenk deg eit stort kvadrat med side

a

og areal

a^2

. Frå hjørnet klippar vi bort eit lite kvadrat med side

b

og areal

b^2

Det gjenværande arealet er $a^2 - b^2$ . Denne L-forma figuren kan vi klippe opp og setja saman til eit rektangel:

- Vi klippar langs den vannrette linja som skil det store og lite kvadratet.
- Vi får to delar: eit rektangel med sider $(a + b)$ og $(a - b)$ .

Arealet av rektangelet er $(a + b)(a - b)$ .

Sidan arealet er det same som det vi starta med, har vi synt at:

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

✏️Døme: Konjugatsetningen

Utvid $(x + 8)(x - 8)$ .

Vi brukar konjugatsetningen med

a = x

b = 8

$(x + 8)(x - 8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64$

Svar: $(x + 8)(x - 8) = x^2 - 64$

✏️Døme: Hoderegning med konjugatsetningen

Rekn ut $47 \cdot 53$ i hodet.

Vi skriv om tala:

$47 \cdot 53 = (50 - 3)(50 + 3)$

No brukar vi konjugatsetningen med $a = 50$ og $b = 3$ :

$= 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491$

Svar: $47 \cdot 53 = 2491$

Konjugatsetningen er nyttig for å gjera multiplikasjonar enklare!

📝Oppgave 4

Bruk konjugatsetningen til å utvida:

(x + 5)(x - 5)

(2x + 3)(2x - 3)

(x + 10)(x - 10)

(4x + 7)(4x - 7)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Bruk konjugatsetningen til å rekne ut i hovudet:

28 \cdot 32

99 \cdot 101

43 \cdot 37

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Vis at for alle positive heiltal

n

n^2 - (n-1)^2

alltid eit oddetal. Bruk ein av kvadratsetningane i beviset ditt.

De tre kvadratsetningane er:

Setning	Formel
Første kvadratsetning	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Andre kvadratsetning	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Konjugatsetningen	$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Tips for å hugse:
- I dei to første setningane er det tre ledd i svaret — ikkje gløym midtleddet

\pm 2ab

!
- I konjugatsetningen er det berre to ledd — midtledda slår kvarandre ut.
- Det siste leddet i første og andre kvadratsetning er alltid positivt (

b^2

- Alle tre kan visast geometrisk med areal av kvadrat og rektangel.

📝Oppgave 6

Avgjer kva kvadratsetning som passar, og utvikl:

(x + 9)^2

(x - 11)(x + 11)

(2x - 5)^2

(3x + 4)(3x - 4)

(x + 0{,}5)^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Forenkl uttrykka ved å bruke kvadratsetningane:

(x + 3)^2 - (x - 3)^2

(x + 4)^2 - (x + 4)(x - 4)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Eit kvadratisk hagebedd har side $x$ meter. Eigaren utvider bedet med $3$ meter i begge retningar (lengd og breidd). Bruk ein kvadratsetning til å finne uttrykket for det nye arealet. Kor mykje auka arealet med?

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.