10.1 Kongruens og kongruenssetningene

Kongruente figurer og kongruenssetningene SSS, SVS, VSV.

55 min

8 oppgaver

KongruensSSSSVSVSVTrekanter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

10.2Formlike figurer og målestokk

Kongruens og kongruenssetningane

Har du nokon gong lagt merke til at to puslespillbrikker passar perfekt oppå kvarandre? Eller at to nøklar til same låsen er heilt identiske? Då har du allereie møtt begrepet kongruens i kvardagen.

I geometrien handlar kongruens om figurar som har nøyaktig same form og storleik. Viss du kan leggje den eine figuren oppå den andre slik at dei dekker kvarandre heilt, er dei kongruente.

I dette kapitlet skal du lære:
- Kva det betyr at to figurar er kongruente
- Die fire kongruenssetningane for trekanter (SSS, SVS, VSV, ASA)
- Korleis du brukar kongruenssetningane til å bevise at trekanter er kongruente
- Praktiske bruksområde av kongruens

Kongruente figurar

\triangle ABC \cong \triangle DEF

Kongruens handlar om geometriske figurar, medan likskap handlar om tal og uttrykk. Vi skriv $\cong$ for kongruens og $=$ for likskap.

Ein kongruent figur kan vere speilvendt eller rotert i forhold til den andre. Det viktige er at forma og storsleiken er den same. Tenk deg at du klipper ut ein trekant i papir – uansett korleis du snu eller vend papirbiten, er trekanten kongruent med den opphavlege.

✏️Døme: Identifisere kongruente figurar

Tenk deg to trekanter: Trekant ABC har sidene $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm og $AC = 6$ cm. Trekant DEF har sidene $DE = 5$ cm, $EF = 7$ cm og $DF = 6$ cm. Er trekantane kongruente? I så fall, angi kongruensen med riktig samsvar.

Løysing:

Vi samanliknar sidene:
- $AB = 5$ cm og $DE = 5$ cm $\Rightarrow$ $AB = DE$
- $BC = 7$ cm og $EF = 7$ cm $\Rightarrow$ $BC = EF$
- $AC = 6$ cm og $DF = 6$ cm $\Rightarrow$ $AC = DF$

Alle tre par av samsvarande sider er like lange.

Svar: Ja, trekantane er kongruente: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

📝Oppgave 1

Tenk deg to trekanter PQR og STU der $PQ = 4$ cm, $QR = 8$ cm, $PR = 6$ cm, $ST = 8$ cm, $TU = 6$ cm og $SU = 4$ cm. Er trekantane kongruente? Viss ja, skriv kongruensen med riktig samsvar mellom hjørna.

SSS-setningen (side, side, side)

AB = DE

✏️Døme: Bruke SSS-setningen

Tenk deg ein firkant ABCD der diagonalen BD deler firkanten i to trekanter: $\triangle ABD$ og $\triangle CBD$ . Vi veit at $AB = CB = 5$ cm og $AD = CD = 7$ cm. Vis at $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ .

Løysing:

Vi samanliknar sidene i dei to trekantane:

1. $AB = CB = 5$ cm (gitt)
2. $AD = CD = 7$ cm (gitt)
3. $BD = BD$ (felles side)

Alle tre par av samsvarande sider er like, så etter SSS-setningen er

$\triangle ABD \cong \triangle CBD$

Legg merke til at vi brukte at sida $BD$ er felles for båe trekantane. Dette er eit vanleg triks i geometriske bevis.

📝Oppgave 2

Tenk deg eit rektangel ABCD der $AB = CD = 8$ cm og $BC = AD = 5$ cm. Diagonalen AC deler rektangelet i to trekanter. Bruk SSS-setningen til å vise at $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ .

SVS-setningen (side, vinkel, side)

AB = DE

✏️Døme: Bruke SVS-setningen

Tenk deg to trekanter ABC og DEF der $AB = DE = 6$ cm, $\angle A = \angle D = 50°$ og $AC = DF = 9$ cm. Er trekantane kongruente?

Løysing:

Vi sjekkar kriteria for SVS:
1. $AB = DE = 6$ cm (side)
2. $\angle A = \angle D = 50°$ (vinkel mellom sidene)
3. $AC = DF = 9$ cm (side)

Vinkelen $\angle A$ ligg mellom sidene $AB$ og $AC$ , og vinkelen $\angle D$ ligg mellom sidene $DE$ og $DF$ .

Etter SVS-setningen er $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

📝Oppgave 3

Tenk deg ein likebeint trekant ABC der $AB = AC = 10$ cm. Punktet M er midtpunktet på BC. Vis at $\triangle ABM \cong \triangle ACM$ .

VSV-setningen (vinkel, side, vinkel)

\angle A = \angle D

✏️Døme: Bruke VSV-setningen

Tenk deg to trekanter ABC og DEF der $\angle A = \angle D = 40°$ , $AB = DE = 7$ cm og $\angle B = \angle E = 65°$ . Vis at trekantane er kongruente og finn den tredje vinkelen.

Løysing:

Vi sjekkar kriteria for VSV:
1. $\angle A = \angle D = 40°$ (vinkel)
2. $AB = DE = 7$ cm (side mellom vinklane)
3. $\angle B = \angle E = 65°$ (vinkel)

Etter VSV-setningen er $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

Den tredje vinkelen finn vi ved å bruke at vinkelsummen i ein trekant er $180°$ :

$\angle C = 180° - 40° - 65° = 75°$

Sidan trekantane er kongruente, har vi også $\angle F = 75°$ .

📝Oppgave 4

Tenk deg to trekanter KLM og PQR der $\angle K = \angle P = 55°$ , $KL = PQ = 9$ cm og $\angle L = \angle Q = 70°$ . a) Vis at $\triangle KLM \cong \triangle PQR$ . b) Finn alle vinklar og begrunn kvifor dei samsvarande sidene $LM$ og $QR$ også må vere like lange.

Vis at $\triangle KLM \cong \triangle PQR$ .

Finn alle vinklar og begrunn kvifor $LM = QR$ .

Når du skal vise at to trekanter er kongruente, fylg denne framgangsmåten:

1. Skriv opp kva du veit om sidene og vinklane i begge trekantane.
2. Sjå etter felles sider – viss trekantane deler ein side, er den felles sida automatisk lik.
3. Sjå etter toppvinklar – vertikale vinklar (toppvinklar) er alltid like store.
4. Vel setning:
- Kjenner du 3 sider? Bruk SSS.
- Kjenner du 2 sider og vinkelen mellom? Bruk SVS.
- Kjenner du 2 vinklar og sida mellom? Bruk VSV.
- Kjenner du 2 vinklar og ein side (ikkje mellom)? Bruk AAS.

Husk: SSV (side-side-vinkel) er IKKJE ein gyldig kongruenssetning med mindre vinkelen ligg overfor den lengste av dei to sidene.

✏️Døme: Velje riktig kongruenssetning

Tenk deg to trekanter som blir danna når to linjestykke AB og CD kryss kvarandre i punktet M, slik at M er midtpunktet på båe linjestykkja. Altso er $AM = MB$ og $CM = MD$ . Vis at $\triangle AMC \cong \triangle BMD$ .

Løysing:

Vi identifiserer det vi veit:
1. $AM = MB$ (M er midtpunktet på AB)
2. $CM = MD$ (M er midtpunktet på CD)
3. $\angle AMC = \angle BMD$ (toppvinklar er like store)

Vi har to sider og vinkelen mellom dei:
- Side: $AM = MB$
- Vinkel: $\angle AMC = \angle BMD$ (mellom sidene)
- Side: $CM = MD$

Etter SVS-setningen er $\triangle AMC \cong \triangle BMD$ .

Merk: Vi brukte at toppvinklar er like store. Når to linjer kryss kvarandre, er vinklane rett overfor kvarandre (toppvinklane) alltid like store.

📝Oppgave 5

Tenk deg eit parallellogram ABCD der AB er parallell med DC og AD er parallell med BC. Diagonalen AC deler parallellogrammet i to trekanter. Vis at $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ . Kva kongruenssetning bruker du?

Kongruens er viktig i mange praktiske samanhengar:

Bygg og konstruksjon: Når du byggjer ein takstol, lagar du to kongruente trekanter for at taket skal bli symmetrisk. Tømmrar bruker malar for å sikre at alle delane er kongruente.

Industri: I masseproduksjon må alle delane vere kongruente for at dei skal passa saman. Skruer, mutterar og maskinkomponentar blir laga etter nøyaktige mål.

Geometriske konstruksjonar: Når du bruker passar og linjal til å konstruere geometriske figurar, bruker du eigentleg kongruenssetningane. For eksempel er SSS-setningen grunnen til at du kan konstruere ein trekant når du kjenner alle tre sidene.

📝Oppgave 6

Tenk deg ein likebeint trekant ABC der $AB = AC$ . Frå B og C blir det drege linjer vinkelrett ned på dei motsette sidene. Linja frå B treffer AC i punktet D, og linja frå C treffer AB i punktet E. Vis at $BD = CE$ .

📝Oppgave F1

Finn feilen! Ola har fått oppgitt følgande om to trekanter ABC og DEF:

- $AB = DE = 6$ cm
- $BC = EF = 8$ cm
- $\angle C = \angle F = 50°$

Ola skriv: «Vi har to sider og ein vinkel som er like, altso kan vi bruke SVS-setningen. Da er $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .»

Finn feilen og forklar kva som er galt.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Viss to trekanter har tre par like vinklar ( $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle E$ , $\angle C = \angle F$ ), er dei alltid kongruente.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Forklar kvifor SSV (side-side-vinkel) ikkje er ein gyldig kongruenssetning. Vis med ein tegning eller eit døme at det finnest to trekanter som oppfyller SSV-kravet utan å vere kongruente. Drøft også: Finnest det nokre spesialtilfelle der SSV likevel gir kongruens?

Oppsummering

Kongruente figurar har nøyaktig same form og storleik.

De fire kongruenssetningane for trekanter:

Setning	Krav
SSS	Tre par like sider
SVS	To par like sider og vinkelen mellom dei
VSV	To par like vinklar og sida mellom dei
AAS	To par like vinklar og ein side (ikkje mellom)

Viktig å hugse:
- Rekkjefølgja på bokstavane i

\triangle ABC \cong \triangle DEF

viser korrespondansen
- Felles sider og toppvinklar er nyttige i bevis
- SSV er ikkje ein gyldig kongruenssetning (med unntak)
- Vinkelsummen

180°

kan brukast til å finne den tredje vinkelen

📝Oppgave 7

Avgjerd kva kongruenssetning som passar i kvart tilfelle, eller om det ikkje er nok informasjon:

Trekant ABC og DEF der $AB = DE = 4$ cm, $BC = EF = 6$ cm, $AC = DF = 5$ cm.

Trekant GHI og JKL der $GH = JK = 7$ cm, $\angle G = \angle J = 48°$ og $HI = KL = 5$ cm.

Trekant MNO og PQR der $\angle M = \angle P = 60°$ , $MN = PQ = 10$ cm og $\angle N = \angle Q = 45°$ .

Trekant STU og VWX der $ST = VW = 3$ cm, $\angle T = \angle W = 90°$ og $TU = WX = 4$ cm.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Tenk deg ein likesidet trekant ABC der alle sidene er $s$ cm. Punktet P ligg inni trekanten slik at $PA = PB$ . Trekk linja frå C gjennom P. Denne linja treffer AB i punktet Q. Vis at $AQ = BQ$ , altso at Q er midtpunktet på AB.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.