GeoGebra/R2 - Realfagsmatematikk/R2.3
R2 - RealfagsmatematikkKapittel R2.3

Vektorer i rommet

Vektorer i rommet utvider vektorbegrepet fra planet til tre dimensjoner. Vi lærer om 3D-vektorer, kryssprodukt og deres anvendelser i geometri og fysikk.

22 min
6 oppgaver
Dette skal du lære
  • •3D-vektorer
  • •Kryssprodukt
  • •Plan
  • •Linje i rommet

3D-vektorer

En vektor i rommet har tre komponenter (x, y, z):

v⃗=(vxvyvz)=vxi⃗+vyj⃗+vzk⃗\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} = v_x\vec{i} + v_y\vec{j} + v_z\vec{k}

Lengde (norm):

∣v⃗∣=vx2+vy2+vz2|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}

Prikkprodukt:

a⃗⋅b⃗=axbx+ayby+azbz=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a} \cdot \vec{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

Gir vinkel θ mellom vektorene og tester ortogonalitet (⊥ hvis = 0)

Eksempel:

La a = (1, 2, 3) og b = (4, 5, 6):

∣a⃗∣=12+22+32=14|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}
a⃗⋅b⃗=1⋅4+2⋅5+3⋅6=32\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\cdot4 + 2\cdot5 + 3\cdot6 = 32

Vektorer i 3D

Visualiser vektorer i rommet.

Laster GeoGebra...

Kryssprodukt

Kryssproduktet av to vektorer gir en ny vektor som står vinkelrett på begge de opprinnelige vektorene:

a⃗×b⃗=(aybz−azbyazbx−axbzaxby−aybx)\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_yb_z - a_zb_y \\ a_zb_x - a_xb_z \\ a_xb_y - a_yb_x \end{pmatrix}

Egenskaper:

  • a × b ⊥ a og a × b ⊥ b
  • |a × b| = |a||b|sin(θ) (areal av parallellogram)
  • a × b = -b × a (anti-kommutativ)
  • a × a = 0

Kryss() i GeoGebra:

Kryss(a, b)

Beregner kryssproduktet automatisk

Eksempel:

Finn a × b der a = (1, 0, 0) og b = (0, 1, 0):

a⃗×b⃗=(0⋅0−0⋅10⋅0−1⋅01⋅1−0⋅0)=(001)\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 - 0\cdot1 \\ 0\cdot0 - 1\cdot0 \\ 1\cdot1 - 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Kryssprodukt

Beregn og visualiser kryssprodukt.

Laster GeoGebra...

Plan i rommet

Et plan kan beskrives på flere måter. Den vanligste er normalform:

n⃗⋅(r⃗−r⃗0)=0\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0) = 0

eller

ax+by+cz=dax + by + cz = d

Normalvektor:

Vektoren n = (a, b, c) står vinkelrett på planet. Hvis du kjenner to vektorer i planet, finn normalvektoren som kryssproduktet deres.

Eksempel:

Finn planet gjennom P(1, 2, 3) med normalvektor n = (2, -1, 1):

2(x−1)−1(y−2)+1(z−3)=02(x-1) - 1(y-2) + 1(z-3) = 0
2x−y+z=32x - y + z = 3

Plan i rommet

Lag plan med normalvektor.

Laster GeoGebra...

Linje i rommet

En linje i rommet kan beskrives parametrisk:

r⃗(t)=r⃗0+tv⃗\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{v}

eller komponentvis:

{x=x0+tvxy=y0+tvyz=z0+tvz\begin{cases} x = x_0 + tv_x \\ y = y_0 + tv_y \\ z = z_0 + tv_z \end{cases}

Tolkning:

  • r₀ = startpunkt på linjen
  • v = retningsvektor (parallell med linjen)
  • t = parameter (ethvert reelt tall)

Linje gjennom to punkter:

Hvis P₁ og P₂ er punkter på linjen, bruk:

r⃗(t)=P⃗1+t(P⃗2−P⃗1)\vec{r}(t) = \vec{P}_1 + t(\vec{P}_2 - \vec{P}_1)

Linje i rommet

Lag linjer med retningsvektor.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...
Ekstra oppgaver
  1. Finn lengden av v = (3, -4, 12)
  2. Beregn (1,2,3) × (4,5,6)
  3. Finn planets ligning gjennom (1,0,0) med normalvektor (1,1,1)
  4. Skriv linjen gjennom (2,1,3) parallell med (1,-1,2)
  5. Sjekk om (1,0,1) og (0,1,1) er ortogonale

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

KommandoBeskrivelseEksempel
Vektor((x, y, z))Lag 3D-vektorVektor((1, 2, 3))
Lengde(v)Finn lengdeLengde(Vektor((3, 4, 0)))
Kryss(a, b)KryssproduktKryss((1,0,0), (0,1,0))
Plan(P, n)Plan gjennom P med normalvektor nPlan((0,0,0), (1,1,1))

Oppsummering

  • Vektor i rommet: (x, y, z) med lengde √(x² + y² + z²)
  • Prikkprodukt: a·b = |a||b|cos(θ)
  • Kryssprodukt: a × b ⊥ a og a × b ⊥ b
  • Plan: ax + by + cz = d med normalvektor (a,b,c)
  • Linje: r(t) = r₀ + tv med retningsvektor v