GeoGebra/R2 - Realfagsmatematikk/R2.5
R2 - RealfagsmatematikkKapittel R2.5

Rekker og følger

Rekker og følger er grunnleggende i matematikk for å beskrive mønstre, summer og grenseverdier. Vi studerer aritmetiske og geometriske følger, samt uendelige rekker.

18 min
5 oppgaver
Dette skal du lære
  • •Aritmetiske følger
  • •Geometriske følger
  • •Rekkesum
  • •Uendelige rekker

Aritmetiske følger

En aritmetisk følge har konstant differanse d mellom ledd:

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d

Egenskaper:

  • a₁ = første ledd
  • d = differanse = aₙ₊₁ - aₙ
  • Lineær vekst

Eksempel:

Følgen 3, 7, 11, 15, ... har a₁ = 3 og d = 4:

an=3+(n−1)⋅4=4n−1a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 1

Sum av n første ledd:

Sn=n(a1+an)2=n(2a1+(n−1)d)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}

Aritmetiske følger

Utforsk aritmetiske følger.

Laster GeoGebra...

Geometriske følger

En geometrisk følge har konstant kvotient k mellom ledd:

an=a1⋅kn−1a_n = a_1 \cdot k^{n-1}

Egenskaper:

  • a₁ = første ledd
  • k = kvotient = aₙ₊₁/aₙ
  • Eksponentiell vekst/avtagning

Eksempel:

Følgen 2, 6, 18, 54, ... har a₁ = 2 og k = 3:

an=2⋅3n−1a_n = 2 \cdot 3^{n-1}

Sum av n første ledd:

Sn=a1⋅kn−1k−1(k≠1)S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1} \quad (k \neq 1)

Geometriske følger

Utforsk geometriske følger.

Laster GeoGebra...

Rekkesum med Sum()

En rekke er summen av leddene i en følge. GeoGebra kan beregne både endelige og uendelige summer:

Sum() syntaks:

Sum(<uttrykk>, <variabel>, <start>, <slutt>)

Beregner summen fra start til slutt.

Eksempel - Aritmetisk sum:

Finn summen 1 + 2 + 3 + ... + 100:

Sum(n, n, 1, 100)

Resultat: 5050

Eksempel - Geometrisk sum:

Finn summen 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... (10 ledd):

Sum((1/2)^(n-1), n, 1, 10)

Sum() kommando

Beregn summer med Sum().

Laster GeoGebra...

Uendelige rekker

En uendelig rekke er summen av uendelig mange ledd:

∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

Konvergens:

En rekke konvergerer hvis summen nærmer seg en endelig verdi. For geometrisk rekke med |k| < 1:

∑n=1∞a1⋅kn−1=a11−k\sum_{n=1}^{\infty} a_1 \cdot k^{n-1} = \frac{a_1}{1-k}

Eksempel - Konvergent rekke:

Finn summen 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...:

∑n=0∞(12)n=11−12=2\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2

Divergens:

Hvis |k| ≥ 1 divergerer rekken (summen blir uendelig eller eksisterer ikke).

Uendelige rekker

Utforsk konvergente rekker.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...
Ekstra oppgaver
  1. Finn det 50. leddet i følgen 5, 9, 13, 17, ...
  2. Finn det 8. leddet i følgen 3, 6, 12, 24, ...
  3. Beregn summen 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 50
  4. Finn summen av uendelig rekke 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...
  5. Bruk Sum() til å beregne 1² + 2² + 3² + ... + 20²

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

KommandoBeskrivelseEksempel
Sum(expr, var, a, b)Sum fra a til bSum(n, n, 1, 100)
Sum(expr, var, a, infinity)Uendelig sumSum((1/2)^n, n, 0, infinity)
Følge(expr, var, a, b)Lag følgeFølge(2n+1, n, 1, 10)
Grense(Sum(...), n, infinity)Grenseverdi av sumGrense(Sum(1/2^k, k, 0, n), n, infinity)

Oppsummering

  • Aritmetisk: aₙ = a₁ + (n-1)d
  • Geometrisk: aₙ = a₁·kⁿ⁻¹
  • Sum() beregner endelige og uendelige summer
  • Geometrisk rekke konvergerer hvis |k| < 1: sum = a₁/(1-k)
  • Følge() lager følger i GeoGebra