GeoGebra/R2 - Realfagsmatematikk/R2.1
R2 - RealfagsmatematikkKapittel R2.1

Integrasjonsteknikker

Integrasjonsteknikker utvider verktøykassen for å løse integraler utover grunnleggende standardformer. Vi ser på delvis integrasjon, substitusjon, delbrøkoppspalting og uegentlige integraler.

25 min
6 oppgaver
Dette skal du lære
  • •Delvis integrasjon
  • •Substitusjon
  • •Delbrøkoppspalting
  • •Uegentlige integraler

Delvis integrasjon

Delvis integrasjon brukes når integranden er et produkt av to funksjoner:

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du

Fremgangsmåte:

  • Velg u (deriveres) og dv (integreres)
  • Finn du = u' dx og v = ∫dv
  • Sett inn i formelen
  • Løs det nye integralet ∫v du

Eksempel:

Finn ∫x·eˣ dx. Velg u = x og dv = eˣ dx:

u=x⇒du=dxu = x \quad \Rightarrow \quad du = dx
dv=exdx⇒v=exdv = e^x dx \quad \Rightarrow \quad v = e^x
∫x⋅exdx=x⋅ex−∫exdx=x⋅ex−ex+C\int x\cdot e^x dx = x\cdot e^x - \int e^x dx = x\cdot e^x - e^x + C

Delvis integrasjon

Løs integraler med produktregel for integrasjon.

Laster GeoGebra...

Substitusjon

Substitusjon brukes når integranden inneholder en sammensatt funksjon. Vi setter u = g(x) og erstatter dx med du:

∫f(g(x))⋅g′(x) dx=∫f(u) du\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

Fremgangsmåte:

  • Velg u = den indre funksjonen
  • Finn du = u' dx
  • Erstatt i integralet
  • Integrer i forhold til u
  • Substituer tilbake til x

Eksempel:

Finn ∫2x·cos(x²) dx. La u = x²:

u=x2⇒du=2x dxu = x^2 \quad \Rightarrow \quad du = 2x\,dx
∫2x⋅cos⁡(x2)dx=∫cos⁡(u)du=sin⁡(u)+C=sin⁡(x2)+C\int 2x\cdot\cos(x^2)dx = \int \cos(u)du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C

Substitusjon

Bruk variabelsubstitusjon for å løse integraler.

Laster GeoGebra...

Delbrøkoppspalting

For å integrere rasjonale funksjoner bruker vi delbrøkoppspalting. Vi spalter opp brøken i enklere delbrøker:

Delbrøker() i GeoGebra:

Denne kommandoen spalter automatisk opp rasjonale funksjoner i delbrøker som er lettere å integrere.

Eksempel:

Finn ∫(3x + 5)/(x² - x - 2) dx:

Først faktoriser nevner: x² - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

3x+5(x−2)(x+1)=Ax−2+Bx+1\frac{3x + 5}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}

Løs for A og B, deretter integrer hver delbrøk.

Delbrøkoppspalting

Bruk Delbrøker() for å spalte opp rasjonale funksjoner.

Laster GeoGebra...

Uegentlige integraler

Uegentlige integraler har enten uendelige grenser eller funksjonen har asymptote i integrasjonsområdet:

Type 1: Uendelige grenser

∫a∞f(x)dx=lim⁡b→∞∫abf(x)dx\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)dx

Integralet konvergerer hvis grenseverdien eksisterer og er endelig.

Eksempel:

Beregn ∫₁^∞ (1/x²) dx:

∫1∞1x2dx=lim⁡b→∞[−1x]1b=lim⁡b→∞(−1b+1)=1\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx = \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{b} + 1\right) = 1

Type 2: Funksjon med asymptote

Hvis f(x) har asymptote i x = c innenfor [a,b], splitt integralet:

∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx

Uegentlige integraler

Beregn integraler med uendelige grenser.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...
Ekstra oppgaver
  1. Bruk delvis integrasjon på ∫x·sin(x) dx
  2. Bruk substitusjon på ∫x·√(x² + 1) dx
  3. Spalte opp (5x - 2)/(x² - 4) i delbrøker
  4. Beregn ∫₁^∞ (1/x³) dx
  5. Finn ∫ln(x) dx ved delvis integrasjon

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

KommandoBeskrivelseEksempel
Integral(f)Ubestemt integralIntegral(x * e^x)
Integral(f, a, b)Bestemt integralIntegral(1/x^2, 1, 5)
Delbrøker(f)DelbrøkoppspaltingDelbrøker(1/(x^2-1))
Grense(expr, x, a)GrenseverdiGrense(Integral(1/x^2, 1, b), b, infinity)

Oppsummering

  • Delvis integrasjon: ∫u dv = uv - ∫v du
  • Substitusjon: Erstatt u = g(x) og du = g'(x)dx
  • Delbrøker() spalter rasjonale funksjoner
  • Uegentlige integraler: grenseverdier av vanlige integraler
  • Konvergens: Integralet har endelig verdi