5.5 Drill: produsentoppgaven

$$F(tK,tL) = (tK)^{1/3}(tL)^{1/3} = t^{1/3+1/3}K^{1/3}L^{1/3} = t^{2/3}F(K,L)$$

Eksponenten er $q = 2/3 < 1$, og for $t > 1$ er $t^{2/3} < t$. Altså $F(tK,tL) < tF(K,L)$: avtakende skalautbytte. Dobler verket både maskintimer og arbeidstimer, ganges produksjonen bare med $2^{2/3} \approx 1{,}59$ — dobbelt så mye innsats gir mindre enn dobbelt så mye betong, så kostnaden per kubikkmeter stiger med produksjonen.

[Sensor: testen er utført, ikke bare påstått fra eksponentsummen — det er kravet. Tolkningssetningen til slutt er den andre halvparten av poengsummen.]

b) Kostnadsfunksjonen.

Problemet er

$$\min_{K,L}\; 4K + 16L \qquad \text{gitt} \qquad K^{1/3}L^{1/3} = y$$

Bibetingelsen holder med likhet fordi begge faktorer koster penger: produserer verket mer enn kravet, har det brukt faktorer det kunne spart.

Metodevalg: bibetingelsen $F(K,L) = y$ kan ikke løses ut for én variabel på noen alminnelig måte, så innsettingsmetoden er ikke tilgjengelig. Vi bruker Lagrange:

$$\mathcal{L} = 4K + 16L + \lambda\bigl(y - K^{1/3}L^{1/3}\bigr)$$

Marginalproduktene er $F'_K = \tfrac{1}{3}K^{-2/3}L^{1/3}$ og $F'_L = \tfrac{1}{3}K^{1/3}L^{-2/3}$. Førsteordensbetingelsene:

$$4 = \lambda\cdot\tfrac{1}{3}K^{-2/3}L^{1/3}, \qquad 16 = \lambda\cdot\tfrac{1}{3}K^{1/3}L^{-2/3}$$

Del den første på den andre; $\lambda$ og faktoren $\tfrac{1}{3}$ faller ut:

$$\frac{4}{16} = \frac{K^{-2/3}L^{1/3}}{K^{1/3}L^{-2/3}} = \frac{L}{K} \quad\Longrightarrow\quad L = \tfrac{1}{4}K$$

Tolkning i enheter: venstresiden $r/w = 4/16 = 1/4$ er hvor mange arbeidstimer markedet gir for prisen på én maskintime. Høyresiden $L/K$ er hvor mange arbeidstimer som teknisk må erstatte én maskintime for at betongmengden skal være uendret. I optimum er de like — da finnes det ingen omfordeling mellom maskin og folk som gir samme produksjon til lavere kostnad.

Sett faktorforholdet inn i bibetingelsen:

$$K^{1/3}\left(\tfrac{1}{4}K\right)^{1/3} = \left(\tfrac{1}{4}\right)^{1/3}K^{2/3} = y \;\Longrightarrow\; K^{2/3} = 4^{1/3}y \;\Longrightarrow\; K^{*} = 2y^{3/2}$$

og $L^{*} = \tfrac{1}{4}\cdot 2y^{3/2} = \tfrac{1}{2}y^{3/2}$. Kostnadsfunksjonen:

$$c(y) = 4\cdot 2y^{3/2} + 16\cdot\tfrac{1}{2}y^{3/2} = 8y^{3/2} + 8y^{3/2} = 16\,y^{3/2}$$

Kontroll mot standardresultatet $c(y) = 2y^{3/2}\sqrt{rw}$: $2\sqrt{64} = 16$ ✓.

[Sensor: tre ting gir poeng her — begrunnelsen for likhet i bibetingelsen, metodevalget (Lagrange, ikke innsetting) og enhetstolkningen. Å stoppe ved faktorforholdet uten å regne ut $c(y)$ koster resten.]

c) Kurveformen.

$$c'(y) = 16\cdot\tfrac{3}{2}y^{1/2} = 24\sqrt{y}, \qquad c''(y) = 12\,y^{-1/2} = \frac{12}{\sqrt{y}} > 0$$

for alle $y > 0$. Kostnadsfunksjonen er altså konveks, og marginalkostnaden stiger med produksjonen. Det stemmer med det avtakende skalautbyttet i a) — de to er to sider av samme sak.

$$\text{MK}(y) = 24\sqrt{y}, \qquad \text{GK}(y) = \frac{16y^{3/2}}{y} = 16\sqrt{y}$$

Forholdet er $\text{MK}/\text{GK} = 24/16 = 3/2$: marginalkostnaden ligger alltid 50 % over gjennomsnittskostnaden. Begge stiger fra første enhet, og gjennomsnittskostnaden har ingen bunnpunkt — det finnes ingen faste kostnader å fordele utover.

[Sensor: «konveks fordi skalautbyttet er avtakende» er en påstand. Andrederiverte skrevet ut er et bevis.]

d) Tilpasning og profitt.

Førsteordensbetingelsen $p = c'(y)$:

$$72 = 24\sqrt{y} \;\Longrightarrow\; \sqrt{y} = 3 \;\Longrightarrow\; y^{*} = 9$$

Andreordensbetingelsen: $c''(y) > 0$, altså stigende marginalkostnad, så punktet er et maksimum ✓.

$$c(9) = 16\cdot 27 = 432, \qquad py = 72\cdot 9 = 648, \qquad \pi = 648 - 432 = 216$$

Kontroll mot rektangelet: $\text{GK}(9) = 16\cdot 3 = 48$, og $(72-48)\cdot 9 = 216$ ✓.

Tolkning: ved 9 000 kubikkmeter koster den neste kubikkmeteren nøyaktig 72 — det verket får for den. Kubikkmeter nummer 9 001 ville kostet mer og gitt tap på marginen.

Figuren i ord: med $y$ vannrett og kroner per enhet loddrett stiger MK-kurven $24\sqrt{y}$ og GK-kurven $16\sqrt{y}$ fra origo, med MK alltid over GK. Prislinja ved 72 er vannrett og skjærer MK i punktet $A = (9,72)$. Rett under ligger $G = (9,48)$ på GK-kurven, og profitten er rektangelet mellom prislinja og GK fra 0 til 9: høyde 24, bredde 9, areal 216.

e) Påstanden.

Påstanden er usann. Den mengden som gir lavest kostnad per kubikkmeter, er den som minimerer gjennomsnittskostnaden. Her er $\text{GK}(y) = 16\sqrt{y}$ stigende i hele sitt område, så den blir lavere jo mindre verket produserer — grensetilfellet er å ikke produsere i det hele tatt. Det ville gitt null i profitt, mot 216 ved den riktige tilpasningen.

Feilen i påstanden er å bruke gjennomsnittskostnaden til å velge mengde. Gjennomsnittskostnaden avgjør om produksjonen er lønnsom (er $p > \text{GK}$?); marginalkostnaden avgjør hvor mye som skal produseres (er $p > \text{MK}$?). Så lenge prisen overstiger marginalkostnaden, lønner det seg å utvide — selv om gjennomsnittskostnaden stiger på veien.

[Sensor: mange svarer «nei, den skal produsere der $p = \text{MK}$» og stopper. Poenget som skiller, er å si hva gjennomsnittskostnaden faktisk brukes til.]