Tilbake
2.2
Kvadratsetningene

2.2 Kvadratsetningene

Alle fag for 9. klasse

De tre kvadratsetningene og deres anvendelser.

55 min
14 oppgaver
Første kvadratsetningAndre kvadratsetningKonjugatsetningen
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Kvadratsetningene er tre viktige formler som brukes for å multiplisere ut og faktorisere spesielle algebraiske uttrykk. De kalles også for de algebraiske identitetene.
Første kvadratsetning
Første kvadratsetning:

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Kvadratet av en sum er lik summen av kvadratene pluss det dobbelte av produktet.

✏️Eksempel 1

Bruk første kvadratsetning til å regne ut (x+3)2(x + 3)^2

(x+3)2(x + 3)^2 med a=xa = x og b=3b = 3:

(x+3)2=x2+2⋅x⋅3+32=x2+6x+9(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9

📝Oppgave 1

Bruk første kvadratsetning

a
(x+4)2(x + 4)^2
b
(y+5)2(y + 5)^2
c
(2a+1)2(2a + 1)^2
Løs oppgavenTren
📝Oppgave F1
Finn feilen! Lise har regnet ut (x−4)2(x - 4)^2 slik:

(x−4)2=x2−42=x2−16(x - 4)^2 = x^2 - 4^2 = x^2 - 16

Finn feilen og skriv riktig utregning.

Andre kvadratsetning
Andre kvadratsetning:

(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Kvadratet av en differanse er lik summen av kvadratene minus det dobbelte av produktet.

✏️Eksempel 2

Bruk andre kvadratsetning til å regne ut (x−7)2(x - 7)^2

(x−7)2(x - 7)^2 med a=xa = x og b=7b = 7:

(x−7)2=x2−2⋅x⋅7+72=x2−14x+49(x - 7)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 - 14x + 49

📝Oppgave 2

Bruk andre kvadratsetning

a
(x−3)2(x - 3)^2
b
(y−6)2(y - 6)^2
c
(3b−2)2(3b - 2)^2
Løs oppgavenTren
Konjugatsetningen
Konjugatsetningen (tredje kvadratsetning):

(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Produktet av en sum og en differanse er lik differansen av kvadratene.

✏️Eksempel 3

Bruk konjugatsetningen til å regne ut (x+4)(x−4)(x + 4)(x - 4)

(x+4)(x−4)(x + 4)(x - 4) med a=xa = x og b=4b = 4:

(x+4)(x−4)=x2−42=x2−16(x + 4)(x - 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16

📝Oppgave 3

Bruk konjugatsetningen

a
(x+5)(x−5)(x + 5)(x - 5)
b
(2y+3)(2y−3)(2y + 3)(2y - 3)
c
(a+9)(a−9)(a + 9)(a - 9)
Løs oppgavenTren

Faktorisering med kvadratsetningene

Kvadratsetningene kan også brukes "baklengs" for å faktorisere uttrykk.

✏️Eksempel 4

Faktoriser uttrykkene:
a) x2+10x+25x^2 + 10x + 25
b) y2−16y^2 - 16

a) x2+10x+25x^2 + 10x + 25

Vi gjenkjenner mønsteret a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2 der a=xa = x og b=5b = 5:
x2+10x+25=(x+5)2x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2

b) y2−16y^2 - 16

Vi gjenkjenner mønsteret a2−b2a^2 - b^2 der a=ya = y og b=4b = 4:
y2−16=(y+4)(y−4)y^2 - 16 = (y + 4)(y - 4)

📝Oppgave 4

Faktoriser uttrykkene ved hjelp av kvadratsetningene

a
x2+8x+16x^2 + 8x + 16
b
y2−6y+9y^2 - 6y + 9
c
4a2−494a^2 - 49
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 5

Bruk første kvadratsetning til å multiplisere ut

a
(x+2)2(x + 2)^2
b
(y+7)2(y + 7)^2
c
(a+10)2(a + 10)^2
d
(3x+2)2(3x + 2)^2
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 6

Bruk andre kvadratsetning til å multiplisere ut

a
(x−5)2(x - 5)^2
b
(y−8)2(y - 8)^2
c
(a−1)2(a - 1)^2
d
(4x−3)2(4x - 3)^2
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 7

Bruk konjugatsetningen til å multiplisere ut

a
(x+8)(x−8)(x + 8)(x - 8)
b
(3y+4)(3y−4)(3y + 4)(3y - 4)
c
(5a+2)(5a−2)(5a + 2)(5a - 2)
d
(2x+7y)(2x−7y)(2x + 7y)(2x - 7y)
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 8

Faktoriser ved hjelp av konjugatsetningen (a2−b2a^2 - b^2)

a
x2−36x^2 - 36
b
y2−100y^2 - 100
c
9a2−259a^2 - 25
d
16x2−8116x^2 - 81
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 9

Faktoriser fullstendige kvadrater

a
x2+12x+36x^2 + 12x + 36
b
y2−14y+49y^2 - 14y + 49
c
4a2+20a+254a^2 + 20a + 25
d
9b2−24b+169b^2 - 24b + 16
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 10

Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene

a
1012101^2 (hint: skriv som (100+1)2(100+1)^2)
b
99299^2 (hint: skriv som (100−1)2(100-1)^2)
c
52⋅4852 \cdot 48 (hint: bruk konjugatsetningen)
d
203⋅197203 \cdot 197
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 11

Bestem hvilken kvadratsetning som passer, og multipliser ut eller faktoriser

a
(2x+5)2(2x + 5)^2
b
x2−18x+81x^2 - 18x + 81
c
(7+y)(7−y)(7 + y)(7 - y)
d
25a2−64b225a^2 - 64b^2
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 12

Utfordringsoppgaver med kvadratsetningene

a

Forenkle (x+3)2−(x−3)2(x + 3)^2 - (x - 3)^2

b

Faktoriser x4−16x^4 - 16 fullstendig

c

Vis at (a+b)2+(a−b)2=2a2+2b2(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2a^2 + 2b^2

d

Forenkle x2−9x+3\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}

Løs oppgavenTren
📝Oppgave D1
Drøftingsoppgave: En elev sier: «(a+b)2(a + b)^2 og a2+b2a^2 + b^2 er alltid det samme.» Drøft om eleven har rett. Bruk talleksempler og algebra for å begrunne svaret. Finnes det noen verdier av aa og bb der de to uttrykkene faktisk er like?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Første kvadratsetning: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 -- kvadratet av en sum
- Andre kvadratsetning: (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 -- kvadratet av en differanse
- Konjugatsetningen: (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 -- produktet av sum og differanse
- Faktorisering baklengs: Bruke kvadratsetningene til å faktorisere uttrykk som x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2
- Hoderegning: Bruke kvadratsetningene til å forenkle beregninger, f.eks. 992=(100−1)299^2 = (100-1)^2

Nøkkelbegreper


BegrepForklaring
KvadratsetningFormel for å multiplisere ut eller faktorisere spesielle algebraiske uttrykk
KonjugatEt par uttrykk (a+b)(a+b) og (a−b)(a-b) som skiller seg bare i fortegn
Fullstendig kvadratUttrykk på formen a2±2ab+b2a^2 \pm 2ab + b^2 som kan skrives som (a±b)2(a \pm b)^2
Differanse av kvadraterUttrykk på formen a2−b2a^2 - b^2 som kan faktoriseres med konjugatsetningen

Viktige formler


- (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
- (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
- (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.