2.2 Kvadratsetningene

Tre formler som forandrer alt

I algebra finnes det noen formler som er så nyttige at de er verdt å pugge. De kalles kvadratsetningene (eller «de tre algebraiske identitetene»), og de dukker opp overalt -- fra enkel forenkting til avansert matematikk.

De tre formlene er:
- Første kvadratsetning: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- Andre kvadratsetning: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- Konjugatsetningen: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Disse er ikke bare abstrakte formler -- de har en vakker geometrisk tolkning, og de gjør mange regnestykker mye raskere. La oss utforske dem en om gangen.

Første kvadratsetning: $(a + b)^2$

La oss starte med det mest grunnleggende: hva er $(a + b)^2$?

Mange gjør feilen å tro at $(a + b)^2 = a^2 + b^2$. Men det stemmer ikke! Husk at $(a + b)^2$ betyr $(a + b)(a + b)$. Når vi multipliserer ut:

$$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Det avgjørende leddet er $2ab$ -- dobbeltproduktet. Det dukker alltid opp!

Geometrisk forklaring: Tenk på et kvadrat med sidelengde $a + b$. Arealet er $(a + b)^2$. Hvis vi deler siden i to deler ($a$ og $b$), får vi fire rektangler:
- Et kvadrat med side $a$: areal $a^2$
- Et kvadrat med side $b$: areal $b^2$
- To rektangler med sider $a$ og $b$: areal $2 \times ab$

Totalt areal: $a^2 + 2ab + b^2$. Formelen er bekreftet!

Eksempler:
- $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$
- $(2y + 5)^2 = (2y)^2 + 2 \cdot 2y \cdot 5 + 5^2 = 4y^2 + 20y + 25$
- $(3a + 4b)^2 = 9a^2 + 24ab + 16b^2$

Regnetriks: $53^2 = (50 + 3)^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809$. Raskere enn å gange $53 \times 53$ for hånd!

Andre kvadratsetning: $(a - b)^2$

Andre kvadratsetning er nesten identisk med den første, men med minus foran $b$:

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Merk at resultatet har $-2ab$ (minus dobbeltprodukt), men $+b^2$ (pluss $b^2$, fordi minus ganger minus er pluss!).

Bevis: $(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

En vanlig feil: Noen skriver $(a - b)^2 = a^2 - b^2$. Det er galt! $(a - b)^2$ er et kvadrat som alltid er positivt (eller null), mens $a^2 - b^2$ kan være negativt. Dessuten mangler dobbeltproduktet.

Eksempler:
- $(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$
- $(4y - 1)^2 = 16y^2 - 8y + 1$
- $(2a - 3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2$

Regnetriks: $97^2 = (100 - 3)^2 = 10\,000 - 600 + 9 = 9\,409$.

Faktorisering med andre kvadratsetning: Hvis du ser et uttrykk som $x^2 - 10x + 25$, sjekk om det er et perfekt kvadrat:
- Er første og siste ledd perfekte kvadrater? $x^2 = (x)^2$ ✓, $25 = (5)^2$ ✓
- Er mellomleddet lik $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$? ✓

Da er $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.

Konjugatsetningen: $(a + b)(a - b)$

Den tredje identiteten handler om produktet av en sum og en differanse med de samme leddene:

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Bevis: $(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$

Dobbeltproduktet forsvinner fordi $-ab + ba = 0$! Resultatet er bare differansen av kvadratene.

$(a + b)$ og $(a - b)$ kalles konjugerte uttrykk.

Eksempler:
- $(x + 6)(x - 6) = x^2 - 36$
- $(3y + 2)(3y - 2) = 9y^2 - 4$
- $(5 + \sqrt{3})(5 - \sqrt{3}) = 25 - 3 = 22$

Konjugatsetningen brukt «baklengs» (faktorisering):
- $x^2 - 49 = (x + 7)(x - 7)$
- $4a^2 - 9b^2 = (2a + 3b)(2a - 3b)$
- $100 - y^2 = (10 + y)(10 - y)$

Regnetriks: $43 \times 37 = (40 + 3)(40 - 3) = 1600 - 9 = 1591$. Mye raskere enn å gange for hånd!

Viktig advarsel: Konjugatsetningen gjelder bare for differansen av kvadrater ($a^2 - b^2$). Summen $a^2 + b^2$ kan ikke faktoriseres med reelle tall. Altså: $x^2 + 9$ kan ikke faktoriseres videre.

Gjenkjenning og valg av riktig setning

I praksis handler det om å gjenkjenne hvilken setning som passer:

Ser du $(a + b)^2$ eller $a^2 + 2ab + b^2$? $\to$ Første kvadratsetning

Ser du $(a - b)^2$ eller $a^2 - 2ab + b^2$? $\to$ Andre kvadratsetning

Ser du $(a + b)(a - b)$ eller $a^2 - b^2$? $\to$ Konjugatsetningen

Sjekkliste for å gjenkjenne et perfekt kvadrat ($a^2 \pm 2ab + b^2$):
1. Er første ledd et perfekt kvadrat? ($x^2$, $4y^2$, $9a^2$, ...)
2. Er siste ledd et perfekt kvadrat? ($4$, $25$, $16b^2$, ...)
3. Er mellomleddet dobbeltproduktet ($2 \times \sqrt{\text{første}} \times \sqrt{\text{siste}}$)?

Eksempel: Er $x^2 + 12x + 36$ et perfekt kvadrat?
- $x^2$ er et perfekt kvadrat (av $x$)
- $36 = 6^2$ ✓
- Dobbeltprodukt: $2 \cdot x \cdot 6 = 12x$ ✓
- Altså: $x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2$

Eksempel: Er $x^2 + 10x + 20$ et perfekt kvadrat?
- Dobbeltprodukt av $x$ og $\sqrt{20}$ ville vært $2x\sqrt{20}$, som ikke er $10x$.
- Nei! Dette er ikke et perfekt kvadrat. (Men det kan faktoriseres med andre metoder.)

Oppsummering

De tre algebraiske identitetene:

- Disse formlene fungerer begge veier: til utregning og til faktorisering