5.3 Spill og strategi | Matematikk 2P-Y

Utforsk sannsynlighet gjennom spill, strategier og forventet gevinst.

45 min

9 oppgaver

SpillStrategiForventet gevinstSimulering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Sannsynlighet i praksis

Telle muligheter

I mange situasjoner i yrkeslivet trenger vi å vite hvor mange muligheter som finnes:
- Hvor mange ulike menyer kan en kantine sette sammen?
- Hvor mange ulike uniformkombinasjoner finnes?
- Hvor mange mulige ruter har en budbil?
- Hvor mange koder kan et alarmsystem ha?

For å telle riktig bruker vi kombinatorikk -- læren om å telle systematisk.

Multiplikasjonsprinsippet

m

✏️Eksempel 1: Uniformkombinasjoner

En hotellkjede har følgende uniformvalg for resepsjonistene:
- Skjorte: hvit, lyseblå, lys rosa (3 valg)
- Bukse/skjørt: svart, mørkeblå (2 valg)
- Slips/skjerf: rødt, gråstripert, ensfarget blått (3 valg)

Hvor mange ulike uniformkombinasjoner finnes?

Løsning:

Vi bruker multiplikasjonsprinsippet:

$\text{Antall kombinasjoner} = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$

Det finnes 18 ulike uniformkombinasjoner.

Valgtre

Et valgtre er en visuell måte å telle muligheter på. Vi tegner grener for hvert valg, og teller endepunktene.

Valgtre er spesielt nyttig når:
- Det er få muligheter i hvert trinn
- Vi vil se alle mulighetene oversiktlig
- Noen kombinasjoner er ugyldige og skal utelukkes

For større tall er multiplikasjonsprinsippet raskere enn å tegne valgtre.

✏️Eksempel 2: Kodelås

Et verktøyskap på et bygningsverksted har en kodelås med 4 sifre. Hvert siffer kan være 0-9.

a) Hvor mange mulige koder finnes?
b) Hvor mange koder finnes hvis alle sifrene må være forskjellige?

Løsning:

a) Hvert siffer har 10 muligheter (0, 1, 2, ..., 9):
$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000 \text{ koder}$

b) Hvis alle sifrene må være forskjellige:
- Siffer 1: 10 muligheter
- Siffer 2: 9 muligheter (en er brukt)
- Siffer 3: 8 muligheter
- Siffer 4: 7 muligheter

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5\,040 \text{ koder}$

Et viktig skille i kombinatorikk:

Med tilbakelegging: Samme element kan velges flere ganger. Eksempel: kodelås der du kan bruke samme siffer flere ganger.

Uten tilbakelegging: Hvert element kan bare velges en gang. Eksempel: fordele arbeidsoppgaver -- en person kan bare ha en oppgave.

Husk: «uten tilbakelegging» gir alltid færre muligheter.

📝Oppgave 5.9

En kantine tilbyr lunsj med følgende valg:
- Suppe: tomat, løk, ertesuppe (3 valg)
- Brød: lyst, grovt, knekkebrød (3 valg)
- Drikke: vann, juice, melk, kaffe (4 valg)

a) Bruk multiplikasjonsprinsippet til å finne antall ulike lunsjkombinasjoner.
b) Kantinen fjerner kaffe fra menyen. Hvor mange kombinasjoner er det nå?
c) Kantinen legger til en ny suppe (minestrone). Hvor mange kombinasjoner totalt (uten kaffe, med ny suppe)?
d) Hvor mange flere kombinasjoner ga den nye suppen?

Antall kombinasjoner

Uten kaffe

Med ny suppe, uten kaffe

Flere kombinasjoner fra ny suppe

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5.10

Et sikkerhetssystem bruker en PIN-kode med 3 sifre (0-9).

a) Hvor mange mulige PIN-koder finnes totalt?
b) Hvor mange PIN-koder starter med siffer 5?
c) Hvor mange PIN-koder har bare partall (0, 2, 4, 6, 8)?
d) Hvor mange PIN-koder har tre like sifre (f.eks. 444)?

Totalt antall koder

Koder som starter med 5

Koder med bare partall

Koder med tre like

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5.11

En bilforhandler tilbyr en varebil med følgende valg:
- Farge: hvit, grå, svart, blå, rød (5 valg)
- Motor: diesel, bensin, hybrid (3 valg)
- Utstyrspakke: basis, pluss, premium (3 valg)
- Hengerfeste: med, uten (2 valg)

a) Hvor mange ulike konfigurasjoner av varebilen finnes?
b) Kunden vil ha diesel. Hvor mange konfigurasjoner gjenstår?
c) Kunden vil ha diesel OG premium. Hvor mange gjenstår nå?
d) Kunden vil ha diesel, premium, og enten hvit eller svart. Hvor mange gjenstår?

Totalt antall konfigurasjoner

Bare diesel

Diesel og premium

Diesel, premium, hvit/svart

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5.12

På et sykehjem skal 5 ansatte fordeles på 5 ulike vakter (tidligvakt, dagvakt, seinvakt, nattevakt, bakvakt). Hver ansatt tar nøyaktig en vakt.

a) Hvor mange muligheter har lederen for tidligvakten (første valg)?
b) Når tidligvakten er bestemt, hvor mange muligheter er det for dagvakten?
c) Bruk multiplikasjonsprinsippet til å finne totalt antall måter å fordele vaktene.
d) Lederen bestemmer at Anna SKAL ha nattevakt. Hvor mange måter kan de resterende vaktene fordeles nå?

Muligheter for tidligvakt

Muligheter for dagvakt

Totalt antall fordelinger

Fordelinger med Anna på nattevakt

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Multiplikasjonsprinsippet: Hvis et valg kan gjøres på $m$ måter og et annet på $n$ måter, kan begge gjøres på $m \cdot n$ måter.
- Med repetisjon: $n$ symboler på $k$ plasser gir $n^k$ muligheter (f.eks. PIN-kode: $10^4$ ).
- Uten repetisjon: Antall muligheter synker for hvert valg: $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots$
- Rekkefølge av $n$ objekter: $n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$ .
- Kombinatorikk brukes til å beregne sannsynligheter: $P = \dfrac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Multiplikasjonsprinsippet	Antall måter multipliseres
Fakultet ( $n!$ )	Antall rekkefølger av $n$ objekter
Valgtre	Diagram som viser alle valgmuligheter

Viktige formler

- Med repetisjon:

n^k

- Uten repetisjon:

n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots

n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.