9.1 Tall og tallforståelse

Fra statsbudsjett til blodceller

Les en nyhetsside en helt vanlig dag, og du møter tall i vilt forskjellige størrelser: Statsbudsjettet er på over 1 800 milliarder kroner. Norges befolkning er rundt 5,5 millioner. Promillegrensen i trafikken er 0,2 ‰. En blodcelle er 0,007 mm i diameter. Mobilabonnementet ditt inkluderer 15 GB data.

For å lese verden trenger du to ferdigheter. Den første er å veksle mellom de fire skrivemåtene for andeler: brøk, desimaltall, prosent og promille – samme verdi i fire ulike drakter, slik at $\displaystyle \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\%$. Den andre er å håndtere størrelsesorden – å vite hva «giga» i gigabyte og «mikro» i mikrometer faktisk betyr, gjennom SI-prefiksene.

I denne fortellingen tar vi først for oss andelene og slektskapet mellom prosent og promille, og deretter prefiksene som lar oss skrive både statsbudsjettet og blodcellen uten å drukne i nuller. Underveis skal vi regne på fødselsrater, promillegrenser og datamengder – tall du møter i samfunnet hver eneste dag.

Prosent og promille – hundredeler og tusendeler

La oss starte med slektskapet. Prosent betyr «per hundre»: $\displaystyle p\,\% = \frac{p}{100}$. Promille betyr «per tusen»: $\displaystyle p\,\text{‰} = \frac{p}{1000}$. Begge er bare bekvemme måter å skrive andeler på, og de henger sammen med brøk og desimaltall i én ubrutt kjede: $\displaystyle \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\% = 750\,\text{‰}$.

Siden en tusendel er ti ganger mindre enn en hundredel, gjelder den enkle vekslingskursen $1\,\% = 10\,\text{‰}$. Vil du gjøre promille om til prosent, deler du på 10: $3{,}5\,\text{‰} = 0{,}35\,\%$.

Hvorfor har vi i det hele tatt promille? Fordi noen andeler er så små at prosenttallene blir uleselige. Promillegrensen i trafikken er det kjente eksempelet: 0,2 ‰ alkohol i blodet. Som desimaltall er det $\displaystyle \frac{0{,}2}{1000} = 0{,}0002$, og som prosent $0{,}02\,\%$ – tall som er lette å skrive feil. Promille brukes også om stigning på vei og jernbane.

Et eksempel fra samfunnsstatistikken: I en kommune med 32 000 innbyggere ble det født 384 barn på ett år. Fødselsraten i promille blir $\displaystyle \frac{384}{32\,000} \cdot 1000 = 12\,\text{‰}$ – tolv fødsler per tusen innbyggere. Legg merke til oppskriften: andelen ganges med 1000 for promille, akkurat som den ganges med 100 for prosent. Veksler du trygt mellom brøk, desimaltall, prosent og promille, kan du lese enhver andel samfunnet kaster mot deg.

SI-prefiksene – språket for det store og det små

Nå til den andre ferdigheten: størrelsesorden. Statsbudsjettet på 1 862 milliarder kroner kan selvsagt skrives helt ut – 1 862 000 000 000 kr – men tolv nuller er både uleselig og lett å telle feil. Derfor har vi SI-prefiksene, små forstavelser som hver står for en tierpotens.

De viktigste for store tall: kilo (k) betyr $10^3$, altså tusen; mega (M) betyr $10^6$, en million; giga (G) betyr $10^9$, en milliard. For små tall går det andre veien: milli (m) betyr $10^{-3}$, en tusendel; mikro (µ) betyr $10^{-6}$, en milliondel.

Du kjenner prefiksene allerede fra hverdagen: en kilometer er tusen meter, et megabyte er en million byte, et gigabyte en milliard byte. Vekslingen mellom dem følger tierpotensene: 5 MB er $5\,000$ kB, fordi det går tusen kilo i hver mega.

De små prefiksene treffer biologien og teknologien: Et hårstrå er omtrent 70 mikrometer tykt. I millimeter: en mikrometer er en tusendels millimeter, så $70\,\mu\text{m} = 70 \cdot 0{,}001\text{ mm} = 0{,}07$ mm. Og blodcellen på 0,007 mm fra innledningen? Det er 7 µm.

Prefiksene gjør også de aller største samfunnstallene håndterlige. Statsbudsjettet kan skrives som $1{,}862 \cdot 10^{12}$ kr – og når du hører «milliarder» på nyhetene, vet du nå at det betyr giga: $10^9$. Å beherske prefiksene er rett og slett å kunne lese tallspråket samfunnet bruker hver dag.

Tallspråket i samfunnet

Fra statsbudsjettets billioner til blodcellens mikrometer – nå har du verktøyene som spenner over hele skalaen. Den første nøkkelen er at samme andel kan skrives på fire måter: som brøk, desimaltall, prosent og promille. Husk kjeden $\displaystyle \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\% = 250\,\text{‰}$, og vekslingskursen $1\,\% = 10\,\text{‰}$ – prosent er hundredeler ($\displaystyle \frac{p}{100}$), promille er tusendeler ($\displaystyle \frac{p}{1000}$). Promille møter du i praksis ved alkoholgrenser i trafikken, stigning på vei og jernbane, og rater i befolkningsstatistikk.

Den andre nøkkelen er SI-prefiksene, som temmer både kjempetall og mikroskopiske tall: kilo ($10^3$), mega ($10^6$) og giga ($10^9$) oppover; milli ($10^{-3}$) og mikro ($10^{-6}$) nedover. Med dem blir 1 862 milliarder kroner til $1{,}862 \cdot 10^{12}$, fem megabyte til fem tusen kilobyte, og hårstråets 70 µm til 0,07 mm.

Neste gang nyhetene serverer milliarder, promiller og gigabyte i én og samme sak, kan du gjøre noe de færreste gjør: faktisk vurdere om tallene er store eller små, rimelige eller ville. Det er det «tallstørrelser i samfunnet» handler om.