8.2 Feilkilder og nøyaktighet

Tommestokken lyver litt

Du måler en planke med tommestokk og leser av 2,45 m. Men er planken nøyaktig 2,45 m? Selvsagt ikke – tommestokken har begrenset finhet, øyet ditt leser av med slingringsmonn, og planken selv er kanskje ikke helt jevn i enden. Ingen måling er helt nøyaktig. Spørsmålet er ikke om det er feil i målingen, men hvor stor feilen kan være – og hva den gjør med beregningene dine etterpå.

Dette er ikke pirk. Når en snekker bestiller materialer, en farmasøyt veier virkestoff eller en idrettsdommer måler tid, må alle vite hvor mye de kan stole på tallene sine. En måling oppgitt som $12{,}4$ cm betyr i praksis at den sanne verdien ligger et sted mellom $12{,}35$ og $12{,}45$ cm – tallet bærer sin egen usikkerhet med seg.

I denne fortellingen lærer du språket for nøyaktighet: gjeldende siffer, som forteller hvor presist et tall er; absolutt og relativ feil, som måler hvor mye en måling bommer; og til slutt hvordan feil forplanter seg når du regner videre med usikre tall – og hvorfor svaret ditt aldri bør se mer nøyaktig ut enn målingene det bygger på.

Gjeldende siffer – tallets innebygde ærlighet

Se på de to tallene $3{,}40$ og $3{,}4$. Matematisk er de like – men som målinger forteller de to ulike historier. $3{,}40$ sier «jeg er målt med to desimalers nøyaktighet», mens $3{,}4$ bare lover én. Antall gjeldende siffer er måten et tall kommuniserer sin egen presisjon på.

Reglene er slik: Alle siffer teller som gjeldende, unntatt innledende nuller. Tallet $3{,}40$ har tre gjeldende siffer. Tallet $0{,}0052$ har bare to – nullene foran er kun plassholdere som viser hvor kommaet står. Men avsluttende nuller etter komma er gjeldende: $0{,}00340$ har tre gjeldende siffer (3, 4 og den siste nullen), for den siste nullen er der av én eneste grunn – å fortelle at målingen er så presis.

Hvorfor betyr dette noe? Fordi antall gjeldende siffer angir nøyaktigheten, og nøyaktighet ikke kan trylles fram ved å regne. Her kommer avrundingsregelen du skal bruke i beregninger: Svaret skal ikke ha flere gjeldende siffer enn den minst nøyaktige verdien i regnestykket.

Et rektangel måles til $4{,}2$ m ganger $3{,}5$ m – begge mål med to gjeldende siffer. Kalkulatoren sier $4{,}2 \cdot 3{,}5 = 14{,}7$ m². Men å oppgi 14,7 ville late som om vi vet mer enn vi gjør; med to gjeldende siffer blir svaret $A \approx 15$ m². Og måles sidene til $6{,}3$ m (to gjeldende siffer) og $4{,}82$ m (tre), styrer den minst nøyaktige: $6{,}3 \cdot 4{,}82 = 30{,}366$, som oppgis som $30$ m².

Absolutt og relativ feil – hvor mye bommer vi?

Tilbake til planken. Du målte 2,45 m, men den sanne lengden viser seg å være 2,48 m. Hvor stor var feilen? Det mest direkte målet er absolutt feil: avstanden mellom målt og sann verdi, $|\text{målt} - \text{sann}| = |2{,}45 - 2{,}48| = 0{,}03$ m. Tre centimeter.

Men er 3 cm mye eller lite? Det kommer an på hva du måler! På en planke på snaut to og en halv meter er det en bagatell; på en mobilskjerm ville det vært katastrofe. Derfor trenger vi relativ feil, som setter feilen i forhold til størrelsen: $\displaystyle \frac{\text{absolutt feil}}{\text{sann verdi}} \cdot 100\,\%$. For planken: $\displaystyle \frac{0{,}03}{2{,}48} \cdot 100\,\% \approx 1{,}2\,\%$. Relativ feil gjør det mulig å sammenlikne nøyaktigheten av målinger i helt ulik skala – og merk den viktige innsikten: en liten absolutt feil kan være en stor relativ feil hvis det som måles, er lite.

Prøv selv med en pakke som veies til 1,25 kg når sann vekt er 1,28 kg: absolutt feil $0{,}03$ kg, relativ feil $\displaystyle \frac{0{,}03}{1{,}28} \cdot 100\,\% \approx 2{,}3\,\%$ – større relativ feil enn planken, selv om den absolutte feilen er «like stor».

Husk også hva et oppgitt måltall innebærer: $12{,}4$ cm betyr at sann verdi ligger mellom $12{,}35$ og $12{,}45$ cm. Måleusikkerheten er innbakt i siste siffer.

Når feilene regner med – feilforplantning

Usikkerhet i målinger forsvinner ikke når du regner videre – den blir med på lasset, og noen ganger vokser den. Dette kalles feilforplantning, og det er grunnen til at vi må tenke på nøyaktighet i hele regnestykket, ikke bare i målingene.

Ta en sprinter som løper 100 m på 12,3 sekunder, målt med usikkerhet ±0,05 s. Den sanne tiden ligger altså mellom 12,25 og 12,35 s. Hva betyr det for farten? Høyeste mulige fart får vi med korteste tid: $\displaystyle \frac{100}{12{,}25} \approx 8{,}16$ m/s. Laveste fart med lengste tid: $\displaystyle \frac{100}{12{,}35} \approx 8{,}10$ m/s. Farten er altså ikke «8,13 m/s», men et sted i intervallet fra 8,10 til 8,16 m/s.

Verre blir det når usikre tall ganges sammen. Et gulv måles til 5,0 m × 3,8 m, begge med ±0,05 m. Minste mulige areal: $4{,}95 \cdot 3{,}75 = 18{,}56$ m². Største: $5{,}05 \cdot 3{,}85 = 19{,}44$ m². Nesten en hel kvadratmeter i sprik – fra to målinger som hver bare slingrer fem centimeter!

To praktiske råd følger av dette. For det første: vent med avrundingen til slutten av beregningen, ellers hoper avrundingsfeilene seg opp underveis. For det andre: oppgi sluttsvaret med et antall gjeldende siffer som ærlig speiler usikkerheten – aldri flere siffer enn den minst nøyaktige målingen fortjener. Tall som ser presise ut uten å være det, er det farligste som finnes i en beregning.

Ærlige tall

Vi startet med en tommestokk som «lyver litt» – og har endt opp med et helt språk for å snakke presist om upresise tall. Gjeldende siffer er tallets egen varedeklarasjon: alle siffer unntatt innledende nuller teller, og avsluttende nuller etter komma er med fordi de lover presisjon. $0{,}052$ har to gjeldende siffer; $4{,}800$ har fire.

Absolutt feil er avstanden mellom målt og sann verdi, $|\text{målt} - \text{sann}|$, mens relativ feil deler på den sanne verdien og oppgis gjerne i prosent – det er den som lar deg sammenlikne nøyaktighet på tvers av størrelser, og som avslører at en liten absolutt feil kan være en stor relativ feil når det som måles er lite. Husk også at et måltall som $12{,}4$ cm i seg selv betyr «mellom 12,35 og 12,45».

Når du regner med usikre tall, forplanter usikkerheten seg – sprinterens fart og gulvets areal ble intervaller, ikke fasitsvar. Derfor de to gylne reglene: svaret skal ikke ha flere gjeldende siffer enn den minst nøyaktige verdien i beregningen, og avrundingen venter du med til slutt. Tall som innrømmer sin egen usikkerhet, er tall du kan stole på – det er hele poenget.