9.2 Potenser og røtter

Tall som sprenger skalaen

Avstanden fra Jorda til Sola er 149 600 000 km. Et hydrogenatom er 0,000 000 000 12 m i diameter. Prøv å lese de tallene høyt – eller enda verre, prøv å gange dem med noe på kalkulatoren uten å miste en null på veien. Når tallene blir ekstremt store eller ekstremt små, bryter den vanlige skrivemåten sammen.

Løsningen heter vitenskapelig notasjon. Ideen er å skrive ethvert tall som et produkt av to deler: et tall mellom 1 og 10, og en tierpotens som angir størrelsesordenen. Formelt: $a \times 10^n$, der $1 \leq a < 10$ og $n$ er et heltall. Avstanden til Sola blir $1{,}496 \times 10^8$ km – kompakt, lesbart og umulig å miste nuller fra. Hydrogenatomet blir $1{,}2 \times 10^{-10}$ m.

Tallet $a$ kalles koeffisienten og bærer selve sifrene; eksponenten $n$ forteller hvor stort eller lite tallet er. I denne fortellingen lærer du først å skrive tall på vitenskapelig form begge veier – og deretter det som er notasjonens virkelige superkraft: hvor lett det blir å gange og dele kjempetall med hverandre.

Å skrive tall på vitenskapelig form

Hvordan finner vi formen $a \times 10^n$? Tenk på det som å flytte kommaet til tallet har nøyaktig ett siffer foran komma – og telle hvor mange plasser du flyttet.

Ta Norges BNP, omtrent 5 430 milliarder kroner, altså 5 430 000 000 000 kr. Vi flytter kommaet til det står rett bak femtallet: $5{,}43$. Hvor mange plasser flyttet vi? Tolv. Siden tallet er stort, blir eksponenten positiv: $5{,}43 \times 10^{12}$ kr.

Små tall går motsatt vei. Tallet 0,00045 skal også ha ett siffer (som ikke er null) foran komma: vi flytter kommaet fire plasser til høyre og får $4{,}5$. Siden tallet er lite, blir eksponenten negativ: $4{,}5 \times 10^{-4}$.

Huskeregelen er enkel: Stort tall gir positiv eksponent (kommaet flyttes til venstre), lite tall gir negativ eksponent (kommaet flyttes til høyre). Verdens befolkning på rundt 7 250 000 000 blir $7{,}25 \times 10^9$; hydrogenatomets diameter blir $1{,}2 \times 10^{-10}$ m.

Vær nøye med kravet $1 \leq a < 10$: koeffisienten skal være minst 1 og mindre enn 10. Tallet $54{,}3 \times 10^{11}$ er matematisk riktig verdi for BNP, men det er ikke gyldig vitenskapelig notasjon – kommaet må ett hakk til, slik at det blir $5{,}43 \times 10^{12}$. Denne standardiseringen er hele poenget: når alle skriver tall på samme form, kan størrelser sammenliknes med et eneste blikk på eksponenten.

Superkraften: å regne med tierpotenser

Den virkelige gevinsten kommer når vi skal regne. Potensreglene gjør multiplikasjon og divisjon av kjempetall til småplukk: Ved multiplikasjon ganger du koeffisientene og legger sammen eksponentene. Ved divisjon deler du koeffisientene og trekker fra eksponentene. Som formler: $(a \cdot 10^m)(b \cdot 10^n) = ab \cdot 10^{m+n}$ og $\displaystyle \frac{a \cdot 10^m}{b \cdot 10^n} = \frac{a}{b} \cdot 10^{m-n}$.

Prøv: $3{,}0 \times 10^5 \cdot 2{,}0 \times 10^3$. Koeffisientene: $3{,}0 \cdot 2{,}0 = 6{,}0$. Eksponentene: $5 + 3 = 8$. Svar: $6{,}0 \times 10^8$. Ferdig – uten en eneste null å holde styr på.

Nå kan vi regne på naturen. Lyset farer av sted med $3{,}0 \times 10^8$ m/s. Hvor langt kommer det på ett minutt? $3{,}0 \times 10^8 \cdot 60 = 180 \times 10^8 = 1{,}8 \times 10^{10}$ m. Legg merke til siste steg: $180$ er ikke en gyldig koeffisient, så vi justerer til $1{,}8$ og øker eksponenten med to.

Divisjon er like glatt. En bakterie er $2{,}0 \times 10^{-6}$ m lang – hvor mange får plass på rad langs én centimeter ($1{,}0 \times 10^{-2}$ m)? $\displaystyle \frac{1{,}0 \times 10^{-2}}{2{,}0 \times 10^{-6}} = 0{,}5 \times 10^{4} = 5\,000$ bakterier. Og befolkningstettheten i Norge, med $5{,}5 \times 10^6$ innbyggere på $3{,}85 \times 10^5$ km²: $\displaystyle \frac{5{,}5}{3{,}85} \times 10^{6-5} \approx 1{,}43 \times 10^1 \approx 14{,}3$ innbyggere per km². Husk alltid sluttsjekken: ligger koeffisienten mellom 1 og 10 – og virker svaret rimelig?

Universet i lommeformat

Avstanden til Sola, BNP, bakterier og atomer – alle fikk plass på samme lille form: $a \cdot 10^n$, der koeffisienten $a$ oppfyller $1 \leq a < 10$ og eksponenten $n$ angir størrelsesordenen. Store tall får positiv eksponent ($4\,500\,000 = 4{,}5 \cdot 10^6$), små tall får negativ ($0{,}00032 = 3{,}2 \cdot 10^{-4}$) – og huskeregelen er hvilken vei kommaet flyttes.

Notasjonens superkraft er regnereglene: ved multiplikasjon ganger du koeffisientene og legger sammen eksponentene, ved divisjon deler du koeffisientene og trekker eksponentene fra hverandre. Slik ble lysets minuttreise til $1{,}8 \cdot 10^{10}$ m og bakterietellingen til et hoderegnestykke. Husk justeringen til slutt: havner koeffisienten utenfor båndet mellom 1 og 10, flytter du kommaet og retter eksponenten tilsvarende.

Vitenskapelig notasjon er mer enn en skrivemåte – det er et verktøy for å vurdere tall. Når eksponenten er synlig, ser du umiddelbart om svaret er i millioner eller milliarder, og om det i det hele tatt er rimelig. Det er derfor naturvitenskapen, teknologien og økonomien snakker dette språket – og nå gjør du det også.