3.2 Lineær modellering | Matematikk 1P

Bruke lineære funksjoner til å modellere praktiske situasjoner.

50 min

7 oppgaver

ModelleringTilpasningTolkningPraktiske problemer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Lineære funksjoner

Lineære funksjoner

En lineær funksjon har formen:

$f(x) = ax + b$

Grafen til en lineær funksjon er alltid en rett linje.

- $a$ kalles stigningstallet - forteller hvor bratt linjen er
- $b$ kalles konstantleddet - forteller hvor linjen krysser y-aksen

Stigningstall

a

✏️Eksempel 1: Finne stigningstall

Finn stigningstallet til linjen som går gjennom punktene $(1, 3)$ og $(4, 9)$ .

Løsning:

$\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

Stigningstallet er $a = 2$ .

Det betyr at $y$ øker med 2 hver gang $x$ øker med 1.

📝Oppgave 3.2.1

Finn stigningstallet til linjen gjennom punktene:

(2, 5)

(6, 13)

(0, 4)

(3, 10)

(1, 8)

(5, 0)

(3, 7)

(9, 7)

Løs oppgaven Tren

Konstantleddet

Konstantleddet $b$ er y-verdien når $x = 0$ . Det er punktet der grafen krysser y-aksen.

For funksjonen $f(x) = 2x + 3$ :
- Når $x = 0$ : $f(0) = 2 \cdot 0 + 3 = 3$
- Konstantleddet er $b = 3$

✏️Eksempel 2: Finne funksjonsuttrykk

Finn funksjonsuttrykket til linjen som går gjennom $(2, 5)$ og $(4, 9)$ .

Løsning:

Steg 1: Finn stigningstallet
$\displaystyle a = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$

Steg 2: Bruk formen $f(x) = ax + b$ og ett av punktene
$f(x) = 2x + b$

Sett inn $(2, 5)$ : $5 = 2 \cdot 2 + b$
$5 = 4 + b$
$b = 1$

Svar: $f(x) = 2x + 1$

📊Utforsk: Stigningstall og konstantledd

Dra i gliderne for å endre stigningstallet $a$ og konstantleddet $b$ i $f(x) = ax + b$ . Se hvordan $a$ bestemmer hvor bratt linja er, og $b$ hvor den skjærer y-aksen.

📝Oppgave 3.2.2

Finn funksjonsuttrykket:

Stigningstall 3, går gjennom $(0, 2)$

Stigningstall -2, går gjennom $(0, 5)$

Går gjennom $(0, 4)$ og $(2, 10)$

Går gjennom $(1, 3)$ og $(3, 7)$

Løs oppgaven Tren

Praktiske eksempler

Lineære funksjoner brukes ofte til å modellere praktiske sammenhenger:

- Taxi: Startpris + pris per km → $f(x) = ax + b$
- Mobilabonnement: Fastpris + pris per minutt
- Strøm: Fastbeløp + pris per kWh

✏️Eksempel 3: Praktisk problem

En taxi har startpris 50 kr og koster 15 kr per km. Sett opp en funksjon for totalpris og finn prisen for 8 km.

Løsning:

La $x$ = antall km

$f(x) = 15x + 50$

For 8 km:
$f(8) = 15 \cdot 8 + 50 = 120 + 50 = 170$ kr

📝Oppgave 3.2.3

Løs de praktiske oppgavene:

Et mobilabonnement koster 99 kr/mnd pluss 0,50 kr per minutt. Sett opp funksjonen f(x) der x er antall minutter.

Finn totalkostnaden for 200 minutter med abonnementet over.

Strømprisen er 1,20 kr/kWh pluss 50 kr fastbeløp. Hva koster 150 kWh?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Lineær funksjon: $f(x) = ax + b$ , der grafen er en rett linje.
- Stigningstall $a$ : Hvor mye $y$ endres når $x$ øker med $1$ : $\displaystyle a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
- Konstantledd $b$ : Der grafen krysser $y$ -aksen, altså $f(0) = b$ .
- Praktisk tolkning: I prismodeller er $b$ ofte fastpris/startpris og $a$ pris per enhet.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Stigningstall	Endring i $y$ per enhet $x$
Konstantledd	Verdien der grafen krysser $y$ -aksen
Lineær vekst	Lik økning per enhet

Viktige formler

f(x) = ax + b

\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.