3.2 Lineær modellering

Taxituren som ble matematikk

Du og to venner skal hjem fra kino og bestiller taxi. Allerede før bilen begynner å kjøre, viser taksameteret 50 kroner -- det er startprisen. Så tikker det jevnt og trutt oppover: 15 kroner for hver kilometer. Denne prislappen er faktisk en av matematikkens viktigste funksjoner i forkledning.

En lineær funksjon har formen $f(x) = ax + b$, og grafen er alltid en rett linje. De to tallene $a$ og $b$ har hver sin jobb. Tallet $a$ kalles stigningstallet og forteller hvor bratt linjen er -- i taxien er det de 15 kronene per kilometer. Tallet $b$ kalles konstantleddet og forteller hvor linjen krysser y-aksen -- startprisen på 50 kroner, det du må betale før du har kjørt en eneste meter.

Taxituren blir dermed $f(x) = 15x + 50$, der $x$ er antall kilometer. Det fine med lineære funksjoner er at de dukker opp overalt: mobilabonnement med fastpris og minuttpris, strømregninger med fastbeløp og pris per kilowattime, og utallige andre situasjoner der noe vokser jevnt. I dette kapittelet skal vi bli kjent med stigningstallet og konstantleddet -- og lære å finne funksjonsuttrykket selv.

Hvor bratt? Stigningstallet

Stigningstallet $a$ forteller hvor mye $y$ endres hver gang $x$ øker med 1. Vokser $y$ med 2 for hvert steg, er $a = 2$. Synker $y$, er stigningstallet negativt. Og står $y$ helt stille, er $a = 0$ -- da er linjen vannrett.

Men hva gjør vi når vi bare kjenner to punkter på linjen? Da bruker vi formelen
$$a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
Den greske bokstaven $\Delta$ (delta) betyr «endring i», så formelen sier rett og slett: endringen i $y$ delt på endringen i $x$.

La oss prøve med punktene $(1, 3)$ og $(4, 9)$. Endringen i $y$ er $9 - 3 = 6$, og endringen i $x$ er $4 - 1 = 3$. Dermed er $\displaystyle a = \frac{6}{3} = 2$: hver gang $x$ øker med 1, øker $y$ med 2. Tar vi i stedet punktene $(1, 8)$ og $(5, 0)$, får vi $\displaystyle a = \frac{0 - 8}{5 - 1} = \frac{-8}{4} = -2$ -- linjen synker. Husk fortegnsspråket: $a > 0$ betyr at linjen stiger mot høyre, $a < 0$ at den synker, og $a = 0$ at den er horisontal. Jo større tallverdien av $a$ er, desto brattere er linjen.

Startpunktet og veien til funksjonsuttrykket

Konstantleddet $b$ er y-verdien når $x = 0$ -- altså punktet der grafen krysser y-aksen. For $f(x) = 2x + 3$ ser vi det direkte: $f(0) = 2 \cdot 0 + 3 = 3$, så konstantleddet er $b = 3$ og grafen krysser y-aksen i $(0, 3)$.

Nå kan vi snu på det hele: Hvis vi kjenner to punkter på en linje, kan vi finne hele funksjonsuttrykket. Si at linjen går gjennom $(2, 5)$ og $(4, 9)$. Første steg er stigningstallet: $\displaystyle a = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$. Da vet vi at $f(x) = 2x + b$, men $b$ er fortsatt ukjent.

Andre steg er å bruke ett av punktene vi kjenner. Punktet $(2, 5)$ ligger på linjen, så $f(2)$ må være 5. Vi setter inn: $5 = 2 \cdot 2 + b$, altså $5 = 4 + b$, som gir $b = 1$. Dermed er funksjonsuttrykket $f(x) = 2x + 1$.

Noen ganger får du oppgaven servert enklere. Står det at linjen har stigningstall 3 og går gjennom $(0, 2)$, er du egentlig ferdig med en gang: punktet $(0, 2)$ ligger på y-aksen, så $b = 2$, og $f(x) = 3x + 2$. Oppskriften er alltid den samme -- finn $a$ først, finn $b$ etterpå.

Lineære funksjoner i lommeboka

Tilbake til taxien: $f(x) = 15x + 50$. Hvor mye koster turen hjem hvis det er 8 kilometer? Vi setter inn: $f(8) = 15 \cdot 8 + 50 = 120 + 50 = 170$ kroner. Delt på tre venner blir det ikke så ille.

Slik prismodellering er kanskje den vanligste bruken av lineære funksjoner. Et mobilabonnement koster for eksempel 99 kroner i måneden pluss 0,50 kroner per minutt du ringer. Da er totalprisen $f(x) = 0{,}5x + 99$, der $x$ er antall minutter. Ringer du 200 minutter, betaler du $f(200) = 0{,}5 \cdot 200 + 99 = 100 + 99 = 199$ kroner. Strømregningen følger samme mønster: et fastbeløp pluss en pris per kilowattime.

Legg merke til rollene tallene spiller. Konstantleddet $b$ er alltid det faste -- startprisen, fastbeløpet, abonnementsprisen -- det du betaler uansett. Stigningstallet $a$ er alltid det variable -- prisen per kilometer, per minutt eller per kilowattime. Når du leser en praktisk situasjon, kan du spørre deg selv: Hva er fast her, og hva vokser per enhet? Da har du funnet $b$ og $a$, og funksjonsuttrykket skriver nesten seg selv.

Fortellingen om den rette linjen

Taxituren lærte oss alt vi trenger å vite om lineære funksjoner. Formen er $f(x) = ax + b$, og grafen er en rett linje. Stigningstallet $a$ forteller hvor mye $y$ endres når $x$ øker med 1 -- og kjenner du to punkter, finner du det med $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Er $a$ positivt, stiger linjen; er det negativt, synker den; er det null, ligger den flatt.

Konstantleddet $b$ er startverdien -- der grafen krysser y-aksen, altså $f(0)$. Skal du finne hele funksjonsuttrykket fra to punkter, regner du først ut $a$, og deretter setter du inn ett av punktene for å finne $b$.

I praktiske situasjoner er tolkningen like viktig som regningen: $b$ er det faste (startpris, fastbeløp), og $a$ er det som løper per enhet (kroner per kilometer, per minutt, per kilowattime). Med dette språket kan du oversette utallige hverdagssituasjoner til matematikk -- og i neste kapittel skal vi tegne og tolke grafene deres for fullt.