11.P Prøver til del 11: Numerisk iterasjon

Fire prøver som dekker del 11 (numerisk iterasjon) på eksamensnivå, med fulle løsningsforslag.

120 min

0 oppgaver

Prøver til del 11Numerisk iterasjon

Din fremgang i kapitlet

0 / 0 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

11.1Fikspunktiterasjon og Euler-diskretisering

Hva prøvene dekker. Alt stoffet i kap. 11.1: fikspunktiterasjon og konvergensbetingelsen, utledningen av

x = 5(1-e^{-x})

fra Plancks strålingslov, Wien-konstanten fra roten, valg av fikspunktform, konvergensorden for fikspunkt, halvering og Newton, og Eulers metode med feilanslag.

Fire prøver à 25–45 minutter, til sammen omtrent 120 minutter:

- Prøve 11.A — fikspunktiterasjon på Planck-ligningen, og Wien-konstanten (~25 min)
- Prøve 11.B — fikspunktiterasjon på en annen ligning: molarvolumet i en reell gass (~25 min)
- Prøve 11.C — Euler-diskretisering med feilanslag (~25 min)
- Prøve 11.D — flervalg i eksamensformat: ni spørsmål A–F om numerisk iterasjon (~45 min)

Prøvene kan trygt deles over flere kvelder — én prøve per økt.

Hvor flervalget bor. Prøve 11.D ligger inline i teksten under, med seks ferdige alternativer per spørsmål slik eksamen har det, og med fasit som forklarer hvilken konkret feil hvert galt alternativ er regnet fram fra. De interaktive flervalgsspørsmålene — de som rettes automatisk — ligger i quizen til kapittel 11.1. Merk forskjellen: quizen har fire alternativer fordi det er formatet plattformen bruker, mens eksamen har fem eller seks. Derfor er 11.D skrevet med seks, og derfor er ren gjetting verdt om lag $17$ prosent her, ikke $25$ .

Om tidsanslagene. Anbefalingene ved hver deloppgave er regnetid, og summen av dem er mindre enn de deklarerte minuttene. Differansen er lesing av oppgaveteksten, kladd, tabelloppsett og gjennomlesing til slutt.

Slik bruker du prøvene. Prøve 11.A, 11.B og 11.C viser løsningen på to måter: den symbolske utledningen og «rask vei til tall», som er arbeidsformen som gir poeng på en flervalgseksamen. Prøve 11.D viser bare den raske veien, pluss felle-merking på hvert galt alternativ.

⚠ Ingen programmering. Alt her gjøres for hånd med en enkel kalkulator, slik hjelpemiddelkode C tillater. Tabellene er noe du fører på kladdearket, ikke kode som skal kjøres. Ingen oppgave i denne prøven krever mer enn en eksponentialtast og et minne å lagre forrige verdi i.

⚠ Den ene regelen som avgjør denne delen: TELL STEGENE. $x_0$ er startverdien, ikke en iterasjon; $n$ iterasjoner fra $x_0$ gir $x_n$ ; $n$ Euler-steg à $\Delta t$ tar deg til $t = n\Delta t$ . I denne sjangeren er nabo-alternativene naboer i iterasjonsrekken, ikke avrundinger — de skiller seg først i tredje desimal, og alle ser rimelige ut. Skriv $n$ i en egen kolonne, hver gang.

⚠ Symbolvarsel. $x$ er iterasjonsvariabelen, et rent tall. $s$ og $v$ er strekning og fart fra mekanikken. $T$ er temperatur i kelvin i Planck-delen. $b$ er Wien-konstanten i $\text{m}\cdot\text{K}$ i 11.A, men van der Waals' egenvolum i $\text{m}^3/\text{mol}$ i 11.B — enheten skiller dem, og hver prøve sier hvilken som gjelder. $\Delta t$ er tidssteget i sekunder, ikke en temperaturdifferanse.

⚠ Sifferdisiplin. Behold minst seks gjeldende siffer mellom iterasjonene. Dette er det ene stedet i boka der du skal beholde flere siffer enn ellers: iterasjonen krymper feilen med en fast faktor per steg, men bare den feilen som faktisk er der. Runder du underveis, låser du inn en feil ingen senere steg kan komme under. Sluttsvaret oppgis med tre eller fire siffer.

Forkunnskaper — sist du var her

Alt du trenger står i kap. 11.1, med bakgrunn fra kap. 9.2 og kap. 10.1. Her er verktøykassa samlet på én skjerm:

Fikspunktiterasjon:
$x_{n+1} = g(x_n), \qquad \text{konvergerer når } \lvert g'(x^*)\rvert < 1, \qquad e_{n+1} = g'(\xi)\,e_n$

Planck og Wien:
$x = 5\left(1-e^{-x}\right), \qquad x^* = 4{,}965114, \qquad b = \frac{hc}{x^*k_B}, \qquad \lambda_\text{maks} = \frac{b}{T}$

Konvergensorden:

Metode	Orden	Rate
Halvering	$1$	$\tfrac12$ eksakt
Fikspunkt	$1$	$\lvert g'(x^*)\rvert$
Newton	$2$	$\lvert f''/(2f')\rvert$

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \qquad \lvert e_n\rvert \le \frac{b_0-a_0}{2^{n+1}} \ \text{(halvering)}

Eulers metode:

s_{n+1} = s_n + v_n\,\Delta t, \qquad v_{n+1} = v_n + a_n\,\Delta t, \qquad \text{feil} \propto \Delta t

Fra Del 10, brukt i prøve 11.B:

$p = \frac{RT}{V-b} - \frac{a}{V^2} \quad \text{(per mol)}, \qquad R = 8{,}314\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$

Naturkonstanter:
$h = 6{,}626\cdot10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}, \qquad c = 2{,}998\cdot10^{8}\,\text{m/s}, \qquad k_B = 1{,}381\cdot10^{-23}\,\text{J/K}$

Nøkkelverdier til kontroll: $x^* = 4{,}965114$ · $g'(x^*) = 0{,}034886$ · $b = 2{,}898\cdot10^{-3}\,\text{m}\cdot\text{K}$ · rekken fra $x_0 = 3$ : $4{,}751065$ , $4{,}956788$ , $4{,}964823$ , $4{,}965104$ .
Rimelighetsgrenser: for $x = 5(1-e^{-x})$ er alltid $x < 5$ . For Euler ligger farten alltid under terminalfarten, og temperaturen alltid mellom start og omgivelsene.

Prøve 11.A — fikspunktiterasjon på Planck-ligningen (~25 min)

Prøve 11.B — fikspunktiterasjon på en annen ligning (~25 min)

Prøve 11.C — Euler-diskretisering med feilanslag (~25 min)

Prøve 11.D — flervalg i eksamensformat, ni spørsmål A–F (~45 min)

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.