1.3 Drill: kinematikk-kjeden (sjanger M10–M11, MC-tempo)

Sjangerdrill i MC-tempo: fra gitt $v(t)/\omega(t)$ til tallsvaret på maks-akselerasjon, strekning/vinkel, rundetelling — og normalkraft via krumning.

85 min

15 oppgaver

Drillkinematikk-kjeden (sjanger M10–M11MC-tempo)

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Krumning og normalkraft — $1/\rho=|y''|$ i topp- og bunnpunkt

Brukes videre i

1.PPrøver til del 1: Kinematikk og krum bane

Dette er et treningskapittel, ikke et teorikapittel. Her drilles de to sjangrene fra Del 1 i eksamenstempo:

Sjanger M10 — kinematikk fra gitt fartsfunksjon («her er $v(t)$ eller $\omega(t)$ , finn akselerasjon, strekning eller antall runder») i om lag 8 av 10 sett (~80 %), høyeste prioritet — dette må sitte.

Sjanger M11 — krumning og normalkraft («her er en bane $y(x)$ , finn normalkraften i toppen eller bunnen») i rundt 6 av 10 sett (~60 %), prioritet bør sitte.

Begge hører til mekanikkhalvdelen, spørsmål 1–20.

Om tidsbruken. Kapitlet er anslått til 85 minutter, og det er lagt opp som fire økter du trygt kan dele over flere kvelder: løsningsoppskriften og den gjennomregnede caset (~20 min), M10-oppgavene 1–7 (~25 min), M11-oppgavene 8–12 (~20 min), og de sammensatte oppgavene 13–15 (~20 min). Sju av de femten oppgavene er i A–F-format med seks ferdige alternativer, akkurat som eksamen; resten er i åpen form, slik at du trener både metoden og bokstavsvaret.

Målet er tempo med presisjon. På eksamen har du rundt seks minutter per spørsmål. Oppgavene her skal du klare på tre til fem — og fortsatt med fire gjeldende siffer gjennom kjeden.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet trener stoffet fra kap. 1.1 og kap. 1.2, og innfører ingenting nytt. Her er de fem relasjonene du kommer til å bruke, ferdig oppfrisket:

$a(t) = \frac{dv}{dt}, \qquad \alpha(t) = \frac{d\omega}{dt}$
Akselerasjon og vinkelakselerasjon som deriverte. For den mettende modellen $v = v_0(1 - e^{-t/\tau})$ er $a(t) = (v_0/\tau)e^{-t/\tau}$ , med maksimum i $t = 0$ .

$s(t) = v_0\left[t - \tau\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\right]$
Strekningen for den mettende modellen. Den asymptotiske formen er $v_0(t - \tau)$ .

$\varphi_\text{tot} = \omega_0\tau \ \ \text{for}\ \omega_0e^{-t/\tau} \ \text{og}\ \omega_0\tfrac{t}{\tau}e^{-t/\tau}, \qquad \varphi_\text{tot} = 2\omega_0\tau \ \ \text{for}\ \omega_0\left(\tfrac{t}{\tau}\right)^2e^{-t/\tau}$
Totalvinklene for de tre standardmodellene, alle fra $\int_0^\infty u^ne^{-u}du = n!$ .

$n = \left\lfloor \frac{\varphi_\text{tot}}{2\pi} \right\rfloor$
Antall hele omdreininger — heltallsdelen, aldri desimaltallet.

$\rho = \frac{1}{\lvert y''\rvert} \ (\text{i topp-/bunnpunkt}), \qquad N = m\left(g \mp \frac{v^2}{\rho}\right)$
Krumningsradien og normalkraften: minus i toppunkt, pluss i bunnpunkt. Farten får du fra energibevaring, $v^2 = 2g\,\Delta y$ ved fall fra ro.

Symbolmerknad. I dette kapitlet er $\tau$ en tidskonstant i sekunder, $\rho$ en krumningsradius i meter, og $N$ en normalkraft i newton. Verken $T$ , $p$ , $R$ eller $S$ opptrer, så ingen av bokas symbolkollisjoner er aktive her.

📜Løsningsoppskrift — rask vei til tall (MC-oppskrift) i fem trinn

Dette er rask vei til tall for hele kinematikk-kjeden: algoritmen du skal kjøre uten å tenke, fra oppgitte tall til bokstavsvar. Den dekker begge sjangrene, og trinn 1 avgjør hvilken vei du går.

1. Hva spørres det om? Fire muligheter, og du skal kunne kjenne dem igjen på tre sekunder:
- akselerasjon eller vinkelakselerasjon → derivér;
- strekning eller total vinkel → integrér;
- antall hele omdreininger → integrér, del på $2\pi$ , ta heltallsdelen;
- normalkraft eller kritisk fart → krumning, deretter Newtons 2. lov inn mot krumningssenteret.

2. Maksimal akselerasjon: prøv $t = 0$ først — men sjekk. For de mettende og de rent avtakende modellene ligger maksimum i randpunktet $t = 0$ , og du kan sette inn direkte. For potensmodellene $\omega_0(t/\tau)^ke^{-t/\tau}$ må du derivere og sette lik null. Kontrollen som avgjør: er den deriverte negativ for alle $t$ ? Da er $t = 0$ riktig.

3. Total vinkel: integrér til $t \to \infty$ , eller til det oppgitte tidspunktet. Spørres det om totalen «før den stopper», bruk $\varphi_\text{tot}$ fra tabellen over. Spørres det om et endelig tidspunkt, må du bruke $\varphi(t) = \omega_0\tau(1 - e^{-t/\tau})$ for den avtakende modellen. Å forveksle de to er den nest vanligste feilen i sjangeren.

4. Rundetelling: $\lfloor\varphi_\text{tot}/2\pi\rfloor$ , med fire siffer. Bruk $2\pi = 6{,}28319$ . Behold fire gjeldende siffer i totalvinkelen før du deler. Dette er ikke pedanteri — se margnotatene i det gjennomregnede caset under.

5. Normalkraft: fire raske trinn. $y''$ fra banen (husk faktoren 2 for et kvadratledd) → $\rho = 1/\lvert y''\rvert$ dersom $y' = 0$ , ellers hele uttrykket → $v^2$ fra energibevaring, og stopp ved $v^2$ → $N = m(g \mp v^2/\rho)$ med minus i topp og pluss i bunn.

Sluttsjekk, uansett vei: enhet, tierpotens, fortegn — og for rundetelling: er svaret et heltall?

✏️Gjennomregnet MC-case: turbinen som ruller ut — med margnotater

Dette er et komplett flervalgsspørsmål av den typen som kommer på eksamen, regnet gjennom i MC-tempo med margnotater om hvor poengene faktisk faller.

En turbin kobles fra og bremses ned etter
$\omega(t) = \omega_0 e^{-t/\tau}, \qquad \omega_0 = 63{,}0\,\text{rad/s},\quad \tau = 1{,}60\,\text{s}.$

Spørsmål 1. Hvor stor er vinkelakselerasjonen i det øyeblikket turbinen kobles fra?
A $-39{,}4\,\text{rad/s}^2$ · B $-101\,\text{rad/s}^2$ · C $-24{,}6\,\text{rad/s}^2$ · D $-63{,}0\,\text{rad/s}^2$ · E $-14{,}5\,\text{rad/s}^2$ · F $-1{,}60\,\text{rad/s}^2$

Spørsmål 2. Hvor mange hele omdreininger gjør turbinen før den står stille?
A 15 · B 101 · C 17 · D 32 · E 16 · F 10

Spørsmål 1: svar A.

Margnotat — hvilken lov? Vinkelakselerasjonen er den deriverte av vinkelfarten. Ingen annen lov er i spill. Tre sekunder.

Margnotat — hvilken ene regnelinje? Derivér den avtakende eksponentialen. Den indre deriverte er $-1/\tau$ :
$\alpha(t) = -\frac{\omega_0}{\tau}e^{-t/\tau} \quad\Longrightarrow\quad \alpha(0) = -\frac{63{,}0\,\text{rad/s}}{1{,}60\,\text{s}} = -39{,}375\,\text{rad/s}^2 \approx -39{,}4\,\text{rad/s}^2.$
Én divisjon. Tjue sekunder.

Margnotat — hva hentes hvor? Relasjonen $\alpha = d\omega/dt$ står på det utdelte arket. Den deriverte av eksponentialfunksjonen slår du opp i Rottmann hvis du er usikker. Selve derivasjonen av den konkrete modellen må du gjøre selv.

Margnotat — hvor mange siffer? Her holder tre, siden svaret ikke er et heltall og alternativene ligger langt fra hverandre. Men skriv $-39{,}375$ i kladden og rund til slutt.

Margnotat — hvilket nabo-alternativ lander du på hvis du slurver? F ( $-1{,}60$ ) er å forveksle $\tau$ med svaret. D ( $-63{,}0$ ) er å oppgi $\omega_0$ i stedet for $\alpha$ — samme tall, feil størrelse og feil enhet. B ( $-101$ ) er å multiplisere i stedet for å dividere: $63{,}0 \cdot 1{,}60 = 100{,}8$ . C ( $-24{,}6$ ) er $\omega_0/\tau$ evaluert ved $t = \tau$ , altså $-39{,}375 \cdot e^{-1} \cdot ...$ nei — det er $-39{,}375$ ganget med $0{,}625 = 1/1{,}60$ , altså å dele på tidskonstanten to ganger. E ( $-14{,}5$ ) er $\alpha(\tau) = -39{,}375e^{-1} = -14{,}49$ , altså riktig regning på feil tidspunkt. Merk at fire av de fem gale svarene er samme fysikk med ett bomskudd i bokføringen.

Spørsmål 2: svar E.

Margnotat — hvilken lov? Antall runder krever totalvinkelen, altså integralet av vinkelfarten over hele nedbremsingen.

Margnotat — hvilken ene regnelinje? For den avtakende modellen er totalvinkelen ferdig utregnet en gang for alle:
$\varphi_\text{tot} = \omega_0\tau = 63{,}0\,\text{rad/s} \cdot 1{,}60\,\text{s} = 100{,}80\,\text{rad}.$
Deretter én divisjon og en heltallsdel:
$\frac{100{,}80}{6{,}28319} = 16{,}0428 \quad\Longrightarrow\quad \textbf{16 hele omdreininger}.$

Margnotat — hvor mange siffer, og hvorfor det avgjør alt her. Dette er kapitlets viktigste enkeltpoeng. Svaret 16,0428 ligger så vidt over 16. Runder du totalvinkelen til to gjeldende siffer først — til $100\,\text{rad}$ , som ser helt uskyldig ut — får du
$\frac{100}{6{,}28319} = 15{,}9155 \quad\Longrightarrow\quad 15 \text{ hele omdreininger}.$
En avrunding på 0,8 prosent flyttet svaret til alternativ A. Og bruker du $2\pi \approx 6{,}28$ i stedet for 6,28319, får du $100{,}80/6{,}28 = 16{,}051$ — heldigvis fortsatt 16, men marginen er 0,05. Behold fire siffer i totalvinkelen, og bruk 6,28319.

Margnotat — de andre fellene. C (17) er vanlig avrunding av 16,04 oppover. B (101) er totalvinkelen i radianer, uten omregning. D (32) er å dele på $\pi$ i stedet for $2\pi$ . F (10) er å bruke $\omega_0$ alene som totalvinkel: $63{,}0/6{,}28319 = 10{,}03$ .

Margnotat — sluttsjekken, ti sekunder. Spørsmålet spør om hele omdreininger, så svaret må være et heltall — det stryker ingenting her, men det ville strøket et desimaltall om det hadde stått i lista. Turbinen starter på 63 rad/s, altså ti omdreininger i sekundet, og bremser ned over noen sekunder: et par titalls runder er rimelig. Det stryker B (101) med en gang. Da står du igjen med 10, 15, 16, 17 og 32 — og fysikken må avgjøre mellom 15, 16 og 17.

Økt 2 — M10: derivér, integrér, tell runder (~25 min)

Sju oppgaver på kinematikk-kjeden. Oppgave 1, 4 og 6 er i A–F-format med seks alternativer; de øvrige er i åpen form. Regn med tre til fem minutter per oppgave, og hold fire siffer gjennom kjeden.

📝Oppgave 1

Sjanger M10, A–F-format

En ferge starter fra ro og får farten

v(t) = v_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad v_0 = 45{,}0\,\text{m/s},\quad \tau = 9{,}00\,\text{s}.

Hvor stor er den største akselerasjonen?

A $1{,}84\,\text{m/s}^2$ · B $405\,\text{m/s}^2$ · C $5{,}00\,\text{m/s}^2$ · D $0{,}200\,\text{m/s}^2$ · E $2{,}50\,\text{m/s}^2$ · F $0{,}556\,\text{m/s}^2$

📝Oppgave 2

Sjanger M10

Samme ferge som i oppgave 1: $v_0 = 45{,}0\,\text{m/s}$ og $\tau = 9{,}00\,\text{s}$ .

a) Hvor langt har fergen kommet etter én tidskonstant, altså etter $9{,}00\,\text{s}$ ?
b) Hvor langt hadde den kommet om den hadde holdt $v_0$ hele veien, og hva er etterslepet?

📝Oppgave 3

Sjanger M10

En sentrifuge bremses ned etter

\omega(t) = \omega_0 e^{-t/\tau}, \qquad \omega_0 = 120\,\text{rad/s},\quad \tau = 3{,}20\,\text{s}.

a) Finn totalvinkelen rotoren dreier seg.
b) Hvor mange hele omdreininger blir det?

📝Oppgave 4

Sjanger M10, A–F-format

Et hjul settes i bevegelse og løper ut etter

\omega(t) = \omega_0\,\frac{t}{\tau}\,e^{-t/\tau}, \qquad \omega_0 = 54{,}0\,\text{rad/s},\quad \tau = 2{,}50\,\text{s}.

Hvor stor er den største vinkelfarten?

A $19{,}9\,\text{rad/s}$ · B $54{,}0\,\text{rad/s}$ · C $27{,}0\,\text{rad/s}$ · D $135\,\text{rad/s}$ · E $7{,}31\,\text{rad/s}$ · F $21{,}6\,\text{rad/s}$

📝Oppgave 5

Sjanger M10

En turbin følger

\omega(t) = \omega_0\left(\frac{t}{\tau}\right)^2 e^{-t/\tau}, \qquad \omega_0 = 18{,}0\,\text{rad/s},\quad \tau = 4{,}00\,\text{s}.

a) Hvor mange hele omdreininger gjør turbinen i alt?
b) Finn den største vinkelfarten og når den inntreffer.

📝Oppgave 6

Sjanger M10,…

En blander kobles fra og bremses ned etter

\omega(t) = \omega_0 e^{-t/\tau}, \qquad \omega_0 = 44{,}0\,\text{rad/s},\quad \tau = 2{,}30\,\text{s}.

Hvor mange hele omdreininger gjør rotoren før den står stille?

A 17 · B 101 · C 15 · D 16 · E 7 · F 32

📝Oppgave 7

Sjanger M10

En kajakk får farten

v(t) = v_0 - bt^2, \qquad v_0 = 27{,}0\,\text{m/s},\quad b = 3{,}00\,\text{m/s}^3.

a) Er akselerasjonen konstant? Finn $a(t)$ .
b) Når snur kajakken, hvor langt har den kommet da, og hvor stor er akselerasjonen i det øyeblikket?

— naturlig pausepunkt —

Økt 3 — M11: krumning og normalkraft (~20 min)

Fem oppgaver på krumningskjeden. Oppgave 8, 10 og 12 er i A–F-format. Huskeregelen du skal ha framme hele tiden: minus i toppunkt, pluss i bunnpunkt — og faktoren 2 når du deriverer et kvadratledd.

📝Oppgave 8

Sjanger M11, A–F-format

En kloss med masse $1{,}20\,\text{kg}$ glir uten friksjon over en bakketopp med profilen $y = 4{,}50 - 0{,}0800x^2$ (meter). I toppunktet er farten $5{,}00\,\text{m/s}$ .

Hvor stor er normalkraften i toppunktet?

A $11{,}8\,\text{N}$ · B $9{,}37\,\text{N}$ · C $16{,}6\,\text{N}$ · D $2{,}17\,\text{N}$ · E $10{,}8\,\text{N}$ · F $6{,}97\,\text{N}$

📝Oppgave 9

Sjanger M11

Bruk samme bakke som i oppgave 8, der krumningsradien i toppunktet er $6{,}250\,\text{m}$ .

a) Ved hvilken fart mister klossen kontakten med underlaget i toppunktet?
b) Fra hvilken høyde over toppunktet må klossen slippes fra ro for at den så vidt slipper underlaget når den kommer dit?

📝Oppgave 10

Sjanger M11, A–F-format

En syklist med sykkel, til sammen $72{,}0\,\text{kg}$ , kjører gjennom bunnen av en undergang med profilen $y = 0{,}0100x^2$ (meter). Farten i bunnpunktet er $11{,}0\,\text{m/s}$ .

Hvor stor er normalkraften fra veien?

A $532\,\text{N}$ · B $706\,\text{N}$ · C $722\,\text{N}$ · D $793\,\text{N}$ · E $881\,\text{N}$ · F $1\,055\,\text{N}$

📝Oppgave 11

Sjanger M11

En bane har profilen $y = 0{,}500x - 0{,}0400x^2$ (meter).

a) Finn banevinkelen i punktet $x = 3{,}00\,\text{m}$ .
b) Finn krumningsradien i det samme punktet.
c) Hvor ligger banens toppunkt, og hva er krumningsradien der?

📝Oppgave 12

Sjanger M11, A–F-format

En kloss med masse $3{,}00\,\text{kg}$ slippes fra ro i en høyde $2{,}00\,\text{m}$ over et toppunkt på en glatt bane og glir ned til toppunktet, der krumningsradien er $12{,}0\,\text{m}$ .

Hvor stor er normalkraften i toppunktet?

A $9{,}81\,\text{N}$ · B $19{,}6\,\text{N}$ · C $24{,}5\,\text{N}$ · D $27{,}9\,\text{N}$ · E $29{,}4\,\text{N}$ · F $39{,}2\,\text{N}$

— naturlig pausepunkt —

Økt 4 — sammensatte oppgaver (~20 min)

De tre siste oppgavene blander sjangrene og krever at du velger verktøy selv. Oppgave 14 er i A–F-format.

📝Oppgave 13

(Kvalitativ oppgave — verktøyvalg.) For hvert av de fire spørsmålene under: si hvilket verktøy du ville brukt (derivere, integrere, integrere og ta heltallsdelen, eller krumning pluss Newtons 2. lov), og hvorfor. Du skal ikke regne ut noe.

a) «Vinkelfarten til et hjul er $\omega(t) = \omega_0(t/\tau)e^{-t/\tau}$ . Hvor stor er vinkelakselerasjonen ved $t = 0$ ?»

b) «En bane har profilen $y = h - ax^2$ . Ved hvilken fart mister en kloss kontakten i toppunktet?»

c) «En turbin bremses ned etter $\omega = \omega_0e^{-t/\tau}$ . Hvor mange ganger passerer et fast merke på rotoren et fast merke på huset?»

d) «En båt får farten $v = v_0(1 - e^{-t/\tau})$ . Hvor langt har den kommet etter $4\tau$ ?»

📝Oppgave 14

Sjanger M10,…

Turbinen fra det gjennomregnede caset bremses ned etter

\omega(t) = \omega_0 e^{-t/\tau}, \qquad \omega_0 = 63{,}0\,\text{rad/s},\quad \tau = 1{,}60\,\text{s}.

Hvor mange hele omdreininger har turbinen gjort etter

t = 2\tau

A 16 · B 87 · C 2 · D 27 · E 13 · F 14

📝Oppgave 15

Sjanger M10,…

En rotor bremses ned etter $\omega(t) = \omega_0e^{-t/\tau}$ . Du får oppgitt to opplysninger: vinkelakselerasjonen i det øyeblikket bremsingen starter, er $\alpha(0) = -35{,}0\,\text{rad/s}^2$ , og den totale dreievinkelen fram til stillstand er $140\,\text{rad}$ .

a) Finn $\omega_0$ og $\tau$ .
b) Hvor mange hele omdreininger gjør rotoren?
c) Hvor lang tid går det før halvparten av totalvinkelen er tilbakelagt?

Typiske feil — hele M10- og M11-repertoaret, og avrundingsfellen

Alle fellene under er hentet fra oppgavene du nettopp har gjort, og hver av dem svarte til et konkret alternativ.

Å bruke konstant-akselerasjonsformlene når akselerasjonen ikke er konstant (felle #3). Sjekken er tre sekunder: står det en $t$ i uttrykket for $a$ ? I oppgave 7 ga fella 20,3 m i stedet for 54,0 m.

Å lete etter maksimum ved feil tidspunkt. For de mettende og de rent avtakende modellene ligger maksimal akselerasjon i $t = 0$ . For potensmodellene gjør den ikke det — i oppgave 5 var $\alpha(0) = 0$ . Derivér, sett lik null, og hvis ligningen ikke har løsning, ligger maksimum i randen.

Å lese konstanten $\omega_0$ som toppfarten. I potensmodellene er $\omega_\text{maks} = \omega_0/e$ eller $4\omega_0e^{-2}$ , ikke $\omega_0$ . Alternativet « $\omega_0$ » ligger nesten alltid i lista (oppgave 4, alternativ B).

Å bruke totalvinkelen når spørsmålet gjelder et endelig tidspunkt — eller omvendt. Totalvinkelen er $\omega_0\tau$ ; vinkelen etter tiden $t$ er $\omega_0\tau(1 - e^{-t/\tau})$ . Dette var alternativ A i oppgave 14, og det er en feil som gir et helt plausibelt tall.

Å oppgi desimaltallet i stedet for heltallet ved rundetelling, eller å runde av i stedet for å ta heltallsdelen. 16,11 hele runder er 16, ikke 17.

Å glemme faktoren 2 i den andrederiverte. For $y = h - ax^2$ er $\lvert y''\rvert = 2a$ . Fella ga 9,37 N i stedet for 6,97 N i oppgave 8.

Feil fortegn på sentripetalleddet (felle #5). Minus i toppunkt, pluss i bunnpunkt. Sluttsjekken er å sammenligne med $mg$ : mindre i topp, større i bunn. Den ene sjekken strøk to eller tre alternativer i hver av oppgavene 8, 10 og 12.

Og avrundingsfellen som avgjør denne sjangeren (felle #16 — avrundingsfeil som lander på nabo-alternativet). Rundetellingen er den ene plassen i hele emnet der svaret er et heltall, og der en helt normal avrunding derfor gir et helt annet svar. To konkrete tilfeller fra dette kapitlet:

- Det gjennomregnede caset: $100{,}80\,\text{rad}$ gir 16 runder, $100\,\text{rad}$ gir 15. Feil i totalvinkelen: 0,8 prosent.
- Oppgave 6: $101{,}20\,\text{rad}$ gir 16 runder, $100\,\text{rad}$ gir 15. Feil: 1,2 prosent.

I krumningsoppgavene er mekanismen en annen, men konsekvensen den samme: svaret er en differanse mellom $g$ og $v^2/\rho$ , to tall av samme størrelsesorden. Runder du sentripetalleddet til to siffer, kan differansen bli et par prosent feil — nok til å bytte alternativ når de ligger tett.

Regelen for hele kapitlet: fire gjeldende siffer i alle mellomresultater, og $2\pi = 6{,}28319$ .

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Sjanger M10 — kinematikk fra gitt fartsfunksjon

v(t)

Sjanger M11 — krumning og normalkraft

y(x)

MC-tempo

Arbeidstempoet en ren flervalgseksamen krever: rundt seks minutter per spørsmål på 40 spørsmål i fire timer, medregnet lesing, kladd og avkryssing. I praksis betyr det to til fire minutter på en sjanger du har drillet, og åtte til tolv på en koblet klynge — ikke seks minutter jevnt fordelt. Tempoet oppnås ikke ved å regne fortere, men ved å kjenne igjen sjangeren og kjøre en ferdig oppskrift. Det er hele grunnen til at drillkapitler finnes.

Nabo-alternativ i kinematikk-kjeden

y''

Eliminasjon ved størrelsesorden

mg

Sifferbudsjett i en regnekjede

Praksisen med å bestemme på forhånd hvor mange siffer hvert mellomresultat skal bæres med — i denne boka fire — og først runde i sluttsvaret, som oppgis med to til tre. Budsjettet er strengere enn i mange andre fag av to grunner: alternativene ligger tett og systematisk, og to av kapitlets svartyper er ekstra ømme. Antall omdreininger er et heltall, der en prosents feil kan tippe svaret; og normalkraften er en differanse mellom to tall av samme størrelsesorden, der en avrunding spiser et helt siffer i differansen.

Endelig tid eller total utrulling

\omega = \omega_0e^{-t/\tau}

Verktøyvalget i trinn 1

Det første og billigste trinnet i løsningsoppskriften: å avgjøre på tre sekunder om spørsmålet krever derivasjon, integrasjon, integrasjon pluss heltallsdel, eller krumning pluss Newtons 2. lov. Nøkkelordene er pålitelige: «akselerasjon» betyr derivér, «hvor langt» eller «hvor stor vinkel» betyr integrér, «hvor mange runder» eller «hvor mange ganger passerer» betyr integrér og ta heltallsdelen, og «normalkraft», «trykker mot» eller «mister kontakten» betyr krumning. Feil verktøyvalg koster hele poenget, uansett hvor riktig regningen etterpå er.

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.