8.1 Problemstilling og plan

a) Skjermtid sier verken hvem, hva eller når. Vi bestemmer alle tre:

Er gjennomsnittlig skjermtid på telefonen en vanlig skoledag høyere enn
$180$ minutter blant elevene på VG2 ved skolen vår?

Populasjonen er elevene på VG2 ved én bestemt skole. Variabelen er skjermtid
på telefonen, målt i minutter, avlest i telefonens egen skjermtidslogg.
Tidsrommet er én bestemt skoledag. Og svaret kan bli nei.

b) Dyrere må gjøres til et tall, og strøm til et bestemt prisbegrep:

Hvor mye har gjennomsnittlig spotpris på strøm i prisområde NO1 endret seg
fra 2015 til 2025, målt i øre per kWh?

Her er populasjonen alle timene i tidsrommet, variabelen er spotprisen i øre
per kWh, og kilden er offentlig tilgjengelig.

c) Gjør det bedre og trener må begge måles:

Er det en sammenheng mellom antall dager med trening siste uke og
karaktersnittet ved forrige terminoppgjør blant elevene på VG2 ved skolen
vår?

Legg merke til at vi skriver sammenheng, ikke fører til. Grunnen står i
kapittel 2.4 Korrelasjon og årsak: et spredningsplott kan aldri vise hva som
er årsak.

Svar: De tre problemstillingene over. Hver av dem sier hvem, hva, hvordan
målt og når — og hver av dem kan besvares med nei.

a) Beskrive. Vi trenger én kategorisk variabel (sykler / sykler ikke) for
hver enhet i et utvalg av elevene. Analysen blir en andel $\hat{p}$ og et
konfidensintervall for $p$ (kapittel 7.3).

b) Sammenligne. Vi trenger ventetid i minutter, registrert for hver
pasient, og et felt som sier hvilken ukedag det var. To grupper, og en
test av forskjellen mellom to gjennomsnitt (kapittel 7.5).

Her ser vi hvorfor typen må avgjøres først: glemmer vi å registrere ukedagen,
har vi et stort og velmålt datamateriale som ikke kan svare på
problemstillingen i det hele tatt.

c) Sammenheng. Vi trenger to tall for hver elev: timer deltidsjobb
siste uke og antall fraværsdager i terminen. Analysen blir spredningsplott,
korrelasjonskoeffisient og regresjonslinje (kapittel 2.1–2.3).

Svar: a) beskrive, én kategorisk variabel; b) sammenligne, ventetid pluss
gruppetilhørighet; c) sammenheng, to numeriske variabler på hver elev.

a) Problemstillingen sammenligner ett gjennomsnitt med en oppgitt verdi
($200$ minutter). Det er typen sammenligne, og analysen blir en
hypotesetest for $\mu$ (kapittel 7.5).

b) Vi må bestemme fem ting, og skrive dem ned:

Åpne Skjermtid på telefonen din og finn totalen for mandag 15. september.
Skriv tallet i minutter, avrundet til nærmeste fem minutter. Eksempel: 2

timer 12 minutter skrives som 130.

Svar: a) sammenligne; b) skjermtid i minutter, avlest i telefonens logg

mandag i uke 38, avrundet til nærmeste fem minutter; c) spørsmålet over.

Vi bruker det verste tilfellet, $p = 0{,}5$, for da blir $p(1-p)$ størst:

$$E = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

Vi setter inn:

$$0{,}05 = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{n}}$$

Vi løser for $n$. Først deler vi på $1{,}96$ på begge sider:

$$\frac{0{,}05}{1{,}96} = \sqrt{\frac{0{,}25}{n}}$$

Så kvadrerer vi begge sider:

$$\left(\frac{0{,}05}{1{,}96}\right)^2 = \frac{0{,}25}{n}$$

og ganger med $n$ og deler på venstresiden:

$$n = \frac{0{,}25}{\left(\frac{0{,}05}{1{,}96}\right)^2} = \frac{0{,}25 \cdot 1{,}96^2}{0{,}05^2} = \frac{0{,}9604}{0{,}0025} = 384{,}16$$

Vi runder opp, for $384$ ville gitt litt for stor feilmargin:

$$n = 385$$

Det er derfor så mange meningsmålinger har omtrent tusen svar: skal
feilmarginen ned i $3$ prosentpoeng, trengs $n = 1\,068$.

b) Hva vet vi? $\sigma \approx 55$ minutter og $n = 40$.

$$E_{\bar{x}} = 1{,}96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

$$E_{\bar{x}} = 1{,}96 \cdot \frac{55}{\sqrt{40}} = \frac{107{,}8}{6{,}3246} \approx 17{,}0$$

Feilmarginen blir omtrent $17$ minutter. Anslaget for gjennomsnittet kommer
altså til å være noe slikt som «$219$ minutter, pluss/minus $17$ minutter».

c) Vi setter $E = 10$ og løser for $n$:

$$10 = 1{,}96 \cdot \frac{55}{\sqrt{n}}$$

$$\sqrt{n} = \frac{1{,}96 \cdot 55}{10} = \frac{107{,}8}{10} = 10{,}78$$

$$n = 10{,}78^2 = 116{,}2 \approx 117$$

Kommentar: $117$ av $184$ elever er nesten to av tre. Da er vi så nær en
totaltelling at det er enklere å spørre alle. Det er en viktig lærdom om små
populasjoner: der lønner det seg ofte å slutte å trekke utvalg og heller
prøve å nå alle.

Svar: a) $385$ personer, b) omtrent $17$ minutter, c) $117$ elever — så
mange at elevrådet like gjerne kan forsøke en totaltelling.

1. Problemstilling

Er gjennomsnittlig skjermtid på telefonen en vanlig skoledag høyere enn
$200$ minutter blant elevene på VG2 ved Fjordbyen videregående skole?

Type: sammenligne (ett gjennomsnitt mot en oppgitt verdi).

Tilleggsspørsmål (type sammenheng): Er det en sammenheng mellom
skjermtiden på skoledagen og antall timer søvn natten etter?

2. Populasjon

De $184$ elevene på VG2-lista per 15. september.

3. Variabler

seg, forkastes. Vi trekker $40$ fordi vi venter noe frafall og ønsker minst

$35$ svar.
5. Forventet presisjon
Med $\sigma \approx 55$ minutter fra piloten og $n = 40$:
$$E = 1{,}96 \cdot \frac{55}{\sqrt{40}} \approx 17 \text{ minutter}$$

Vi kan altså ikke oppdage små forskjeller — bare forskjeller på

størrelsesorden en halvtime.

6. Kjente feilkilder, vurdert på forhånd

$\bar{x}$, $s$, median, histogram og boksplott (kapittel 1.2–1.5); $95\ \%$

konfidensintervall for $\mu$ (kapittel 7.2); hypotesetest med $H_0$: $\mu = 200$ mot $H_1$: $\mu > 200$ på $5\ \%$ signifikansnivå (kapittel 7.5);
spredningsplott og korrelasjonskoeffisient for søvn mot skjermtid (kapittel
2.1–2.3).
8. Personvern
Skjemaet er anonymt. Ingen navn, ingen klasse.
NB: Legg merke til punkt 7. Analysen er valgt før dataene er sett. Det

er ikke en formalitet. Velger du test etter at du har sett tallene, kan du

alltid finne en test som gir det svaret du håpet på — og da måler
undersøkelsen deg, ikke virkeligheten.
Svar: Planen over, i åtte punkter.