8.2 Gjennomføring, analyse og presentasjon

Rad 4 — «ca 4 timer». Verdien finnes, men er i feil format. $4$ timer er
$4 \cdot 60 = 240$ minutter. Vi gjør den om og noterer det. Alternativet — å
kaste raden — ville fjernet informasjon vi faktisk har.

Rad 6 — tomt. Eleven svarte ikke. Her finnes ingen verdi å tolke, og raden
tas ut. Den teller som frafall, ikke som nedsatt datakvalitet, og skal med
i svarprosenten.

Rad 7 — $1\,440$. Et døgn har $24 \cdot 60 = 1\,440$ minutter. Verdien er
altså hele døgnet, søvnen inkludert, og er umulig som skjermtid. Vi tar den
ut, og noterer at vi mistenker at eleven leste av feil tall i loggen.

Rad 8 — $330$. Dette er den høyeste ekte verdien i materialet, men $5{,}5$
timer på telefonen er fullt mulig. Vi beholder den. (Vi kontrollerer senere om
den er en uteligger etter regelen i kapittel 1.5 — det er den ikke.)

Dataloggen:

Gjennomsnittet er summen delt på antallet:

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$$

Summen av alle $36$ verdiene er $7\,890$, så

$$\bar{x} = \frac{7\,890}{36} = 219{,}1\overline{6} \approx 219{,}2 \text{ minutter}$$

Det er $3$ timer og $39$ minutter.

For spredningen bruker vi utvalgsstandardavviket $s$, altså den som deler
på $n - 1$. Grunnen står i kapittel 5.7: de $36$ elevene er et utvalg som skal
si noe om alle $184$, og da underestimerer $n$-versjonen spredningen i
populasjonen.

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2}$$

I regneark: =STDAV.S(B2:B37). Det gir

$$s \approx 55{,}4 \text{ minutter}$$

(Føres ikke: hele summen $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 107\,325$ regnes av
regnearket.)

b) Femtallssammendraget (kapittel 1.5). Med $n = 36$ er medianen snittet av
den $18.$ og den $19.$ verdien:

$$\text{median} = \frac{225 + 230}{2} = 227{,}5$$

Nedre kvartil er medianen i de $18$ laveste, altså snittet av den $9.$ og
$10.$:

$$Q_1 = \frac{175 + 180}{2} = 177{,}5$$

Øvre kvartil er medianen i de $18$ høyeste, altså snittet av den $27.$ og
$28.$:

$$Q_3 = \frac{255 + 255}{2} = 255$$

Femtallssammendraget er $125$ — $177{,}5$ — $227{,}5$ — $255$ — $330$.

Uteliggergrensene fra kapittel 1.5:

$$Q_3 - Q_1 = 255 - 177{,}5 = 77{,}5$$

$$Q_3 + 1{,}5 \cdot 77{,}5 = 255 + 116{,}25 = 371{,}25$$

$$Q_1 - 1{,}5 \cdot 77{,}5 = 177{,}5 - 116{,}25 = 61{,}25$$

Største verdi er $330$, minste er $125$. Begge ligger godt innenfor. Ingen
uteliggere — og dermed ingen verdi vi trenger å diskutere om skal være med.

Femtallssammendraget som bilde: 125 — 177,5 — 227,5 — 255 — 330. Boksen rommer de midterste 50 % av elevene, og $Q_3 - Q_1 = 77{,}5$ minutter. Uteliggergrensene $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR} = 61{,}25$ og $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR} = 371{,}25$ ligger utenfor alle målingene, så materialet har ingen uteliggere. Den røde romben er gjennomsnittet 219,2 — det ligger til venstre for medianen, som i en venstreskjev fordeling.

c) Vi teller opp i klasser med bredde $50$:

midten. Klassene er $5, 8, 10, 10, 3$, og det er nøyaktig like langt fra

medianen ut til hver ytterverdi: $330 - 227{,}5 = 102{,}5$ og
$227{,}5 - 125 = 102{,}5$. Venstresiden er likevel litt tyngre enn høyresiden:
gjennomsnittet ($219{,}2$) ligger omtrent $8$ minutter under medianen
($227{,}5$), fordi det er flere lave verdier enn høye.

Skjermtid på en skoledag for de 36 elevene som svarte, i klasser på 50 minutter. Tyngdepunktet ligger mellom 200 og 300 minutter, og fordelingen er nesten symmetrisk, med et lite overskudd mot venstre: gjennomsnittet 219,2 ligger litt lavere enn medianen 227,5.

Svar: a) $\bar{x} \approx 219{,}2$ minutter og $s \approx 55{,}4$

minutter; b) $125$ — $177{,}5$ — $227{,}5$ — $255$ — $330$, ingen uteliggere;

c) $5, 8, 10, 10, 3$ — en tilnærmet symmetrisk fordeling uten uteliggere.

Vi begynner med standardfeilen, som begge delene bygger på:

$$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{55{,}4}{\sqrt{36}} = \frac{55{,}4}{6} \approx 9{,}23$$

a) Formelen for konfidensintervallet (kapittel 7.2), først tom:

$$\bar{x} \pm 1{,}96 \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

og så med tall:

$$219{,}17 \pm 1{,}96 \cdot 9{,}23$$

$$219{,}17 \pm 18{,}09$$

Intervallet blir

$$[\,201{,}1 \ ;\ 237{,}3\,]$$

Vi er altså $95\ \%$ sikre på at gjennomsnittlig skjermtid blant alle de
$184$ VG2-elevene ligger mellom $201$ og $237$ minutter.

Legg merke til bredden: intervallet er $36$ minutter bredt. Undersøkelsen kan
ikke skille $210$ fra $230$ minutter. Det var akkurat det feilmarginregningen
i kapittel 8.1 eksempel 4 forutsa — der kom vi fram til omtrent $17$ minutter
hver vei.

b) Hypotesene:

$$H_0: \mu = 200 \qquad H_1: \mu > 200$$

Testen er ensidig fordi problemstillingen spør om skjermtiden er høyere
enn i fjor, ikke om den er forskjellig fra i fjor.

Testobservatoren (kapittel 7.5), først tom:

$$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$$

og med tall:

$$z = \frac{219{,}17 - 200}{9{,}23} = \frac{19{,}17}{9{,}23} \approx 2{,}08$$

Den kritiske verdien for en ensidig test på $5\ \%$-nivå er $1{,}645$. Siden

$$2{,}08 > 1{,}645$$

forkaster vi $H_0$.

$p$-verdien er sannsynligheten for å få et gjennomsnitt minst så høyt som vårt,
dersom $H_0$ er sann:

$$p = P(Z \geq 2{,}08) \approx 0{,}019$$

c) På $1\ \%$-nivå er den kritiske verdien $2{,}326$. Nå er

$$2{,}08 < 2{,}326$$

og vi forkaster ikke. Det samme ser vi på $p$-verdien: $0{,}019 > 0{,}01$.

Dette er verdt å stoppe ved. Det samme datamaterialet gir «forkast» på
$5\ \%$-nivå og «forkast ikke» på $1\ \%$-nivå. Konklusjonen er altså ikke
solid — den er akkurat på riktig side av grensen vi valgte på forhånd. En
ærlig rapport skriver det, i stedet for bare å skrive «signifikant».

At 200 ligger utenfor intervallet, er den samme opplysningen som at testen forkaster $H_0$. Men marginen er 1,1 minutt på et intervall som er 36 minutter bredt. Konklusjonen er altså riktig — og tynn. Det er verdt å skrive i rapporten, ikke bare ordet «signifikant».

Svar: a) $[\,201{,}1 \ ;\ 237{,}3\,]$ minutter; b) $z \approx 2{,}08 > 1{,}645$, $p \approx 0{,}019$, så $H_0$ forkastes på $5\ \%$-nivå;
c) nei — på $1\ \%$-nivå forkastes ikke $H_0$.

b) Stigningstallet til regresjonslinja (kapittel 2.3), først tomt:

$$b = r \cdot \frac{s_y}{s_x}$$

og med tall:

$$b = -0{,}55 \cdot \frac{0{,}69}{55{,}38} = -0{,}0068527$$

Konstantleddet finner vi av at linja går gjennom $(\bar{x}, \bar{y})$:

$$a = \bar{y} - b \cdot \bar{x}$$

$$a = 7{,}08 - (-0{,}0068527) \cdot 219{,}17 = 7{,}08 + 1{,}5019 = 8{,}5819$$

Linja blir

$$y = -0{,}0068x + 8{,}58$$

(Føres ikke: vi har regnet videre på de avrundede tallene i tabellen over.
Regner regnearket i stedet direkte på de $36$ tallparene, får det
$b = -0{,}006825$ og $a = 8{,}5792$. Forskjellen sitter i fjerde gjeldende
siffer og skyldes bare avrundingen i tabellen — linja blir den samme.
Konstantleddet må derimot regnes med uavrundet $b$: setter du inn $-0{,}0068$,
får du $8{,}57$, og linja går ikke lenger gjennom $(\bar{x}, \bar{y})$.)

Søvn mot skjermtid for de 36 elevene, med regresjonslinja. Den loddrette aksen har et markert brudd, slik kapittel 1.6 krever av en innzooming. Spredningen rundt linja er stor — r = −0,55.

c) Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med $1$. Vi
ganger med $100$:

$$100 \cdot (-0{,}0068) = -0{,}68$$

Linja svarer til omtrent $0{,}68$ timer mindre søvn, altså rundt $41$ minutter,
per $100$ minutter mer skjermtid.

d) Andelen er $r^2$ (kapittel 2.3):

$$r^2 = (-0{,}55)^2 = 0{,}30 = 30\ \%$$

Omtrent $30\ \%$ av variasjonen i søvn henger sammen med skjermtiden. De
resterende $70\ \%$ skyldes alt annet: trening, jobb, lekser, bekymringer,
hvor langt eleven har til skolen.

e) Nei. Dette er kjernen i kapittel 2.4. Materialet er observert, ikke
framkalt: ingen ble tildelt mye eller lite skjermtid. Minst tre forklaringer
passer like godt til de samme punktene:

- Skjermtid går ut over søvnen.
- Den som sover dårlig, ligger våken med telefonen — årsaken går andre
veien.
- En tredje faktor, for eksempel kveldsjobb eller stress, gir både mer
skjermtid og mindre søvn.

Skal årsak avgjøres, trengs et forsøk der skjermtiden faktisk tildeles
tilfeldig — og det er noe annet enn en spørreundersøkelse.

Svar: a) middels sterk negativ sammenheng; b) $y = -0{,}0068x + 8{,}58$;
c) omtrent $0{,}68$ timer, altså rundt $41$ minutter; d) omtrent $30\ \%$;
e) nei — sammenheng er ikke årsak.

- «altfor mye» — en verdivurdering. Undersøkelsen har ikke målt noen grense
for hva som er for mye, og kan derfor ikke belegge ordet.
- «skjermtid ødelegger søvnen» — en årsakspåstand fra observerte data
(kapittel 2.4). Sammenhengen er målt; retningen er ikke.
- «økt kraftig» — testen forkastet $H_0$ på $5\ \%$-nivå, men ikke på
$1\ \%$. Forskjellen er $19$ minutter, mot en feilmargin på $18$. «Kraftig»
er ikke dekkende.
- «elevene» — hvilke? Dataene gjelder VG2 ved én skole, på én dag, og bare
telefonen.

Utkast B — en konklusjon materialet bærer:

Blant de $36$ VG2-elevene som svarte, var gjennomsnittlig skjermtid på
telefonen mandag 15. september $219$ minutter. Et $95\ \%$ konfidensintervall
for gjennomsnittet blant alle $184$ VG2-elevene er $[\,201 \ ;\ 237\,]$
minutter. En ensidig test forkaster $H_0$: $\mu = 200$ på $5\ \%$-nivå
($z = 2{,}08$, $p = 0{,}019$), men ikke på $1\ \%$-nivå. Vi har altså et
visst, men ikke sterkt, belegg for at skjermtiden er høyere enn de $200$
minuttene elevrådet målte i fjor.

Vi fant også en middels sterk negativ sammenheng mellom skjermtid og søvn
natten etter ($r = -0{,}55$). Undersøkelsen kan ikke avgjøre om skjermtid
går ut over søvnen, om dårlig søvn gir mer skjermtid, eller om begge deler
henger sammen med noe tredje.

Resultatet gjelder telefonbruk på én skoledag ved én skole, blant de
$90\ \%$ av de trukne elevene som svarte. PC og nettbrett er ikke målt.
Sammenligningen med fjorårets tall forutsetter at undersøkelsen den gangen
ble gjort på samme måte; det har vi ikke kunnet kontrollere.

Hva utkast B gjør, som A ikke gjør: hvert tall står sammen med
usikkerheten sin, hver påstand er begrenset til det som faktisk ble målt, og
det som ikke kan avgjøres, står som noe som ikke kan avgjøres.

Svar: Utkast A går lenger enn dataene på fire punkter. Utkast B er
dekkende.