7.6 Test av en andel

a) Kontrollen er ute etter om løftet ikke holdes:

$$H_0: p = 0{,}90 \qquad H_1: p < 0{,}90$$

b) Under $H_0$:

$$np_0 = 30 \cdot 0{,}90 = 27 \ge 5 \quad \checkmark$$

$$n(1-p_0) = 30 \cdot 0{,}10 = 3 \quad \textbf{— under 5!}$$

Den andre betingelsen svikter. Normaltilnærmingen kan altså ikke brukes her, og vi må regne eksakt.

c) Under $H_0$ er antall kunder ekspedert i tide binomisk fordelt med $n = 30$ og $p = 0{,}90$. Forventet antall er 27; vi observerte 22.

$$p\text{-verdi} = P(X \le 22) = 0{,}0078$$

regneark:   =BINOM.FORDELING.N(22;30;0,9;SANN)     gir 0,0078

$$0{,}0078 \le 0{,}05$$

$H_0$ forkastes.

Her svikter normaltilnærmingen. Med $n = 30$ og $p_0 = 0{,}90$ er $n(1 - p_0) = 3$, altså langt under 5, og fordelingen er presset opp mot 30. Normalkurven fortsetter forbi 30 og gir sannsynlighet til antall som ikke finnes. Alt til venstre for den røde streken er $p$-verdien; søylene der er for lave til å ses.

Konklusjon i kontekst: Kontrollen gir grunnlag for å si at apoteket ekspederer færre enn 90 % av kundene innen fem minutter. Holdt løftet, ville 22 eller færre i tide forekommet i under 1 av 100 kontroller.

d) Regner vi likevel med normaltilnærmingen:

$$\hat{p} = \frac{22}{30} \approx 0{,}7333$$

$$z = \frac{0{,}7333 - 0{,}90}{\sqrt{\frac{0{,}90 \cdot 0{,}10}{30}}} = \frac{-0{,}1667}{0{,}0548} \approx -3{,}04$$

$$p\text{-verdi} \approx P(Z \le -3{,}04) = 0{,}0012$$

Det er 0,0012 mot 0,0078 — snarveien gir en p-verdi som er over seks ganger for liten. Konklusjonen blir riktignok den samme her, men i et grensetilfelle ville den vært feil.

Svar: a) $H_0: p = 0{,}90$ mot $H_1: p < 0{,}90$. b) Nei — $n(1-p_0) = 3 < 5$. c) $p\text{-verdi} = 0{,}0078$, $H_0$ forkastes. d) Normaltilnærmingen gir 0,0012, altså over seks ganger for lite.

NB: Betingelsen er ikke en formalitet man kan hoppe over når tallene er nesten store nok. Det er nettopp i halene — der p-verdiene bor — at tilnærmingen er dårligst.

Hva vet vi? $p_0 = 0{,}05$, $n = 600$, $x = 42$.

a) Kommunen vil vise at andelen er høyere:

$$H_0: p = 0{,}05 \qquad H_1: p > 0{,}05$$

Forutsetningen, regnet under $H_0$:

$$np_0 = 600 \cdot 0{,}05 = 30 \ge 5 \quad \checkmark$$

$$n(1-p_0) = 600 \cdot 0{,}95 = 570 \ge 5 \quad \checkmark$$

Normaltilnærmingen kan brukes.

b) Estimatet:

$$\hat{p} = \frac{42}{600} = 0{,}07$$

Standardfeilen under $H_0$ — altså med $p_0 = 0{,}05$, ikke med 0,07:

$$\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}05 \cdot 0{,}95}{600}} = \sqrt{0{,}0000792} \approx 0{,}0089$$

Testobservatoren:

$$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0{,}07 - 0{,}05}{0{,}0089} = \frac{0{,}02}{0{,}0089} \approx 2{,}25$$

p-verdien:

$$p = P(Z \ge 2{,}25) = 1 - 0{,}9878 = 0{,}0122$$

c) På 5 %-nivå: $0{,}0122 \le 0{,}05$ — $H_0$ forkastes. På 1 %-nivå: $0{,}0122 > 0{,}01$ — $H_0$ beholdes.

Konklusjon i kontekst: På 5 %-nivå gir undersøkelsen grunnlag for å si at andelen som sykler til jobb, er høyere i kommunen enn de 5 prosentene på landsbasis.

d) Den eksakte binomiske p-verdien er

$$P(X \ge 42) = 0{,}0193$$

mot normaltilnærmingens 0,0122. Begge gir forkastning på 5 %-nivå, men den eksakte er nesten 60 % større. Tilnærmingen er altså litt for rask til å forkaste — noe den ofte er når $p_0$ ligger nær 0 eller 1.

Svar: a) $H_0: p = 0{,}05$ mot $H_1: p > 0{,}05$; forutsetningen er oppfylt. b) $z \approx 2{,}25$ og $p \approx 0{,}0122$. c) Forkast på 5 %-nivå, behold på 1 %-nivå. d) Eksakt: 0,0193 — samme konklusjon, men større p-verdi.

a) Kritisk $z$ for ensidig test på 5 %-nivå er 1,645. Da er grensen

$$\hat{p} = p_0 + 1{,}645 \cdot \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = 0{,}05 + 1{,}645 \cdot 0{,}0089 = 0{,}05 + 0{,}0146 = 0{,}0646$$

Forkastningsområdet er $\hat{p} \ge 0{,}0646$, altså 6,46 % eller mer.

b) Vi ganger med $n$:

$$600 \cdot 0{,}0646 = 38{,}8$$

Siden antall syklister er et helt tall, forkastes $H_0$ ved 39 eller flere syklister.

c) Eksakt regning gir

Grensen $\mu + 1{,}645\sigma = 38{,}8$ ligger mellom to hele tall. Antallet kan bare være et helt tall, så forkastningsområdet må starte ved 39 — og da blir den virkelige sannsynligheten for å forkaste litt mindre enn 5 %. Det er derfor en test på et diskret antall sjelden treffer signifikansnivået eksakt.

Svar: a) $\hat{p} \ge 0{,}0646$. b) 39 eller flere syklister. c) Eksakt: 40 eller flere. Tilnærmingen bommer med én observasjon, og gir et faktisk signifikansnivå på 6,0 % i stedet for 5 %.

NB: Sprang som dette er uunngåelige med en diskret fordeling. Antall syklister er et helt tall, og da finnes det sjelden en grense som treffer akkurat 5 %. Det faktiske signifikansnivået blir derfor ofte litt lavere enn det vi ba om — her 4,2 % i stedet for 5 %.

a) Vi legger inn de tre tallene og bygger videre:

A1: 600       (n)
A2: 42        (x)
A3: 0,05      (p0)

A4: =A2/A1                       gir 0,07       (p-hatt)
A5: =ROT(A3*(1-A3)/A1)           gir 0,008898   (SE under H0)
A6: =(A4-A3)/A5                  gir 2,2478     (z)
A7: =1-NORM.S.FORDELING.N(A6;SANN) gir 0,01229    (normaltilnærming)
A8: =1-BINOM.FORDELING.N(A2-1;A1;A3;SANN)
                                 gir 0,01933    (eksakt binomisk)

Legg merke til A2-1 i den siste: BINOM.FORDELING.N(...;SANN) gir $P(X \le k)$, så $P(X \ge 42)$ er $1 - P(X \le 41)$.

b) I GeoGebra:

FordelingBinomial(600, 0.05, 41, true)     gir 0.98067
1 - 0.98067                                gir 0.01933

c) Den eksakte verdien 0,0193. Den er riktig uansett utvalgsstørrelse, og verktøyet regner den like raskt som tilnærmingen. Normaltilnærmingen hører hjemme på Del 1, der vi bare har tabellen — og der er $z$-veien den eneste farbare.

Svar: a) NORM.S.FORDELING for tilnærmingen, BINOM.FORDELING.N for den eksakte. b) FordelingBinomial(600, 0.05, 41, true) og trekk fra 1. c) Den eksakte, 0,0193.

NB — en god vane: oppgi alltid hvilken metode du har brukt. «$p = 0{,}019$ (eksakt binomisk)» og «$p = 0{,}012$ (normaltilnærming)» er to forskjellige opplysninger om de samme dataene, og leseren har krav på å vite hvilken av dem hun ser.